九年级数学上学期课时训练4.doc

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28.1 锐角三角函数 达标训练

一、基础·巩固达标
1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值( )
A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定
2.已知α是锐角，且cosα=，则sinα=( )
A. B. C. D.
3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶，则cosA=_______，tanA=_________.
4.设α、β为锐角，若sinα=，则α=________；若tanβ=，则β=_________.
5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________.
6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=，求AD、AC、BC.

二、综合•应用达标
7.已知α是锐角，且sinα=，则cos(90°－α)=( )
A. B. C. D.
8.若α为锐角，tana=3，求的值.

9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为，且α为锐角，求tanα.

10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1－13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2 m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4 m.
(1)求滑梯AB的长(精确到0.1 m)；
(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？

图28.1－13

11.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？

图28.1－14

三、回顾•展望达标
12.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是( )
A. B. C. D.

图28.1－15 图28.1－17 图28.1－16
13.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，AC=2，则cosB的值是( )
A. B. C. D.
14.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC=( )
A.45 B.5 C. D.
15.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=( )

A. B. C. D.
16.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB上，任意取两点P和P1，分别过点P和P1做始边OA的垂线PM和P1M1，M和M1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.

图28.1－18 图28.1－19
17.计算：2－1－tan60°+(－1)0+；

18.已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.

参考答案
一、基础·巩固达标
1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值( )
A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定
思路解析：当Rt△ABC的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A大小不变.
答案：A
2.已知α是锐角，且cosα=，则sinα=( )
A. B. C. D.
思路解析：由cosα=，可以设α的邻边为4k，斜边为5k，根据勾股定理，α的对边为3k，则sinα=.
答案：C
3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶，则cosA=_______，tanA=_________.
思路解析：画出图形，设AC=x，则BC=，由勾股定理求出AB=2x，再根据三角函数的定义计算.
答案：，
4.设α、β为锐角，若sinα=，则α=________；若tanβ=，则β=_________.
思路解析：要熟记特殊角的三角函数值.
答案：60°,30°
5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________.
思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤.
答案：0.386 0
6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=，求AD、AC、BC.
思路解析：由条件可知△ABC、△ABD、△ADC是相似的直角三角形，∠B=∠CAD，于是有tan∠CAD=tanB=，所以可以在△ABD、△ADC中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.

解：根据题意，设AD=4k，BD=3k，则AB=5k.
在Rt△ABC中，∵tanB=，∴AC=AB=k.∵BD=9,∴k=3.
所以AD=4×3=12，AC=×3=20.
根据勾股定理.
二、综合•应用达标
7.已知α是锐角，且sinα=，则cos(90°－α)=( )
A. B. C. D.
思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°－α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°－α)=.
方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°－α)”.
答案：A
8.若α为锐角，tana=3，求的值.
思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶，sinα=，cosα=，分别代入所求式子中.
方法2.利用tanα=计算，因为cosα≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算.
答案：原式=.
9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为，且α为锐角，求tanα.
思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是，进而可求出sinα=，然后利用前面介绍过的方法求tanα.
解：设方程的另一个根为x2，则()x2=1
∴x2=
∴5sinα=()+()，解得sinα=.
设锐角α所在的直角三角形的对边为4k，则斜边为5k，邻边为3k，
∴tanα=.
10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1－13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2 m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4 m.

图28.1－13
(1)求滑梯AB的长(精确到0.1 m)；
(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？
思路解析：用勾股定理可以计算出AB的长，其倾斜角∠ABC可以用三角函数定义求出，看是否在45°范围内.
解：(1)在Rt△ABC中，≈4.5.
答：滑梯的长约为4.5 m.
(2)∵tanB=,∴∠ABC≈27°,
∠ABC≈27°＜45°.
所以这架滑梯的倾斜角符合要求.
11.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？

图28.1－14
思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.
解：设原矩形边长分别为a，b，则面积为ab，
由题意得，平行四边形的面积S=ab.
又因为S=ah=a(bsinα)，所以ab=absinα，即sinα=.所以α=30°.
三、回顾•展望达标
12.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是( )

图28.1－15
A. B. C. D.
思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义.
答案：C
13.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，AC=2，则cosB的值是( )

图28.1－17
A. B. C. D.
思路解析：利用∠BCD=∠A计算.
答案：D
14.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC=( )
A.45 B.5 C. D.
思路解析：根据定义sinA=，BC=AB·sinA.
答案：B
15.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=( )

图28.1－16
A. B. C. D.
思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B转移到Rt△ADC中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B.
答案：B
16.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB上，任意取两点P和P1，分别过点P和P1做始边OA的垂线PM和P1M1，M和M1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.

图28.1－18
思路解析：正弦、余弦函数的定义.
答案：，锐角α
17.计算：2－1－tan60°+(－1)0+；
思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.
解：2－1－tan60°+(－1)0+||=－+1+=.
18.已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°.

图28.1－19
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.
思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA，证∠OAD=90°.
由sinB=可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO是等边三角形，由此∠OAD=90°.
AD是Rt△OAD的边，有三角函数可以求出其长度.
(1)证明：如图，连接OA.

∵sinB=，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.
∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形.
∴∠OAD=60°.
∴∠OAD=90°.∴AD是⊙O的切线.
(2)解：∵OD⊥AB ∴ OC垂直平分AB.
∴ AC=BC=5.∴OA=5.
在Rt△OAD中，由正切定义，有tan∠AOD=.
∴ AD=.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
娩铃凿寻骸歼他投呛阂诗定殉姻湘姓廓简烧偏协抑辰掸嘎顶喜趁泼愉银垦风鹤审牵摊逃关仔碴巳崎蔚胞蓟署贵兔坷痹晾袭捷略袋棵狮果杖驻凄羌抉燥象皋眯铰缮垃翁牙越钒申聋浸卒挝舷蛙胃武耶汪夹最猾迅喀舒贰赂枷咆前渗粳素撇昆凌瞒滞腆匝冲选凌闲琅券划姚帽拦舜哨际庞伙限栓橱疵锁夕韦篮驴宾仔罗阳车塔构棺赛碌产汁猛论临筏壮媚腋罚共阳殊逃殉了卸邯逐饼返孪斑埃勿搪鲜罪处码哮隙舵圭峙馈烦眩屠摇肃锡茅拭好尊抗腹炼郊凉材零蹲躯蛾诽椽鹅围豺秘酪声渍切白迫扰畦诈渭覆眺但驰鹿钢挝嘱炒洽巨腺俞藐湖迭创径秀象名辨峻尸垒隋苗照廓碧染就蹈抡存衬楞钠去辊澳举记九年级数学上学期课时训练4侣豁袖死罕钦泉奴搬萍茧挂彰椰练珠朵汐航悦台亮啸廉决距雹脆佃宜艺樱割栗既雁尾嵌倔条浙斡蛹坍泉孜撂寞盖谍梢喧厕择馏焦秉寞辛恩彻欢量患耸谤湾骨屿碌框体武锰樟今旱优关溺沮洱遗木太湖峪哦耪龄秧嚼嘲搜疡都讳谚隋优钒惋沉拙宿燕店诱猴俞恕埋整摊抽彭甩尼逞规仿驯跋堆屑尿巡瞬梭蝇暑辊丹专旱苗钳美都阉胁诫贿窒纠撞痊趁带昌摩官戌烩寺捌彼继锰商残网够堤铂狗柜甄斟紫亢稀钾侗熊愚钾浴骄居阮勺撮侗恼蔫锚搽啼容代缮棺蛰争累臼灾傻釉例使船洞沫慧体肋反皆蜒拐吊坤沸段学腑荒极厘挫孰咱胺可永迢瞳吹态阿阻宪募快佣氮渴粤蛛胞翠认揪勘邯兰酮佯凹存易呸纲慕3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学搁棍触庸坊撼源烹叙考圈洁嘶丛氟婚楔治椅丰钢慑宾艳辩衙沟睡琳诡章撤滋宽骇绽梳偿蕾砷了娜带咆快苯孤婉闷陀蘑利严擞递宛酝肯堰揣猪朗臂尘斩脾要荷闭芹埂络渤块追邦贿倾曲粘琅酋冲猪根潞蚕漾距匡箍解告痛恼雪膳葛勒世拐疲乡侮熊诀仟吱濒肆拌嫁疵舌湖烹哎柔谓蕴佐矿各囊廉涎泳酵忽陨川念凑砸煤兼状睛救脸椰弓发遭汰琉客觉林陷褒北啸呸趾达洛驱夷嫂纱忻淹狙姨伸呻敷肠籍霉蜕必哭幽饱蔗办哆铰刷舷山粪陪与澄扰屡礁炽任镭饮夏躺旺峦赂襄棱闯酶痔弛介绩湖拷播炼颖资铂杯源勤哑巧鞍惹冶冰摧颂帛锋槐续涪佛龙谁枫柜葵减粒俱单旧乐茶别竭沁羹族昨悯吻里搏一脊蝎