资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．某药品原价为100元，连续两次降价后，售价为64元，则的值为（ ）
A．10 B．20 C．23 D．36
2．一元二次方程mx2+mx﹣＝0有两个相等实数根，则m的值为（ ）
A．0 B．0或﹣2 C．﹣2 D．2
3．如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A．9︰16 B．3︰4 C．9︰4 D．3︰16
5．二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
6．平面直角坐标系中，点P，Q在同一反比例函数图象上的是( )
A．P(－2，－3)，Q(3，－2) B．P(2，－3)，Q(3，2)
C．P(2，3)，Q(－4，－) D．P(－2，3)，Q(－3，－2)
7．如果函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线的顶点坐标为（ ）
A．(3,1) B．(，1) C．(1,3) D．(1,)
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，AD=5，BD=2，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
10．将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3
C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣3
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．学生晓华5次数学成绩为86，87，89，88，89，则这5个数据的中位数是___________.
12．一个长方体木箱沿坡度坡面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=m，则木箱端点E距地面AC的高度EF为_____m.
13．某商品连续两次降低10%后的价格为a元，则该商品的原价为______．
14．菱形的两条对角线分别是，，则菱形的边长为________，面积为________．
15．某中学去年举办竞赛，颁发一二三等奖各若干名，获奖人数依次增加，各获奖学生获得的奖品价值依次减少（奖品单价都是整数元），其中有3人获得一等奖，每人获得的奖品价值34元，二等奖的奖品单价是5的倍数，获得三等奖的人数不超过10人，并且获得二三等奖的人数之和与二等奖奖品的单价相同.今年又举办了竞赛，获得一二三等奖的人数比去年分别增加了1人、2人、3人，购买对应奖品时发现单价分别上涨了6元、3元、2元.这样，今年购买奖品的总费用比去年增加了159元.那么去年购买奖品一共花了__________元.
16．在实数范围内分解因式：-1+9a4=____________________。
17．为估计某水库鲢鱼的数量，养鱼户李老板先捞上150条鲢鱼并在鲢鱼身上做红色的记号，然后立即将这150条鲢鱼放回水库中，一周后，李老板又捞取200条鲢鱼，发现带红色记号的鱼有三条，据此可估计出该水库中鲢鱼约有________条．
18．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦为8cm，则OM= cm.
三、解答题(共66分)
19．（10分）定义：点P在△ABC的边上，且与△ABC的顶点不重合．若满足△PAB、△PBC、△PAC至少有一个三角形与△ABC相似（但不全等），则称点P为△ABC的自相似点．如图①，已知点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，1）．
（1）若点P的坐标为（2，0），求证点P是△ABC的自相似点；
（2）求除点（2，0）外△ABC所有自相似点的坐标；
（3）如图②，过点B作DB⊥BC交直线AC于点D，在直线AC上是否存在点G，使△GBD与△GBC有公共的自相似点？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．
20．（6分）2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：
（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；
（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
21．（6分）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．
22．（8分）计算:()-1 -cos45° -(2020+π)0+3tan30°
23．（8分）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，点为切点，与⊙交于点，点是的中点，连结．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
24．（8分）如图，点分别在的边上，已知．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
25．（10分）如果一个直角三角形的两条直角边的长相差2cm，面积是24，那么这个三角形的两条直角边分别是多少？
26．（10分）如图，是的平分线，点在上，以为直径的交于点，过点作的垂线，垂足为点，交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】根据题意可列出一元二次方程100（1-）²=64，即可解出此题.
【详解】依题意列出方程100（1-）²=64，
解得a=20，（a=180,舍去）
故选B.
【点睛】
此题主要考察一元二次方程的应用，依题意列出方程是解题的关键.
2、C
【解析】由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出m的值，经检验即可得到满足题意m的值．
【详解】∵一元二次方程mx1+mx﹣＝0有两个相等实数根，
∴△＝m1﹣4m×（﹣）＝m1+1m＝0，
解得：m＝0或m＝﹣1，
经检验m＝0不合题意，
则m＝﹣1．
故选C．
【点睛】
此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
3、D
【解析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．
【详解】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（﹣1﹣x）＝a+1，
解得x＝﹣（a+3），
故选：D．
【点睛】
本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
4、B
【解析】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果．
因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B.
考点：本题主要考查了相似三角形的性质
点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方
5、C
【解析】根据二次函数解析式求得对称轴是x=3，由抛物线的对称性得到答案．
【详解】解：由二次函数得到对称轴是直线，则抛物线与轴的两个交点坐标关于直线对称，
∵其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为，
故选C．
【点睛】
考查抛物线与x轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质．
6、C
【解析】根据反比函数的解析式y=（k≠0），可得k=xy，然后分别代入P、Q点的坐标，可得：
-2×（-3）=6≠3×（-2），故不在同一反比例函数的图像上；2×（-3）=-6≠2×3，故不正确同一反比例函数的图像上；2×3=6=（-4）×（－），在同一反比函数的图像上；-2×3≠（-3）×（-2），故不正确同一反比例函数的图像上.
故选C.
点睛：此题主要考查了反比例函数的图像与性质，解题关键是求出函数的系数k，比较k的值是否相同来得出是否在同一函数的图像上.
7、D
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式即可得出答案．
【详解】∵函数的图象与轴有公共点，
，
解得 ．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数与x轴的交点问题，掌握根的判别式是解题的关键．
8、A
【分析】利用二次函数的顶点式是：y＝a（x−h）2＋k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答．
【详解】∵，
∴抛物线的顶点坐标是（3，1）．
故选：A．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x−h）2＋k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．熟知二次函数的顶点坐标式是解答本题的关键
9、D
【分析】根据AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠DAC，再利用同弧所对的圆周角相等，求证△AB
D△BED，利用其对应边成比例可得，然后将已知数值代入即可求出DE的长．
【详解】解:∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠DBC=∠DAC(同弧所对的圆周角相等）,
∴∠DBC=∠BAD，
∴△ABD△BED，
∴,
∴DE=
故选D.
【点睛】
本题考查圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，根据其定理进行分析.
10、D
【详解】因为y=x2-4x-4=（x-2）2-8，
以抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标为（2，-8），把点（2，-8）向左平移1个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（-1，-1），
所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-1．
故选D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】根据中位数的概念求解即可．
【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：86，87，1，89，89，
则这5个数的中位数为：1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
12、1
【分析】连接AE，在Rt△ABE中求出AE，根据∠EAB的正切值求出∠EAB的度数，继而得到∠EAF的度数，在Rt△EAF中，解出EF即可得出答案．
【详解】解：连接AE，
在Rt△ABE中，AB=1m，BE=m，
则AE==2m，
又∵tan∠EAB==，
∴∠EAB=10°，
在Rt△AEF中，∠EAF=∠EAB+∠BAC=60°，
∴EF=AE×sin∠EAF=2×=1m，
答：木箱端点E距地面AC的高度为1m．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了坡度、坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，熟练运用三角函数求线段的长度．
13、元
【分析】设商品原价为x元，则等量关系为原价=现价，根据等量关系列出方程即可求解．
【详解】设该商品的原价为x元，根据题意得
解得
故答案为元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程实际应用中的增长率问题，本剧题意列出方程是本题的关键．
14、
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求菱形的面积即可．
【详解】∵菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，
∴对角线的一半分别为3cm，4cm，
∴根据勾股定理可得菱形的边长为： =5cm，
∴面积S= ×6×8=14cm1．
故答案为5；14．
【点睛】
本题考查了菱形的性质及勾股定理的应用，熟记菱形的性质是解决本题的关键．
15、257
【分析】根据获奖人数依次增加，获得二三等奖的人数之和与二等奖奖品的单价相同，以及二等奖奖品单价为5的倍数，可知二等奖的单价为10或15，分别讨论即可得出答案.
【详解】设二等奖人数为m，三等奖人数为n，二等奖单价为a，三等奖单价为b，根据题意列表分析如下：
一等奖
二等奖
三等奖
去年
获奖人数
3
m
n
奖品单价
34
a
b
今年
获奖人数
3+1=4
m+2
n+3
奖品单价
34+6=40
a+3
b+2
∵今年购买奖品的总费用比去年增加了159元
∴
整理得
∵，，为5的倍数
∴的值为10或15
当时，，
代入得，
解得
不符合题意，舍去；
当时，有3种情况：
①，，代入得
，解得，符合题意
此时去年购买奖品一共花费元
②，，代入得
，解得，不符合题意，舍去
③，，代入得
，解得，不符合题意，舍去
综上可得，去年购买奖品一共花费257元
故答案为：257.
【点睛】
本题考查了方程与不等式的综合应用，难度较大，根据题意推出的取值，然后分类讨论是解题的关键.
16、
【分析】连续利用2次平方差公式分解即可．
【详解】解：.
【点睛】
此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的基础，注意检查分解要彻底．
17、10000
【解析】试题解析：设该水库中鲢鱼约有x条，由于李老板先捞上150条鲢鱼并在上做红色的记号，然后立即将这150条鲢鱼放回水库中，一周后，李老板又捞取200条鲢鱼，数一数带红色记号的鱼有三条，由此依题意得 200：3=x：150，
∴x=10000，
∴估计出该水库中鲢鱼约有10000条．
18、3
【解析】试题分析：最长弦即为直径，最短弦即为以M为中点的弦，所以此时
考点：弦心距与弦、半径的关系
点评：
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）△CPA∽△CAB，此时P（，）；△BPA∽△BAC，此时P(，)；（3）S（3，-2）是△GBD与△GBC公共的自相似点，见解析
【分析】（1）利用：两边对应成比例且夹角相等,证明△APC∽△CAB即可；
（2）分类讨论：△CPA∽△CAB和△BPA∽△BAC，分别求得P点的坐标；
（3）先求得点D的坐标，说明点G（5，）、S（3，-2）在直线AC：上，证得△ABC△SGB，再证得△GBS∽△GCB，说明点S是△GBC的自相似点；又证得△DBG△DSB，说明点S是△GBD的自相似点．从而说明S（3，-2）是△GBD与△GBC公共的自相似点.
【详解】（1）如图，
∵A（1，0），B（3，0），C（0，1），P（2，0），
∴AP=2－1＝1，
AC=，
AB=3-1=2，
∴，，
∴=，
∵∠PAC=∠CAB，
∴△APC∽△CAB，
故点P是△ABC的自相似点；
（2）点P只能在BC上，
①△CPA∽△CAB，如图，
由(1)得：AC，AB，
又，
∵△CPA∽△CAB，
∴，
∴，
∴，
过点P作PD∥y轴交轴于D，
∴，，
∴，，
∴，，
P点的坐标为(，)
②△BPA∽△BAC，如图，
由前面获得的数据：AB，，
∵△BPA∽△BAC，
∴，
∴，
∴，
过点P作PE∥y轴交轴于E，
∴，
∴，
∴，，
∴，
P点的坐标为(，)；
（3）存在．当点G的坐标为（5，）时，△GBD与△GBC公共的自相似点为S（3，）．理由如下：
如图：
设直线AC的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∵∠CBO+∠DBE=90，∠EDB+∠DBE=90，
∴∠CBO=∠EDB，
∴，
∴，
设BE=a，则DE=3a，
∴OE=3-a，
∴点D的坐标为(3-a，-3a) ，
∵点D在直线AC上，
∴，
解得：，
∴点D的坐标为(，) ；
如下图：当点G的坐标为（5，）时，△GBD与△GBC公共的自相似点为S（3，）．
直线AC的解析式为：，
∵，，
∴点G、点S在直线AC上，
过点G作GH⊥x轴于点H，
∵，
∴，
由S（3，）、B（3，0）知BS⊥x轴，
∴△AED、△ABS、△AHG为等腰直角三角形，
∵D (，)，S，G( ，
∴，，B，
，
，，
，，，
，
在△ABC和△SGB中
∵，，
∴，
∵
∴
∴△ABC△SGB
∴∠SBG=∠BCA，
又∠SGB=∠BGC，
∴△GBS∽△GCB，
∴点S是△GBC的自相似点；
在△DBG和△DSB中，
∵，，
∴，且，
∴△DBG△DSB；
∴点S是△GBD的自相似点．
∴S（3，）是△GBD与△GBC公共的自相似点．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，涉及的知识有：平面内点的特征、待定系数法求直线的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，读懂题意，理清“自相似点”的概念是解题的关键.
20、（1）40，补图详见解析；（2）108°；（3）．
【分析】（1）由一等奖人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等奖人数求出二等奖人数即可补全图形；
（2）用360°乘以二等奖人数所占百分比可得答案；
（3）画出树状图，由概率公式即可解决问题．
【详解】解：（1）本次比赛获奖的总人数为4÷10%＝40（人），
二等奖人数为40﹣（4+24）＝12（人），
补全条形图如下：
（2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°×＝108°；
（3）树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是＝．
【点睛】
此题主要考查统计图的运用及概率的求解，解题的关键是根据题意列出树状图，再利用概率告诉求解.
21、（1）证明见解析；（2）DE＝12cm．
【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得，即可求得，又因公共角，从而可证得；
（2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可.
【详解】（1）平行四边形ABCD中，
又
；
（2）平行四边形ABCD中，
由题（1）得
，即
解得：.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定定理与性质，熟记各性质与定理是解题关键.
22、.
【分析】根据负指数次幂的性质、45°的余弦值、任何非0数的0次幂都等于1和30°的正切值计算即可.
【详解】解：()-1 -cos45° -(2020+π)0+3tan30°
=2--1+
=2-1-1+
=
【点睛】
此题考查的是实数的混合运算，掌握负指数次幂的性质、45°的余弦值、任何非0数的0次幂都等于1和30°的正切值是解决此题的关键.
23、（1）见解析；（2）．
【解析】（1）连结OC，AC，由切线性质知Rt△ACP中DC=DA，即∠DAC=∠DCA，再结合∠OAC=∠OCA知∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°，据此即可得证；
（2）先求出OA=1，BP=2AB=4，AD＝,再根据S阴影=S四边形OADC-S扇形AOC即可得．
【详解】（1）连结，如图所示：
∵是⊙的直径，是切线，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴是⊙的切线；
（2）∵在中，，
∴，
∴，
∴，，，
∴．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质、直角三角形的性质、扇形面积的计算等知识点．
24、（1）证明见解析（2）
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及相似三角形的判定定理即可求出答案；
（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：在中，，
∴.
又∵在中，，
∴，
∴
（2）∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
25、一条直角边的长为 6cm，则另一条直角边的长为8cm．
【分析】可设较短的直角边为未知数x，表示出较长的边，根据直角三角形的面积为24列出方程求正数解即可．
【详解】解：设一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为（x+2）cm．
根据题意列方程，得
．
解方程，得：x1=6，x2=（不合题意，舍去）．
∴一条直角边的长为 6cm，则另一条直角边的长为8cm．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：直角三角形的面积等于两直角边积的一半．
26、（1）证明见解析；（2）1．
【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得 ，证明 ，可得结论；
（2）在 中，设 ，则 ， ，证明 ，表示 ，由平行线分线段成比例定理得： ，代入可得结论．
【详解】解：（1） 连接.
∵AG是∠PAQ的平分线，
∵半径
∴直线BC是的切线．
（2） 连接DE．
∵为 的直径，
∵，设
在中，
在与中
∵，
∴
在Rt中，AE=12，
∴，即
∴
∴
在Rt△ODB与Rt△ACB中
∵，
∴，
∴，即
【点睛】
本题考查了三角形与圆相交的问题，掌握角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定以及平行线分线段成比例是解题的关键．
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