资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．从这七个数中随机抽取一个数记为，则的值是不等式组的解，但不是方程的实数解的概率为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α（其中0°≤α≤90°），连接BG、DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．王凯同学在探究该图形的变化时，提出了四个结论：
①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④S△ADG＝S△ABE，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．sin45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
4．如图，△ABC中，DE∥BC，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
6．如图，是的外接圆，已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点是内一点，，，点、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ）
A．24 B．21 C．18 D．14
8．摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有x名学生，则根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x＋1）＝182 B．0.5x（x＋1）＝182
C．0.5x（x－1）＝182 D．x（x－1）＝182
9．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为 （ ）
A．（2，2） B．（2，4） C．（4，2） D．（1，2）
10．如图，在矩形中，，对角线相交于点，垂直平分于点，则的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．函数y=的自变量x的取值范围是_______________．
12．已知函数（为常数），若从中任取值，则得到的函数是具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为___________.
13．在比例尺为1:1000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是2.6cm,则甲、乙两地的实际距离为_______千米.
14．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．
15．已知方程有一个根是，则__________．
16．如图，在中，，点是边的中点，，则的值为___________．
17．从实数中，任取两个数，正好都是无理数的概率为________．
18．用配方法解方程时，原方程可变形为 _________ ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）感知定义
在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．
尝试运用
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．
①证明△ABD是“类直角三角形”；
②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．
类比拓展
（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．
20．（6分）如图，为了测量山脚到塔顶的高度（即的长），某同学在山脚处用测角仪测得塔顶的仰角为，再沿坡度为的小山坡前进400米到达点，在处测得塔顶的仰角为.
（1）求坡面的铅垂高度（即的长）；
（2）求的长.（结果保留根号，测角仪的高度忽略不计）.
21．（6分）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．
（1）如图1，直按写出的值 ；
（2）将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当BE＝BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜360°），当α为何值时，EA＝ED？在图3或备用图中画出图形，并直接写出此时α＝ ．
22．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，点E在AD边上，且AE=4，EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．
23．（8分）如图，点F为正方形ABCD内一点，△BFC绕点B逆时针旋转后与△BEA重合
（1）求△BEF的形状
（2）若∠BFC=90°，说明AE∥BF
24．（8分）如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：．
25．（10分）已知：AB为⊙O的直径．
（1）作OB的垂直平分线CD，交⊙O于C、D两点；
（2）在（1）的条件下，连接AC、AD，则△ACD为 三角形．
26．（10分）（1）计算：
（2）解方程）：
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】先解不等式，再解一元二次方程，利用概率公式得到概率
【详解】
解①得，，
解②得，．
∴．
∵的值是不等式组的解，
∴．
方程，
解得，．
∵不是方程的解，
∴或．
∴满足条件的的值为，（个）．
∴概率为．
故选．
2、D
【分析】由“SAS”可证△DAE≌△BAG，可得BG＝DE，即可判断①；设点DE与AB交于点P， 由∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，即可判断②；过点A作AM⊥DE，AN⊥BG，易证DE×AM＝×BG×AN，从而得AM＝AN，进而即可判断③；过点G作GH⊥AD，过点E作EQ⊥AD，由“AAS”可证△AEQ≌△GAH，可得AQ＝GH，可得S△ADG＝S△ABE，即可判断④．
【详解】∵∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAE＝∠BAG，
又∵AD＝AB，AG＝AE，
∴△DAE≌△BAG（SAS），
∴BG＝DE，∠ADE＝∠ABG，
故①符合题意，
如图1，设点DE与AB交于点P，
∵∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，
∴∠DAP＝∠BOP＝90°，
∴BG⊥DE，
故②符合题意，
如图1，过点A作AM⊥DE，AN⊥BG，
∵△DAE≌△BAG，
∴S△DAE＝S△BAG，
∴DE×AM＝×BG×AN，
又∵DE＝BG，
∴AM＝AN，且AM⊥DE，AN⊥BG，
∴AO平分∠DOG，
∴∠AOD＝∠AOG，
故③符合题意，
如图2，过点G作GH⊥AD交DA的延长线于点H，过点E作EQ⊥AD交DA的延长线于点Q，
∴∠EAQ+∠AEQ＝90°，∠EAQ+∠GAQ＝90°，
∴∠AEQ＝∠GAQ，
又∵AE＝AG，∠EQA＝∠AHG＝90°，
∴△AEQ≌△GAH（AAS）
∴AQ＝GH，
∴AD×GH＝AB×AQ，
∴S△ADG＝S△ABE，
故④符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判定和性质的综合，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
3、B
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】sin45°=．
故选B．
【点睛】
错因分析：容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.
4、B
【分析】根据两直线平行，对应线段成比例即可解答．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，＝，
∴，
∴选项A，C，D成立，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
5、D
【分析】要求函数的解析式只要求出点的坐标就可以，过点、作轴，轴，分别于、，根据条件得到，得到：，然后用待定系数法即可.
【详解】过点、作轴，轴，分别于、，
设点的坐标是，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
因为点在反比例函数的图象上，则，
点在反比例函数的图象上，点的坐标是，
.
故选：.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.
6、B
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠AOB=100°，再根据三角形内角和定理可得答案．
【详解】∵∠ACB=50°，
∴∠AOB=100°，
∵AO=BO，
∴∠ABO=（180°-100°）÷2=40°，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7、B
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴，
∴四边形EFGH的周长，
又∵AD=11，BC=10，
∴四边形EFGH的周长=11+10=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
8、D
【解析】共送出照片数=共有人数×每人需送出的照片数．根据题意列出的方程是
x（x-1）=1．故选D.
9、B
【详解】解：连接A′B，由月牙①顺时针旋转90°得月牙②，可知A′B⊥AB，且A′B=AB，由A（-2，0）、B（2，0）得AB=4，于是可得A′的坐标为（2，4）．
故选B．
10、B
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=3，
∴BD=2OB=6，
∴AD=；
故选：B．
【点睛】
此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、x≥3
【分析】分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【详解】根据二次根式有意义，分式有意义得：x-3≥0且x+1≠0，
解得：x≥3
故答案为x≥3
【点睛】
本题考查函数自变量的取值范围，基础知识扎实是解题关键
12、
【分析】根据“随增加而减小”可知，解出k的取值范围，然后根据概率公式求解即可.
【详解】由“随增加而减小”得，
解得，
∴具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数的增减性，以及概率的计算，熟练掌握一次函数增减性与系数的关系和概率公式是解题的关键.
13、1
【解析】根据比例尺＝图上距离：实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离．
【详解】根据比例尺＝图上距离：实际距离，得：A，B两地的实际距离为2.6×1000000＝100000（cm）＝1（千米）．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了线段的比．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
14、－1＜x＜3
【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
15、1
【分析】把方程的根x=1代入即可求解.
【详解】把x=1代入得：
1-m+n=0
m-n=1
故答案为：1
【点睛】
本题考查的是方程的解的定义，理解方程解的定义是关键.
16、
【分析】作高线DE，利用勾股定理求出AD，AB的值，然后证明，求DE的长，再利用三角函数定义求解即可．
【详解】过点D作于E
∵点是边的中点，
∴，
在中，由
∴
∴
由勾股定理得
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角函数的问题，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键．
17、
【分析】画树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次选到的数都是无理数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
则共有6种等可能的结果，
其中两次选到的数都是无理数有()和()2种，
所以两次选到的数都是无理数的概率．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
18、
【分析】将常数项移到方程的右边，将二次项系数化成1，再两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【详解】∵，
方程整理得：，
配方得：，
即．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）①证明见解析；②CE＝；（2）当△ABC是“类直角三角形”时，AC的长为或．
【分析】（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．
②如图1中,假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得△ABE是“类直角三角形”,证明△ABC∽△BEC,可得,由此构建方程即可解决问题．
（2）分两种情形:①如图2中,当∠ABC+2∠C=90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB．则点F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA．
②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点E与D共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,可证∠C+2∠ABC=90°,利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【详解】（1）①证明:如图1中,
∵BD是∠ABC的角平分线,
∴∠ABC＝2∠ABD,
∵∠C＝90°,
∴∠A+∠ABC＝90°,
∴∠A+2∠ABD＝90°,
∴△ABD为“类直角三角形”;
②如图1中,假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得△ABE是“类直角三角形”,
在Rt△ABC中,∵AB＝5,BC＝3,
∴AC＝,
∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°,
∴∠ABE+2∠A＝90°,
∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°,
∴∠A＝∠CBE,
∴△ABC∽△BEC,
∴,
∴CE＝,
（2）∵AB是直径,
∴∠ADB＝90°,
∵AD＝6,AB＝10,
∴BD＝,
①如图2中,当∠ABC+2∠C＝90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB,则点F在⊙O上,且∠DBF＝∠DOA,
∵∠DBF+∠DAF＝180°,且∠CAD＝∠AOD,
∴∠CAD+∠DAF＝180°,
∴C，A，F共线,
∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°,
∴∠C＝∠ABF,
∴△FAB∽△FBC,
∴,即 ,
∴AC＝．
②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点E与D共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,
∴∠C+2∠ABC＝90°,
∵∠CAD＝∠CBF,∠C＝∠C,
∴△DAC∽△FBC,
∴,即,
∴CD＝（AC+6）,
在Rt△ADC中,[ （ac+6）]2+62＝AC2,
∴AC＝或﹣6（舍弃）,
综上所述,当△ABC是“类直角三角形”时,AC的长为 或．
【点睛】
本题主要考查圆综合题,考查了相似三角形的判定和性质,“类直角三角形”的定义等知识, 解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题.
20、（1）200；（2）.
【分析】(1) 根据AB的坡度得，再根据∠BAH的正弦和斜边长度即可解答；（2）过点作于点，得到矩形，再设米，再由∠DBE=60°的正切值，用含x的代数式表示DE的长，而矩形中，CE=BH=200米，可得DC的长，米，最后根据△ADC是等腰三角形即可解答.
【详解】解：（1）在中，，∴
∴米
（2）过点作于点，如图：
∴四边形是矩形，∴米
设米
∴在中，米
∴米
在中
∴米
在中，，∴
即
解得
∴米
（本题也可通过证明矩形是正方形求解.）
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度．
21、（1）；（2）DF＝AE，理由见解析；（3）作图见解析，30°或150°
【分析】(1)直接利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论；
(2)先判断出，进而得出△ABE∽△DBF，即可得出结论；
(3)先判断出点E在AD的中垂线上，再判断出△BCE是等边三角形，求出∠CBE=60°，再分两种情况计算即可得出结论．
【详解】(1)∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=45，BD=AB，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90，
∴∠BFE=∠ABD=45，
∴BE=EF，
∴BF=BE，
∴DF=BD﹣BF=AB﹣BE= (AB﹣BE)=AE，
∴，
故答案为：；
(2)DF=AE，
理由：由(1)知，BF=BE，BD=AB，∠BFE=∠ABD=45，
∴，
由旋转知，∠ABE=∠DBF，
∴△ABE∽△DBF，
∴，
∴DF=AE；
(3)如图3，连接DE，CE，
∵EA=ED，
∴点E在AD的中垂线上，
∴AE=DE，BE=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90，AB=BC，
∴BE=CE=BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠CBE=60，
∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=90-60=30，
即：α=30，
如图4，同理，△BCE是等边三角形，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90+60=150，
即：α=150，
故答案为：30或150．
【点睛】
本题属于相似形的综合题，主要考查了旋转的性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是利用相似比表示线段之间的关系．
22、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用两角对应相等，两三角形相似证明；
（2）利用勾股定理列式求出BE，再求出DE，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEF；
（2）∵AB=3，AE=4，
∴BE==5，
∵AD=6，AE=4，
∴DE=AD-AE=6-4=2，
∵△ABE∽△DEF，
∴，即，
解得EF=．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，利用同角的余角相等求出相等的锐角是证明三角形相似的关键．
23、（1）等腰直角三角形（2）见解析
【分析】（1）利用正方形的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，然后根据旋转的定义可判断旋转中心为点B，旋转角为90°，根据旋转的性质得∠EBF＝∠ABC＝90°，BE＝BF，则可判断△BEF为等腰直角三角形；
（2）根据旋转的性质得∠BEA＝∠BFC＝90°，从而根据平行线的判定方法可判断AE∥BF．
【详解】（1）△BEF为等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合，
∴旋转中心为点B，∠CBA为旋转角，即旋转角为90°；
∵△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，BE＝BF，
∴△BEF为等腰直角三角形；
（2）∵△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°，
∴∠BEA＋∠EBF＝180°，
∴AE∥BF．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
24、见解析．
【分析】根据两角相等的两个三角形相似证明△ADC∽△BEC即可．
【详解】证明：∵AD，BE分别是BC，AC上的高
∴∠D=∠E=90°
又 ∠ACD=∠BCE（对顶角相等）
∴△ADC∽△BEC
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握形似三角形的判定方法是解答本题的关键．①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
25、（1）见解析；（2）等边．
【分析】（1）利用基本作图，作CD垂直平分OB；
（2）根据垂直平分线的性质得到OC=CB，DO=DB，则可证明△OCB、△OBD都是等边三角形，所以∠ABC=∠ABD=60°，利用圆周角定理得到∠ADC=∠ACD=60°，则可判断△ACD为等边三角形．
【详解】解：（1）如图，CD为所作；
（2）如图，连接OC、OD、BC、BD，
∵CD垂直平分OB，
∴OC＝CB，DO＝DB，
∴OC＝BC＝OB＝BD，
∴△OCB、△OBD都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ABD＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形．
故答案是：等边．
【点睛】
本题考查了基本作图及圆周角定理：证明△OCB、△OBD是等边三角形是解本题的关键．
26、 (1) ；（2）
【分析】（1）先分别计算二次根式和三角函数值，以及零次幂，再进行计算即可；
（2）先根据一元二次方程进行因式分解，即可求解．
【详解】解（1）原式=
=
=
（2）
∴
∴
【点睛】
本题考查了实数的运算，一元二次方程的解法，掌握二次根式和三角函数值，以及零次幂、因式分解法一元二次方程是解题的关键．
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