人教中学七年级下册数学期末学业水平试卷(及答案).doc

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人教中学七年级下册数学期末学业水平试卷（及答案）一、选择题 1．下列图形中，有关角的说法正确的是（　　） A．∠1与∠2是同位角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠3与∠5是对顶角 D．∠4与∠5相等 2．下列车标，可看作图案的某一部分经过平移所形成的是（） A． B． C． D． 3．在下列所给出坐标的点中，在第二象限的是（　　） A．（0，3） B．（－2，1） C．（1，－2） D．（－1，－2） 4．下列命题是假命题的是（） A．垂线段最短 B．内错角相等 C．在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和平行两种位置关系 D．若两条直线相交所形成的四个角中有三个角相等，则这两条直线互相垂直 5．如图，的平分线的反向延长线和的平分线的反向延长线相交于点，则（） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 7．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转55°后得到△OCD，此时，若，则的度数是（） A．20° B．25° C．30° D．35° 8．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为点A2，点A2的友好点为点A3，点A3的友好点为点A4，⋯⋯以此类推，当点A1的坐标为（2，1）时，点A2021的坐为（　　） A．（2，1） B．（0，﹣3） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣2，3）九、填空题 9．计算：的结果为_____．十、填空题 10．点关于轴的对称点的坐标为，则的值是______．十一、填空题 11．在△ABC中，AD为高线，AE为角平分线，当∠B=40º，∠ACD=60º，∠EAD的度数为_________. 十二、填空题 12．如图，，点M为CD上一点，MF平分∠CME．若∠1＝57°，则∠EMD的大小为_____度．十三、填空题 13．如图，将一张长方形纸条折成如图的形状，若，则的度数为____．十四、填空题 14．一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝，a3＝，…，an＝，则a2＝_____；a1+a2+a3+…+a2020＝_____；a1×a2×a3×…×a2020＝_____．十五、填空题 15．如图，若“马”所在的位置的坐标为，“象”所在位置的坐标为，则“将"所在位置的坐标为_______．十六、填空题 16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断移动，每移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为__________．十七、解答题 17．计算下列各式的值：（1）（2）十八、解答题 18．求下列各式中的x：（1）x2﹣=0．（2）（x﹣1）3=64．十九、解答题 19．补全下列推理过程：如图，已知EF//AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD．解：∵EF//AD ∴∠2＝　　（　　）又∵∠1＝∠2（　　） ∴∠1＝∠3（　　） ∴AB//　　（　　） ∴∠BAC+　　＝180°（　　） ∵∠BAC＝70° ∴∠AGD＝　　．二十、解答题 20．在图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：；；；；；（1）点到原点的距离是________；（2）将点向轴的负方向平移个单位，则它与点________重合；（3）连接，则直线与轴是什么关系？（4）点分别到、轴的距离是多少？二十一、解答题 21．数学活动课上，王老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，小明同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用﹣1表示它的小数部分．”王老师说：“小明同学的说法是正确的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，”请你解答：（1）填空题：的整数部分是 ;小数部分是（2）已知8+＝x+y，其中x是一个整数，且0＜y＜1，求出2x+（y-）2012的值．二十二、解答题 22．（1）小丽计划在母亲节那天送份礼物妈妈，特设计一个表面积为12dm2的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是　　．（2）为了增加小区的绿化面积，幸福公园准备修建一个面积121πm2的草坪，草坪周围用篱笆围绕．现从对称美的角度考虑有甲，乙两种方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建成圆形的．如果从节省篱笆费用的角度考虑，你会选择哪种方案？请说明理由；（3）在（2）的方案中，审批时发现修如此大的草坪，目的是亲近自然，若按上方案就没达到目的，因此建议用如图的设计方案：正方形里修三条小路，三条小路的宽度是一样，这样草坪的实际面积就减少了21πm2，请你根据此方案求出各小路的宽度（π取整数）．二十三、解答题 23．如图1，已知直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝　　（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由；（3）利用（2）的结论解答： ①如图2，AP1，BP1分别平分∠DAP，∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由； ②如图3，AP2，BP2分别平分∠CAP，∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B．（用含β的代数式表示）二十四、解答题 24．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且．（1）将直角如图1位置摆放，如果，则________；（2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由；（3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论．二十五、解答题 25．在中，射线平分交于点，点在边上运动（不与点重合），过点作交于点. （1）如图1，点在线段上运动时，平分. ①若，，则_____；若，则_____； ②试探究与之间的数量关系？请说明理由；（2）点在线段上运动时，的角平分线所在直线与射线交于点.试探究与之间的数量关系，并说明理由. 【参考答案】一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据同位角、内错角、对顶角的定义判断即可求解．【详解】 A、∠1与∠2不是同位角，原说法错误，故此选项不符合题意； B、∠1与∠4不是内错角，原说法错误，故此选项不符合题意； C、∠3与∠5是对顶角，原说法正确，故此选项符合题意； D、∠4与∠5不相等，原说法错误，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查同位角、内错角、对顶角的定义，解题的关键是熟练掌握三线八角的定义及其区分． 2．D 【分析】根据平移定义：一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离进行分析即可．【详解】解：A、不是经过平移所形成的，故此选项错误； B、不是是经过平移所形成的，故此选项错误； C、不是经过平解析：D 【分析】根据平移定义：一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离进行分析即可．【详解】解：A、不是经过平移所形成的，故此选项错误； B、不是是经过平移所形成的，故此选项错误； C、不是经过平移所形成的，故此选项错误； D、是经过平移所形成的，故此选项正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了利用平移设计图案，关键是掌握平移定义． 3．B 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征逐项分析即可．【详解】解：A.(0，3)在y轴上，故不符合题意； B.(－2，1)在第二象限，故符合题意； C.(1，－2) 在第四象限，故不符合题意； D.(－1，－2) 在第三象限，故不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 4．B 【分析】根据点到直线的距离、平行线的判定定理及平行线和相交线的基本性质等进行判断即可得出答案．【详解】 A、垂线段最短，正确，是真命题，不符合题意； B、内错角相等，错误，是假命题，必须加前提条件（两直线平行，内错角相等），符合题意； C、在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和平行两种位置关系，正确，是真命题，不符合题意； D、若两条直线相交所形成的四个角中有三个角相等，则这两条直线互相垂直，正确，相交所成的四个角中，形成两组对顶角，有三个角相等，则四个角一定全相等，都是，所以互相垂直，不符合题意；故选：B．【点睛】题目主要考察真假命题与定理的联系，解题关键是准确掌握各个定理． 5．A 【分析】分别过、作的平行线和，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得．【详解】解：如图，分别过、作的平行线和，，，，，，，，，又，，，，故选：A．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补，④，． 6．D 【分析】分别根据算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可．【详解】解：A、，故本选项不合题意； B、，故本选项不合题意； C、，故本选项不合题意； D、，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查算术平方根及立方根，熟练掌握求一个数的算术平方根及立方根是解题的关键． 7．D 【分析】由旋转的性质得出∠AOC＝55°，∠A＝∠C，根据平行线的性质得出∠BOC＝∠C＝35°，则可得出答案．【详解】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转55°后得到△OCD， ∴∠AOC＝55°，∠A＝∠C， ∵∠AOB＝20°， ∴∠BOC＝∠AOC−∠AOB＝55°−20°＝35°， ∵CD∥OB， ∴∠BOC＝∠C＝35°， ∴∠A＝35°，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，求出∠BOC的度数是解题的关键． 8．A 【分析】根据友好点的定义及点A1的坐标为（2，1），顺次写出几个友好点的坐标，可发现循环规律，据此可解．【详解】解：观察，发现规律：A1（2，1），A2（0，-3），A3（-4，-1），A 解析：A 【分析】根据友好点的定义及点A1的坐标为（2，1），顺次写出几个友好点的坐标，可发现循环规律，据此可解．【详解】解：观察，发现规律：A1（2，1），A2（0，-3），A3（-4，-1），A4（-2，3），A5（2，1），…， ∴A4n+1（2，1），A4n+2（0，-3），A4n+3（-4，-1），A4n+4（-2，3）（n为自然数）． ∵2021=505×4+1， ∴点A2021的坐标为（2，1）．故选：A．【点睛】本题考查了规律型的点的坐标，从已知条件得出循环规律：每4个点为一个循环是解题的关键．九、填空题 9．6 【分析】根据算术平方根的定义即可求解．【详解】解：的结果为6．故答案为6 【点睛】考查了算术平方根，非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数解析：6 【分析】根据算术平方根的定义即可求解．【详解】解：的结果为6．故答案为6 【点睛】考查了算术平方根，非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．十、填空题 10．4 【分析】根据横坐标不变，纵坐标相反，确定a,b的值，计算即可．【详解】 ∵点关于轴的对称点的坐标为， ∴a=5，b= -1， ∴a+b= 5-1=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了坐解析：4 【分析】根据横坐标不变，纵坐标相反，确定a,b的值，计算即可．【详解】 ∵点关于轴的对称点的坐标为， ∴a=5，b= -1， ∴a+b= 5-1=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了坐标系中轴对称问题，熟练掌握轴对称的坐标变化特点是解题的关键．十一、填空题 11．10°或40°；【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠BAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠AED，最后根据直角三角形的两个锐角互余即解析：10°或40°；【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠BAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠AED，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：当高AD在△ABC的内部时． ∵∠B=40°，∠C=60°， ∴∠BAC=180°-40°-60°=80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=40°， ∵AD⊥BC， ∴∠BDA=90°， ∴∠BAD=90°-∠B=50°， ∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=50°-40°=10°．当高AD在△ABC的外部时．同法可得∠EAD=10°+30°=40° 故答案为10°或40°．【点睛】此题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，解题关键在于求出∠BAE的度数十二、填空题 12．【分析】根据AB∥CD，求得∠CMF=∠1＝57°，利用MF平分∠CME，求得∠CME=2∠CMF＝114°，根据∠EMD=180°-∠CME求出结果. 【详解】 ∵AB∥CD， ∴∠CMF=∠ 解析：【分析】根据AB∥CD，求得∠CMF=∠1＝57°，利用MF平分∠CME，求得∠CME=2∠CMF＝114°，根据∠EMD=180°-∠CME求出结果. 【详解】 ∵AB∥CD， ∴∠CMF=∠1＝57°， ∵MF平分∠CME， ∴∠CME=2∠CMF＝114°， ∴∠EMD=180°-∠CME＝66°，故答案为：66. 【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的有关计算，理解图形中角之间的和差关系是解题的关键. 十三、填空题 13．55° 【分析】依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．【详解】解：如图所示， ∵∠1＝70°， ∴∠3＋∠4＝180°－∠1＝110°，又∵折叠， ∴∠3＝∠4＝55°，解析：55° 【分析】依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．【详解】解：如图所示， ∵∠1＝70°， ∴∠3＋∠4＝180°－∠1＝110°，又∵折叠， ∴∠3＝∠4＝55°， ∵ABDE， ∴∠2＝∠3＝55°，故答案为：55°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．十四、填空题 14．， 1 【分析】根据题意，可以写出前几项的值，从而可以发现这列数的变化特点，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：由题意可得，当a1＝﹣1时， a2＝＝＝， a3＝＝＝解析：， 1 【分析】根据题意，可以写出前几项的值，从而可以发现这列数的变化特点，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：由题意可得，当a1＝﹣1时， a2＝＝＝， a3＝＝＝2， a4＝﹣1，…， ∵2020÷3＝673…1， ∴a1+a2+a3+…+a2020 ＝（﹣1++2）×673+（﹣1）＝×673+（﹣1）＝﹣ ＝， a1×a2×a3×…×a2020 ＝[（﹣1）××2]673×（﹣1）＝（﹣1）673×（﹣1）＝（﹣1）×（﹣1）＝1，故答案为：，，1．【点睛】本题考查有理数的运算，熟练掌握运算律及-1的指数幂运算是解题关键．十五、填空题 15．【分析】结合题意，根据坐标的性质分析，即可得到答案．【详解】 ∵“马”所在的位置的坐标为，“象”所在位置的坐标为 ∴棋盘中每一格代表1 ∴“将"所在位置的坐标为，即故答案为：．【点睛】本解析：【分析】结合题意，根据坐标的性质分析，即可得到答案．【详解】 ∵“马”所在的位置的坐标为，“象”所在位置的坐标为 ∴棋盘中每一格代表1 ∴“将"所在位置的坐标为，即故答案为：．【点睛】本题考查了坐标的知识；解题的关键是熟练掌握坐标的性质，从而完成求解．十六、填空题 16．【分析】由题意可知，每隔四次移动重复一次，继续得出A5，A6，A7，A8，…，归纳出点An的一般规律，从而可求得结果．【详解】 ∵，，， ∴根据点的平移规律，可分别得：，，，，，，，，…，，，解析：【分析】由题意可知，每隔四次移动重复一次，继续得出A5，A6，A7，A8，…，归纳出点An的一般规律，从而可求得结果．【详解】 ∵，，， ∴根据点的平移规律，可分别得：，，，，，，，，…，，，， ∵2021=505×4+1 ∴的横坐标为2×505=1010，纵坐标为1 即故答案为：【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的规律问题，点平移的坐标特征，体现了由特殊到一般的数学思想，关键是由前面若干点的的坐标寻找出规律．十七、解答题 17．（1）；（2）【分析】（1）先求绝对值，同时利用计算，再合并即可；（2）利用乘法的分配率先进行乘法运算，同时求解的立方根，再合并即可．【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考解析：（1）；（2）【分析】（1）先求绝对值，同时利用计算，再合并即可；（2）利用乘法的分配率先进行乘法运算，同时求解的立方根，再合并即可．【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查的是实数的运算，考查，求一个数的立方根，绝对值的运算，掌握以上知识是解题的关键．十八、解答题 18．（1）；（2）【分析】（1）用求平方根的方法解方程即可得到答案；（2）用求立方根的方法解方程即可得到答案. 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴；（2）∵， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查解析：（1）；（2）【分析】（1）用求平方根的方法解方程即可得到答案；（2）用求立方根的方法解方程即可得到答案. 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴；（2）∵， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根，解题的关键在于能够熟练掌握平方根和立方根的求解方法. 十九、解答题 19．∠3；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110° 【分析】根据平行线的性质得出∠2＝∠3，求出∠1＝∠3，根据平行线的判定得解析：∠3；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110° 【分析】根据平行线的性质得出∠2＝∠3，求出∠1＝∠3，根据平行线的判定得出AB//DG，根据平行线的性质推出∠BAC+∠AGD＝180°，代入求出即可求得∠AGD．【详解】解：∵EF//AD， ∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴AB//DG，（内错角相等，两直线平行） ∴∠BAC+∠AGD＝180°，（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠BAC＝70°， ∴∠AGD＝110° 故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等，已知，等量代换，DG，内错角相等，两直线平行，∠AGD，两直线平行，同旁内角互补；110°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确根据平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．二十、解答题 20．（1）3；（2）C；（3）平行；（4）7，5 【分析】先在平面直角坐标中描点．（1）根据两点的距离公式可得A点到原点O的距离；（2）找到点B向x轴的负方向平移6个单位的点即为所求；（3）横坐解析：（1）3；（2）C；（3）平行；（4）7，5 【分析】先在平面直角坐标中描点．（1）根据两点的距离公式可得A点到原点O的距离；（2）找到点B向x轴的负方向平移6个单位的点即为所求；（3）横坐标相同的两点所在的直线与y轴平行；（4）点E分别到x、y轴的距离分别等于纵坐标和横坐标的绝对值．【详解】解：（1）∵A（0，3）， ∴A点到原点O的距离是3；（2）将点B向x轴的负方向平移6个单位，则坐标为（-3，-5），与点C重合；（3）如图，BD与y轴平行；（4）∵E（5，7）， ∴点E到x轴的距离是7，到y轴的距离是5．【点睛】本题考查了平面内点的坐标的概念、平移时点的坐标变化规律，及坐标轴上两点的距离公式．本题是综合题型，但难度不大．二十一、解答题 21．（1）1；-1（2）19 【分析】 (1)根据已知的条件就可以求出；（2）先估算的范围，进一步确定8+的范围，即可求出x，y的值，即可解答．【详解】解：（1）∵1＜＜2， ∴的整数部分是1；小解析：（1）1；-1（2）19 【分析】 (1)根据已知的条件就可以求出；（2）先估算的范围，进一步确定8+的范围，即可求出x，y的值，即可解答．【详解】解：（1）∵1＜＜2， ∴的整数部分是1；小数部分是-1；（2）解：∵1＜＜2， ∴9＜8+＜10， ∵8+＝x+y，且x是一个整数，0＜y＜1， ∴x＝9，y＝8+﹣9＝﹣1， ∴2x+（y-）2012=2×9+（﹣1-）2012=18+1=19．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算的范围．二十二、解答题 22．（1）dm；（2）从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；（3）根据此方案求出小路的宽度为【分析】（1）先求得正方体的一个面的面积，然后依据算术平方根的定义求解即可；（2）根据正方形的周解析：（1）dm；（2）从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；（3）根据此方案求出小路的宽度为【分析】（1）先求得正方体的一个面的面积，然后依据算术平方根的定义求解即可；（2）根据正方形的周长公式以及圆形的周长公式即可求出答案；（3）根据图形的平移求解．【详解】解：（1）∵正方体有6个面且每个面都相等， ∴正方体的一个面的面积=2 dm2． ∴正方形的棱长=dm；故答案为： dm ；（2）甲方案：设正方形的边长为xm，则x2 =121 ∴x =11 ∴正方形的周长为：4x=44m 乙方案: 设圆的半径rm为，则r2==121 ∴r =11 ∴圆的周长为：2= 22m ∴ 442222(2- ∵ 4＞ ∴ 2 ∴ ∴正方形的周长比圆的周长大故从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；（3）依题意可进行如图所示的平移，设小路的宽度为ym ,则（11 –y）2=12121 ∴11 –y =10 ∴ y= ∵ 取整数 ∴ y = 答：根据此方案求出小路的宽度为；【点睛】本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握正方形的性质以及平移的性质是解题的关键；二十三、解答题 23．（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，理由见解析；②∠AP2B=．【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM= 解析：（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，理由见解析；②∠AP2B=．【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答； ②根据①的规律可得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．【详解】（1）证明：过P作PM∥CD， ∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等）， ∵CD∥EF（已知）， ∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等）， ∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质）即∠APB=∠DAP+∠FBP=40°+70°=110°．（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．理由：见（1）中证明．（3）①结论：∠P=2∠P1；理由：由（2）可知：∠P=∠DAP+∠FBP，∠P1=∠DAP1+∠FBP1， ∵∠DAP=2∠DAP1，∠FBP=2∠FBP1， ∴∠P=2∠P1． ②由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2， ∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP， ∴∠CAP2=∠CAP，∠EBP2=∠EBP， ∴∠AP2B=∠CAP+∠EBP， = （180°-∠DAP）+ （180°-∠FBP）， =180°- （∠DAP+∠FBP）， =180°- ∠APB， =180°- β．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．二十四、解答题 24．（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析【分析】（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠N 解析：（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析【分析】（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．【详解】解：（1）如图，作CP//a， ∵a//b，CP//a， ∴CP//a//b， ∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°， ∴∠BCP=180°-∠CEF， ∵∠ACP+∠BCP=90°， ∴∠AOG+180°-∠CEF=90°， ∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：如图，作CP//a，则CP//a//b， ∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°， ∵∠NEF+∠CEF=180°， ∴∠BCP=∠NEF， ∵∠ACP+∠BCP=90°， ∴∠AOG+∠NEF=90°．（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b， ∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ， ∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF, ∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°， ∴∠GOP=135°-∠POQ， ∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b， ∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ， ∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN， ∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF， ∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．【点睛】本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．二十五、解答题 25．（1）①115°，110°；②，证明见解析；（2），证明见解析. 【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行线的性质可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD= 解析：（1）①115°，110°；②，证明见解析；（2），证明见解析. 【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行线的性质可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；由三角形的内角和定理求得∠AFD的度数即可；已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×140°=70°；再由三角形的内角和定理可求得∠AFD=110°； ②∠AFD=90°+∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；由此可得∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形的内角和定理可得∠AFD=90°+∠B；（2）∠AFD=90°-∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得∠CAG=∠BAC，∠NDE=∠EDB，即可得∠FDM=∠NDE=∠EDB；由DE//AC，根据平行线的性质可得∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得到∠FDM=∠NDE=∠C，所以∠FDM +∠FMD =∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形外角的性质可得∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-∠B. 【详解】（1）①∵AG平分∠BAC，∠BAC=100°， ∴∠CAG=∠BAC=50°； ∵，∠C=30°， ∴∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°； ∵DF平分∠EDB， ∴∠FDM=∠EDG=15°； ∴∠AFD=180°-∠FMD-∠FDM=180°-50°-15°=115°； ∵∠B=40°， ∴∠BAC+∠C=180°-∠B=140°； ∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB， ∴∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG， ∵DE//AC， ∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC； ∴∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×140°=70°； ∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-70°=110°；故答案为115°，110°； ②∠AFD=90°+∠B，理由如下： ∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB， ∴∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG， ∵DE//AC， ∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC； ∴∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B； ∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-（90°-∠B）=90°+∠B；（2）∠AFD=90°-∠B，理由如下：如图，射线ED交AG于点M， ∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB， ∴∠CAG=∠BAC，∠NDE=∠EDB， ∴∠FDM=∠NDE=∠EDB， ∵DE//AC， ∴∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC； ∴∠FDM=∠NDE=∠C， ∴∠FDM +∠FMD =∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B； ∴∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-∠B. 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质，根据角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质确定各角之间的关系是解决问题的关键.

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