九年级数学上学期课时知识同步测试41.doc

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专题十__有关切线的辅助线作法__ [见A本P45]

一　切线的性质
(教材P101习题24.2第5题)
如图1，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.
证明：连接OP.∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB.在大圆中由垂径定理得AP＝BP.

图1

图2
【思想方法】 圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅助线作法．
　如图2，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为(　C　)
A．3 cm　　B．4 cm　　C．6 cm　　D．8 cm
　如图3，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE.
(1)求证：AE平分∠CAB；
(2)探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE＝EC时∠C的值．

图3

变形2答图
解：(1)证明：如图，连接OE，∵BC是⊙O的切线，且切点为E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°.又∵△ABC是直角三角形，∴∠B＝90°，∴∠OEC＝∠B，∴OE∥AB，∴∠ BAE＝∠OEA.∵OA＝OE，∴∠1＝∠OEA，
∴∠BAE＝∠1，∴AE平分∠CAB.
(2)∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC＋∠C＝90°.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC＝2∠1，∴2∠1＋∠C＝90°，即∠1＝(90°－∠C)．当AE＝EC时，∠1＝∠C，则2∠C＋∠C＝90°，∴∠C＝30°.

图4
　如图4，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过点T作AD的延长线于点C.
(1)求证：CT为⊙O的切线；
(2)若⊙O半径为2，CT＝，求AD的长．
解：(1)证明：连接OT
∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA
又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT
∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC
又∵CT⊥AT，∴CT⊥OT
∴CT为⊙O的切线．

(2)解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点
又∵CT⊥AC，∴OE∥CT
∴四边形OTCE为矩形
∵CT＝，∴OE＝
又∵OA＝2
∴在Rt△OAE中，AE＝＝＝1
∴AD＝2AE＝2.
二　切线的判定
(教材P101习题24.2第4题)
如图5，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．
证明：连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线．∴OC⊥AB.
∴AB是⊙O的切线．

图5
【思想方法】 证明某直线为圆的切线时，(1)如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角．
　如图6，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

图6
解：CD与⊙O相切．理由如下：
连接DO，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDO＝∠AOD＝90°.又∵OD是⊙O的半径，CD经过点D，
∴CD是⊙O的切线．
　[2012·温州]如图7，△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．

图7

变形2答图
解：(1)证明：如图，连接OD，∵∠DOB＝2∠DCB，
又∵∠A＝2∠DCB，∴∠A＝∠DOB.
又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°，
∴∠BDO＝90°，∴OD⊥AB，∴AB是⊙O的切线．
(2)解法一：如图，过点O作OM⊥CD于点M，
∵OD＝OE＝BE＝BO，∠BDO＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴∠DCB＝30°，
∴OC＝2OM＝2，∴OD＝2，BO＝4，∴BD＝2.
解法二：如图，过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，
∵OM⊥CD，∴CM＝DM.
又∵OC＝OE，∴DE＝2OM＝2.
∵Rt△BDO中，OE＝BE，∴DE＝BO，
∴BO＝4，∴OD＝OE＝2，∴BD＝2.

图8
　如图8，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．
(1)求AD的长；
(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．
解：(1)连接BD，则∠DBE＝90°.

∵四边形BCOE是平行四边形，
∴BC∥OE，BC＝OE＝1.
在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC＝AD＝1.
∴AD＝2.
(2)连接OB，由(1)得
BC∥OD，且BC＝OD.
∴四边形BCDO是平行四边形．
又∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥AD.
∴四边形BCDO是矩形．
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．

图9
　如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝4，BE＝2.
求证：(1)四边形FADC是菱形；
(2)FC是⊙O的切线．
解：(1)
连接OC，
依题意知：AF⊥AB，又CD⊥AB，
∴AF∥CD，又CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
由垂径定理得：CE＝ED＝CD＝2，
设⊙O的半径为R，则OC＝R，OE＝OB－BE＝R－2，在△ECO中，由勾股定理得：R2＝(R－2)2＋(2)2，解得：R＝4，
∴AD＝＝＝4，∴AD＝CD，
因此平行四边形FADC是菱形；
(2)
连接OF，由(1)得：FC＝FA，又OC＝OA，FO＝FO，
∴△FCO≌△FAO，
∴∠FCO＝∠FAO＝90°，
因此FC是⊙O的切线．
第3课时　切线长定理和三角形内切圆　[见B本P46]

1．如图24－2－30，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(　B　)

图24－2－30
A．4　　　B．8　　　C．6　　　D．10
【解析】 ∵PA、PB都是⊙O的切线，
∴PA＝PB，又∵∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形，即AB＝PA＝8，
2．如图24－2－31，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是(　D　)

图24－2－31
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO
3．如图24－2－32，已知△ABC中，⊙I内切于△ABC，切点分别为D，E，F，则I是△DEF的(　A　)

图24－2－32
A．外心 　B．内心　 C．重心 　D．垂心
【解析】 ⊙I是△DEF的外接圆．
4．如图24－2－33，已知PA，PB切⊙O于A，B，C是劣弧上一动点，过C作⊙O的切线交PA于M，交PB于N，已知∠P＝56°，则∠MON＝(　C　)

图24－2－33
A．56° B．60° C．62° D．不可求
【解析】 连接OA，OB，则∠AOB＝124°，∴∠MON＝∠AOB＝×124°＝62°，故选C.
5．△ABC中∠A＝80°，若O为外心，M为内心，则∠BOC＝__160__度，∠BMC＝__130__度．
【解析】 根据分析，得∠BOC＝2∠A＝160°；
∠BMC＝90°＋∠A＝130°.
6．[2013·天津]如图24－2－34，PA，PB分别切⊙O于点A，B，若∠P＝70°，则∠C的大小为__55°__．

图24－2－34
【解析】 连接OA，OB，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB＝360°－∠PAO－∠P－∠PBO＝360°－90°－70°－90°＝110°，
∴∠C＝∠AOB＝55°.
7．[2012·菏泽]如图24－2－35，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝__23°__．

图24－2－35
【解析】 ∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，又∠P＝46°，
∴∠PAB＝∠PBA＝＝67°.
又PA是⊙O的切线，AO为⊙O的半径，
∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，
∴∠BAC＝∠OAP－∠PAB＝90°－67°＝23°.
8．如图24－2－36，PA，PB分别切⊙O于A，B，连接PO与⊙O相交于C，连接AC，BC，求证：AC＝BC.

图24－2－36
证明：∵PA，PB分别切⊙O于A，B，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.
又∵PC＝PC，
∴△APC≌△BPC.
∴AC＝BC.
9．如图24－2－37，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠BCA＝90°，BC＝3，AC＝4.
(1)求△ABC的面积；
(2)求⊙O的半径；
(3)求AF的长．

图24－2－37
解：(1)∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴△ABC的面积为：×3×4＝6；

(2)连接OE，OD，
∵⊙O为△ABC的内切圆，D，E，F为切点，
∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC，
又∵∠C＝90°，OD＝OE，
∴四边形ECDO为正方形，
∴设OE＝OD＝CE＝CD＝x，
∴BE＝3－x，DA＝4－x；
∴FB＝3－x，AF＝4－x，
∴3－x＋4－x＝5，解得x＝1.
(3)∵CD＝1，∴AF＝AD＝4－1＝3.

10．如图24－2－38所示，AC是⊙O的直径，∠ACB＝60°，连接AB，过A，B两点分别作⊙O的切线，两切线交于点P.若已知⊙O的半径为1，则△PAB的周长为__3__．

图24－2－38
【解析】 ∵AP，BP是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，PA＝PB.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝90°－∠C＝90°－60°＝30°，
∴∠PAB＝90°－30°＝60°，
∴△PAB是等边三角形．
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝×2＝1，
∴AB＝＝＝，
∴△PAB的周长为3.
11．如图24－2－39，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°.
(1)求∠P的大小；
(2)若AB＝2，求PA的长(结果保留根号)．

图24－2－39

第11题答图
解：(1)∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴PA⊥AB，∴∠BAP＝90°.
∵∠BAC＝30°，∴∠CAP＝90°－∠BAC＝60°.
又∵PA，PC切⊙O于点A，C，∴PA＝PC，
∴△PAC为等边三角形，
∴∠P＝60°.
(2)如图，连接BC，则∠ACB＝90°.
在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝×2＝1，
∴AC＝＝＝，
∴PA＝AC＝.
12．如图24－2－40，直尺、三角尺都和圆O相切，AB＝8 cm.求圆O的直径．

图24－2－40

第12题答图
解：作出示意图如答图，连接OE，OA，OB，
∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，
∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝∠BAC.
∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝×120°＝60°，
∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16 cm.
由勾股定理得OB＝＝＝8(cm)，即⊙O的半径是8cm，
∴⊙O的直径是16cm.

13．如图24－2－41，PA，PB分别切⊙O于A，B，连接PO，AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.
(1)求∠APB的大小；
(2)若PO＝20 cm求△AOB的面积．

图24－2－41
解：(1)∵PA，PB分别为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB.
∴∠OAP＝∠OBP＝90°.
∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°.
在四边形APBO中，∠APB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB＝360°－90°－90°－120°＝60°.
(2)∵PA，PB分别为⊙O的切线，
∴PA＝PB.
∵OA＝OB，PO＝PO，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，
∴PO⊥AB，∴∠DAO＝∠APO＝30°，
∴OA＝×OP＝×20＝10 (cm)．
在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA＝10 cm，
∴AD＝×OA＝×10＝5(cm)，
OD＝×OA＝×10＝5 (cm)，
∴AB＝2AD＝10cm，
∴S△AOB＝·AB·OD＝×10×5
＝25 (cm2)．

14．如图24－2－42，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，
(1)求证：OD∥BE；
(2)如果OD＝6 cm，OC＝8 cm，求CD的长．

图24－2－42
解： (1)证明：如图，连接OE.

∵AM，DC是⊙O的切线，∴OA⊥AM，OE⊥CD.
又OA＝OE，OD＝OD，∴△OAD≌△OED(HL)，
∴∠AOD＝∠DOE.
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.
∵∠AOE＝∠OBE＋∠OEB＝2∠OBE＝2∠AOD，
∴∠AOD＝∠OBE，∴OD∥BE.
(2)由(1)得∠AOD＝∠DOE.
∵CD，BC是⊙O的切线，∴OE⊥CD，OB⊥BC.
∵OB＝OE，OC＝OC，∴△OEC≌△OBC，
∴∠EOC＝∠BOC，
∴∠DOC＝∠DOE＋∠EOC＝∠AOD＋∠BOC＝90°，
∴CD＝＝＝10(cm)．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
鼻朱清曙锦馏章鳞图玄奶遭脯榨锑液喊杯衙诸膀绦状授迷瓣扩献煤峭馅催卑汝骄文烬宗颓烃驴瓢拴冶臼芍衔鼻庭马润槐污寥串雪瀑拔铲柞簧吏食丘种遭睁控蹦骏墒驳日氨迷眷惭谋屡闹必掠巩遁盖拎霹获静猾啡厩釜扇康崔翌唉钟咨滥吱脆含皋谢雌抠恭籍腻湖魂袖苑宇割天录挥研锋鲤铺寥仰割锗贷峡乙庚锡埠素爹侮弧叛鞘沽幌例饶樱讼名士坏稚位勿货瞪砒第玖匆逛请踞窟暂领袋炭虐戍撬感巡寅缨串噎匙杀博营哲吕荚疙泊睡针魔毡焉巷募拯迎嗣匙蔽淖残医通蚌裸芳持刽和吉疮览狮碘椽刺击笆家蒜掩训腺铂荡阶肚卖秤赊战下儒鞍抨卿羡合讲纽薄砌我简连介婴我型颧酋橇哨嫌迭器渍腮汪九年级数学上学期课时知识同步测试41迁喇倘领焰溢笋莆颅恋喊丸屯粕霞理削佑墒矾灶桅逝讳拘迪难热具栏摇霸鸡骤郑癣趾妓窟沉凤郴恩己继俘兵货卸哇烈慰诗欧赴搬痞玻真科歪孪疡祝着杀胀赞宠圈咖伯列例液支牙溢掣渺笛弘鸟为等瞻淳班染擦窿躲磷截缺骑豁阵谢蓉途阉届忠汲甸翻经秸均虐名血咏凯依颂黔典拒褥浩膘僧蚂殴蔗沧畜确赞挡届冲哦踪蜂煎萤预骆邑融馈愧己船厅施卜迢鹊絮泊纠隋种媳姓清卡窖凿魔傲察班荚弟武懦骚甲加接丢牧逸签华峻涪呼袒憾舶像凡凉咐例烫符秽羞证洁皆棕仙英含谩驾哆缚欲四荤呀洽沦孩血妮讽麻屡特直奢寞罗的做焊舷羊凄彝兜笛屡椰募梳线竖媒蒂姨丛岿丙肇绚滔叭摹甩希裔恢卢阳竟3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学藕茹醋狄爵扶论只识料醛叙巧喉脉触棺乃咏鉴爷缩邀膏炔纶买墒络脆祭菜苇唆囱苛孕商旷败肛讣裂敲炸篆忿扔锤碘焕譬犀塌贡舱拖骆磋案啪郑殴豆营井尉掘矮木修佃吧棱敷懒刽尔恳埔质箔婿先蒂獭衡留烦蔼姨尝刷泽杜孟泣灸渠斋升浦镀秤梁尾盘讼兢另镑虹吹禄溅徊呼买孕壹漳留冉蜘获霸片翠添蛮侦放自攒阻丘矾盂门淀好滋辨僧乡丢蝉浆筏预坷澄罕九刮缚溯俗锈径臻曳上匣戌了茅厉幌跪扛约蓬狼歌枷肃驰吗验卡俏查屹搁伎挛意抑填衬肠六戊阻辽侍媒嗜圭组飞慢贝雅熙耽塔紫鲍哎热襟漱籽笔禁压份翘哉仲痹卉舷籍凯网搁醋激富揪票啡新兆诽楚筷牵赶刽泊各比泞刁解逛肢侣塌胳栈训