2017届高考数学函数和导数及其应用第一轮复习题5.doc

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第六节　幂函数与二次函数
[基础达标]　
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)满足f(5)=f(1),则 (　　)
A.f(4)>f(2) B.f(5)>f(2)
C.f(4)>f(1) D.f(0)=f(5)
1.C　【解析】∵a<0,f(5)=f(1),∴函数f(x)的对称轴为x=3,且开口向下,数形结合得f(4)>f(1).
2.(2015·杭州二中模拟)已知函数f(x)=a-x2(1≤x≤2)与g(x)=x+1的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是 (　　)
A. B.[1,2]
C. D.[-1,1]
2.D　【解析】由题得方程a-x2=-x-1,x∈[1,2]有解,即求函数a=x2-x-1,x∈[1,2]的值域,易求得a∈[-1,1].
3.已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,则必有 (　　)
A.f(p+1)>0 B.f(p+1)<0
C.f(p+1)=0 D.f(p+1)的符号不能确定
3.A　【解析】因为对称轴为x=-,由f(0)>0,可知f(-1)>0,由f(p)<0,数形结合可知f(p+1)>0,即选项A正确.
4.(2015·上海静安区期末考试)已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1) B.(-1,2] C.[-1,2] D.[2,5)
4.C　【解析】二次函数f(x)=-x2+4x的图象是开口向下的抛物线,最大值为4,且在x=2时取得,而当x=5或-1时,f(x)=-5,结合图象可知m的取值范围是[-1,2].
5.(2015·济宁模拟)设函数f(x)=
若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为 (　　)
A.4 B.2 C.1 D.3
5.D　【解析】由f(-4)=f(0),可得-=-2,解得b=4.又由f(-2)=4-8+c=-2,可求得c=2,∴f(x)=又f(x)=x,则当x≤0时,x2+4x+2=x,解得x1=-1,x2=-2.当x>0时,x=2,综上可知关于x的方程f(x)=x的解的个数为3.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.若函数y=mx2+x+5在[-2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是　　　　. 
6.　【解析】由题可知①当m=0时符合;②解得0<m≤,综合得0≤m≤.
7.(2015·宿迁三校质检)已知函数f(x)=为奇函数,则不等式f(x)<4的解集为　　　　. 
7.(-∞,4)　【解析】由题得b=-1,a=-3,所以f(x)=数形结合,令x2-3x=4,解得x=4,x=-1(舍),故不等式f(x)<4的解集为(-∞,4).
8.设f(x)=x2-ax-a,若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则a的取值范围是　　　　. 
8.(-∞,-6]∪[2,+∞)　【解析】由题得存在实数x,使得f(x)≤-3成立,即只需f(x)min≤-3,从而有-≤-3,解得a≤-6或a≥2.

[高考冲关]　
1.(5分)(2015·湖南师大附中月考)已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a的值为 (　　)
　A. B. C.2 D.9
1.C　【解析】f(0)=20+1=2,f(f(0))=f(2)=22+2a=4+2a,所以4+2a=4a,解得a=2.
2.(5分)(2015·湖北黄石二中模拟)若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),f(2-x)=f(x),且当x∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(半径为1),则函数H(x)=|xex|-f(x)在区间[-3,1]上的零点个数为 (　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
2.B　【解析】由f(-x)=f(x),f(2-x)=f(x)可知函数为偶函数,且f(2-x)=f(x)=f(-x),得T=2,H(x)=|xex|-f(x)在区间[-3,1]上的零点个数即为f(x)图象与y=ex|x|
图象的交点个数,而y=ex|x|=①当x≥0,g(x)=x·ex单调递增,且g(0)=0,g(1)=e>0,其图象与f(x)有一个交点;②当x<0时,g(x)=-x·ex,g'(x)=-(ex+xex)=-ex(x+1).当x∈(-∞,-1)时,g'(x)>0,当x∈(-1,0)时,g'(x)<0,所以当x=-1时,g(x)取得极大值且0<g(-1)=e-1<1,作出简图图象,易知g(x)与f(x)有3个交点,因此共有4个交点.
3.(5分)(2015·福建莆田一中模拟)定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=,f'(x2)=,则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数f(x)=x3-x2+a是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
3.C　【解析】由定义可知=a2-a,而f'(x)=3x2-2x,所以题意转化为方程3x2-2x=a2-a在[0,a]上有两解,即方程3x2-2x-a2+a=0在(0,a)内有两解,必须满足解得<a<1.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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