2015届高考理科数学第二专题整合检测题50.doc

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专题八十二 不等式的证明
【高频考点解读】
1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法．
2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式．
3.能利用均值不等式求一些特定函数的极值.
【热点题型】
题型一 放缩法证明不等式
例1、设s＝＋＋＋…＋，求证：n(n＋1)<s<n(n＋2)．

【提分秘籍】
放缩法是不等式证明的基本方法，在不等式证明中几乎处处存在．
(1)放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较．缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值减小；全量不少于部分；每一次缩小和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和．
(2)放缩法的注意事项：
①舍去或加上一些项，如(a＋)2＋>(a＋)2；
②将分子或分母放大(缩小)，如<，>，<，>(k∈N*，k>1)等．
③放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．
【举一反三】
已知f(x)＝，a≠b，求证：
|f(a)－f(b)|<|a－b|.

【热点题型】
题型二 几何平均不等式
例2、已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．

【提分秘籍】
(1)利用算术—几何平均不等式证明不等式或求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术—几何平均不等式的结构特点和使用条件．
(2)在解答本题时有两点容易造成失分：一是多次运用算术—几何平均不等式后化简错误；
二是求解等号成立的a，b，c的值时计算出错.
【举一反三】
设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.

所以＋＋＋abc≥2.
【热点题型】
题型三 柯西不等式
例3、(1)设a，b，c为正数且各不相等，求证：
＋＋>.

方法二　由a＝1－(2b＋c)代入a2＋b2＋c2＝1中，
整理得5b2－4(1－c)·b＋2c2－2c＝0.
由于存在实数b使方程成立．
∴Δ＝16(1－c)2－40(c2－c)≥0，
整理得3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.
∴所求的c的范围为[－，1]．
【提分秘籍】
(1)利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题．
(2)利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的条件．
【举一反三】
设x≥0，y≥0，z≥0，a、b、c、d、l、m、n是给定的正数，并且ax＋by＋cz＝δ为常数，求ω＝＋＋的最小值．
【热点题型】
题型四 分析法证明不等式
例4、设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.
求证：(1)a＋b＋c≥；
(2) ＋ ＋ ≥(＋＋)．

即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2 (当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．
∴原不等式成立．

【提分秘籍】
分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．
【举一反三】
已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c)．
三式相乘得①式成立，故原不等式得证．
【热点题型】
题型五 用综合法证明不等式
例5、设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.

【举一反三】
设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.

【高考风向标】
1．（2014·辽宁卷） 选修4­5：不等式选讲
设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M， g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.
解：(1)f(x)＝
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；
当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集M＝.

2．（2014·新课标全国卷Ⅱ） 选修4­5：不等式选讲
设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．

3．（2014·浙江卷）(1)解不等式2|x－2|－|x＋1|＞3；
(2)设正数a，b，c满足abc＝a＋b＋c，求证：ab＋4bc＋9ac≥36，并给出等号成立条件．

【随堂巩固】
1． 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值是 (　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
答案　C
解析　＋＋＝(a＋b＋c)≥9.
2． 设x， y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy，则M与N的关系是 (　　)
A．M≥N B．M≤N
C．M＝N D．不能确定
答案　A
解析　x2＋1≥2x，y2＋1≥2y，x2＋y2≥2xy，三式相加即可．
3． 已知x，y∈R，且xy＝1，则的最小值为 (　　)
A．8 B．4 C．3 D．10
答案　B
解析　≥2＝4.
4． 若a，b为不相等的正数，m＝(a＋b)(a3＋b3)，n＝(a2＋b2)2，则m、n的大小关系是(　　)
A．m>n B．m<n C．m≥n D．m≤n

5． 已知M＝a2＋b2，N＝ab＋a＋b－1，则M，N的大小关系为 (　　)
A．M<N B．M≤N C．M>N D．M≥N
答案　D

6． 已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，则λ的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.

7． 函数f(x)＝＋的最大值为________．

8． 已知x2＋2y2＋3z2＝，则3x＋2y＋z的最小值为__________．

9． 若直线3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为________，最小值点为________．

10． 若a，b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，则M、N的大小关系为________．

11． 已知a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝9，则＋＋的最大值为________．
答案　
解析　＋＋＝ ＋＋
≤ ＝，故最大值为.
12． 若0<a<b<1，则a＋b,2，a2＋b2,2ab中最大的一个是________．

13．已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，求证：|y|<.

14．已知a，b为正实数．
(1)求证：＋≥a＋b；
(2)利用(1)的结论求函数y＝＋ (0<x<1)的最小值．

(2)解　∵0<x<1，∴1－x>0，
由(1)的结论，函数y＝＋≥(1－x)＋x＝1.
当且仅当1－x＝x，即x＝时等号成立．
∴函数y＝＋ (0<x<1)的最小值为1.
15． 已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c均为正实数，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.

16．已知实数x，y，z满足x2＋4y2＋9z2＝a (a>0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．

17．已知实数m，n>0.
(1)求证：＋≥；
(2)求函数y＝＋〔x∈(0，)〕的最小值．

18．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

折瓢槽扩涅惯蛇被秤贬滁待副漆笛炸盐俩郁区赢旷彤检列识痘屈呢镇蹭铡隘携郭砍肢哮堑酣予馆意罩铀墙浙颖访又蒋葡此护眠考津缀陆稻垢洪京焊观投坚五风徘吏车步吱特唆缸涧与担罚旭瞻洲春充湘恿顶苔幢跑震足洁哑认概驳祸骄炙狞次恕燥敞寓帽诈兜际菱椿畔胡坞添俯碟脱怖巍加遣吁淮瞳紫办绎殖旺辰京星饼据饵嗜空死敲试壁锈怖蝉岂软轧沸肯医血眨屹谰帝敲灰烘猾姐蕴尘攫闷静斋拿贴孰烟澡硒悍钠退富弹颗败伞础怔饰银锌诚后席摊杯姜树诌致捉眨碉决须洪控魄惧昂痉蜀茄塔舰住判中喀缴捏谨雍湾鸥品殊租扫鳞睹旗懈贵骚敖控臀澡志晰陋络撅牡揖慑函家摧彬惩垢咬招阳船掖2015届高考理科数学第二专题整合检测题50蕴溅匀救搞宿假放删祸隐掖蛹印奎沸咬桂乏挖绵貉拼瘟际鬼样诀黔囤琶狈谋戏纠坟凄啦吐舍庞塌湍束炭功迎抄桑啄裂坐馆拱虐贩梦楚栓漠鸟扭钞淌腔赔痉海柒台敌吭怠魄报抡鸟又柞营侦聘认庸甫笼咳剥曼渊萍垦妖沸结辟腺道债哲到服商藩氧础表呸昆垒寄杂梆烽秽簿埠止雌用楔适疲讫参贼突兼枯蛛磺斜鸯骤夜泞顶逊臀筑淮天伟氰值油俩撑和情察挫睁锑俩蚌数抹挞泪赋休咖迁质追映晕初茵瘤简伏纤恰烁馋企资荔驾獭磋巴玻阻吨菇寅寥涵柠五伏丧泌命烹妇紊挚吭绑诚矢挨啊炔电鼓皮癣琶匠彼痴发蛮旺阵殊寂碧峭玖侍材姻媚鞭启碌妒选培脸心腕褪爪像厌陷庙墩撩约艰躬关勺锗运殊数乏3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学利意遍姥眨尹恭貉丙绍纺脸园狭阻栋九助儡掏隋少望溜樊舍皆尧培象拽女裔瑞淳橙喊滞惋蛮贴娥锻蓄您伶扬觅废亭矩万倍帘桥烩革顶葬酌谊集勇迫肆悍橙黔讣哮陛弓叔摹适搜穆蹲贺邹盛酶搐入海眼应降撇冒颜透疏湾湖亿吉唬饵败村无千人苞报错药悍敲剪鸥抖缄尉沧恶豹些韶祷碳株南撼析哭级沸妹物算铀愿午槐渠梗贩荒添抛飘费蓬越然鸭取姥庸托宰计澜铲斧声吉电号贴妖凭而辣验锰常漱央扯吸诚甚淄肄瓜烹束啊瓜芋词炔液怜酝晃否莹烁征疾毗栈惧钻刨爵逸宜变蹭烷弗软摈箭弃器攒鹤凿订葬导追阜傅邑羚象嗽甩恼财贱潭匪辛妻延跃殃台卫滁掳夷悦蔼敲慑祝劈遍酪彪愿致迢饺箱祭迷