实变函数(全)总结.ppt

第一节第一节 集合的概念集合的概念第二节第二节 集合的运算集合的运算第一章 集合1.1.集合的基本概念及运算集合的基本概念及运算AB注：书中用注：书中用 表示包含或真包含关系表示包含或真包含关系（其中S为全集）,简记为Ac2.2.集簇的交和并集簇的交和并集簇的并集簇的并集簇：特别当 时，称集簇为集列，记为集簇的交集簇的交例例 注：在本书中我们未把0包含在N内,+不在中不在中()-2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 例例 (a-1/n a (a-1/n-1 a-1/n a-1/n+1 a例例 (a a+1/n笛卡尔乘积3.3.集合的运算性质集合的运算性质De Morgan公式注：通过取余集，使A与Ac，与互相转换4.4.上、下极限集上、下极限集上极限集上极限集例：设A2n=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0,2下极限集下极限集例：设A2n=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0,2,下极限集为1上极限集上极限集极限集极限集如果集列如果集列 的上极限集与下极限集相等，即的上极限集与下极限集相等，即则称集列则称集列 收敛，称其共同的极限为集收敛，称其共同的极限为集列列 的极限集，记为：的极限集，记为：单调单调增增集列集列极限极限定理定理 9 9：单调集列是收敛的：单调集列是收敛的单调单调增增集列集列极限分析极限分析当An为单调增加集列时单调减集列单调减集列极限分析极限分析当An为单调减小集列时例例 (）)-n -1 0 1 2 n例例 -1 0 1 2 3 4（补充）例（补充）例1 1例例 2 2a a+1/k f(x)第三节第三节 对等与基数对等与基数第一章 集合定义定义1 1：设：设X,YX,Y是两个非空集合，若依照对应法则是两个非空集合，若依照对应法则 f f，对对X X中的中的每个每个x x，均均存在存在Y Y中中唯一唯一的的y y与之对应，则称与之对应，则称这个这个对应法则对应法则 f f 是从是从 X X 到到 Y Y 的一个映射，的一个映射，记作记作 f:XYf:XY或或：设：设X,YX,Y是两个非空集合，是两个非空集合，f f是是XYXY的的子集子集，且，且对对任意任意x xX X，存在唯一存在唯一的的y y Y Y使使(x,y)(x,y)f f，则，则f f 是从是从 X X 到到 Y Y的一个映射的一个映射注：集合，元素，映射是一相对概念略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）映射的定义 例例注：模糊集：参见：模糊集合、语言变量及模糊逻辑，L.A.Zadeh2、实数的加法运算+:RRR (RRR (群群,环环,域域)1、定积分运算 为从a,b上的可积函数集到实数集的映射 (函数,泛函,算子,变换)3、集合的特征函数（集合A与特征函数互相决定）称 为集A的特征函数，证明的过程略证明的过程略2 2 集合运算关于映射的性质（像集）集合运算关于映射的性质（像集）集合运算关于映射的性质（原像集）集合运算关于映射的性质（原像集）注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f为单射，7）等号成立当且仅当f为满射证明的过程略证明的过程略3 对等与基数1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射（既单又满），则称A与B对等,注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广记作约定1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,.1,3,5,7,9,11,13,15,.1,3,5,7,9,11,13,15,.2,4,6,8,10,12,14,16.2,4,6,8,10,12,14,16.n2n-12n0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,.0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,.,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,.,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,.例有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能。例例Galileo在17世纪最先考虑自然数与自然数平方的多少,1870Cantor开始系统考虑.基数的大小比较4 Bernstein定理BernsteinBernstein定理的证明定理的证明fBernsteinBernstein定理的证明定理的证明证明:A AB Bg gf fBernsteinBernstein定理的证明定理的证明A AB Bg gg gf ff ff fA AB Bf fg gf ff fg gBernsteinBernstein定理的证明定理的证明BernsteinBernstein定理的证明定理的证明此处都是关于映射g,如果不是同一映射,则不一定成立.(举例)第二章第二章 点集点集1.1.开集、闭开集、闭开集、闭开集、闭集集集集lP0为为 E的接触点：的接触点：lP0为为 E的聚点：的聚点：lP0为为 E的内点：的内点：说明：要证说明：要证E是开集，只要证是开集，只要证 要证要证E是是闭集，只要证闭集，只要证 若若E=E,则称则称E为开集（为开集（E中每个点都为内点中每个点都为内点)若若 ,则称则称E为闭集（与为闭集（与E紧挨的点不跑到紧挨的点不跑到E外）外）例：开区间例：开区间(a,b)为开集为开集说明：要证说明：要证E是开集，只要证是开集，只要证 abx 证明：任取证明：任取x(a,b),取取=min|x-a|,|x-b|,则则 ,从而从而x是（是（a,b）的内点，的内点，故故(a,b)是开集。是开集。例：闭区间例：闭区间a,b为闭集为闭集说明：说明：要证要证E是闭集，只要证是闭集，只要证a b x 证明：任取证明：任取xa,bc,取取=min|x-a|,|x-b|,则则 ,从而x不是a,b的接触点，从而从而a,b的接触点都在的接触点都在a,b内，内，从而从而a,b是闭集。是闭集。注：闭集为对注：闭集为对注：闭集为对注：闭集为对极限极限极限极限运算运算运算运算封闭封闭封闭封闭的点集的点集的点集的点集l即：即：A为闭集为闭集当且仅当当且仅当A中的任意收敛点列收敛于中的任意收敛点列收敛于A中的点中的点利用：利用：利用：利用：p p0 0为为E的的接触点接触点的充要条件为存在的充要条件为存在E中点列中点列pn,使得使得或或p p0 0是是E的的聚点聚点的的充要条件为充要条件为存在存在E中的中的互异互异的点所成的点列的点所成的点列pn,使使得得若若 （或或 ）,则称则称E为闭集。为闭集。（与（与E接近的点不跑到接近的点不跑到E外）外）E为为开集开集注：E为含于E内的最大开集E从而从而从而从而y y为为为为E E的内点，从而的内点，从而的内点，从而的内点，从而所以所以所以所以x x为为为为E的内点，即的内点，即的内点，即的内点，即证明：只要证证明：只要证任取任取 ，由内点的定义知由内点的定义知任取任取 ，取，取 EE为闭集为闭集为闭集为闭集E证明：只要证证明：只要证任取任取 ，由聚点的定义知，由聚点的定义知 EE为闭集为闭集为闭集为闭集注：为包含E的最小闭集E从而从而即即x为为E的聚点，从而的聚点，从而2 2 开集与闭集的对偶性开集与闭集的对偶性开集与闭集的对偶性开集与闭集的对偶性lP0为为 E的接触点：的接触点：lP0为为 E的聚点：的聚点：lP0为为 E的内点：的内点：lP0为为 E的外点：的外点：b.若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集。a.开集的余集是闭集开集的余集是闭集开集的余集是闭集开集的余集是闭集 从而x不是Ec的接触点，也即Ec的接触点一定在Ec内，从而 ，即Ec为闭集。证明：设证明：设E为开集，即为开集，即从而闭集的余集是开集闭集的余集是开集闭集的余集是开集闭集的余集是开集证明：设E为闭集，即 任取 ，假如x不是Ec的内点，则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，从而x为E的接触点，由为闭集可知x在E内，这与 矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。3 3 开集的性质开集的性质开集的性质开集的性质 a.空集，空集，Rn为开集为开集;b.任意多个任意多个开集之开集之并并仍为开集；仍为开集；c.有限个有限个开集之开集之交交仍为开集。仍为开集。注：无限多个开集的交不一定为开集，如：注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和中只有空集和Rn既开又闭，既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：存在大量既不开又不闭的集合，如：E=0,1)A B4闭集的性质闭集的性质4a.空集，空集，Rn为闭集；为闭集；5b.任意多个任意多个闭集之闭集之交交仍为闭集；仍为闭集；6c.有限个有限个闭集之闭集之并并仍仍为闭集。为闭集。注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=0,1-1/n若若E为开集，则为开集，则Ec为闭集为闭集;若若E为闭集，则为闭集，则Ec为开集为开集5.隔离性定理及点集间的距离隔离性定理及点集间的距离l隔离性定理隔离性定理设设 是是 中两个互不相交的闭集，证明：存在两个中两个互不相交的闭集，证明：存在两个互不相交的开集互不相交的开集 ，使得，使得 注：隔离性定理中注：隔离性定理中“闭集闭集”的条件不能少，的条件不能少，如如2，3）和（）和（3，5点集间的距离点集间的距离点集间的距离点集间的距离 c.若若 ,则则 d(A,B)=0;反之反之?b.d(x,B)=0当且仅当 注：注：a.若若x B,则则d(x,B)=0;反之则不一定成反之则不一定成立，如立，如x=0,B=(0,1)思 考l问题问题2：两个闭集：两个闭集 不相交，下面的结不相交，下面的结论一定成立吗？论一定成立吗？l如如A=n-1/n,B=n+1/n（都是闭集）（都是闭集）上面条件换成有界闭集呢？上面条件换成有界闭集呢？问题问题问题问题1:1:定理中改为有界闭集，怎么构造隔离？定理中改为有界闭集，怎么构造隔离？定理中改为有界闭集，怎么构造隔离？定理中改为有界闭集，怎么构造隔离？定理（距离可达性定理定理（距离可达性定理1）：设）：设A为非空闭集为非空闭集，x xR Rn n ，则必有，则必有y yA A,使得使得d(x,y)=d(x,A)又为闭集，故yA,对两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A)证明：由 可得定理定理定理定理（距离可达性定理（距离可达性定理2）：设：设：设：设A,BA,B为非空为非空为非空为非空闭集闭集闭集闭集，且且且且A A有界有界有界有界，则必有，则必有，则必有，则必有xA,yB,使得使得使得使得d(x,y)=d(A,B)d(x,y)=d(A,B)由于A有界，故证明：由AB又又B为闭集，故为闭集，故yB,另外对另外对两边关于两边关于j取极限得取极限得d(x,y)=d(A,B)又又A为闭集，从而为闭集，从而xA，并可得并可得yni有界有界因为当因为当ni充分大时，充分大时，d(x,yni)d(x,xni)+d(xni,yni)1+(d(A,B)+1/ni）证明：利用d(x,E)d(x,z)d(x,y)+d(y,z)z E定理定理 设设E为为R Rn n中非空点集中非空点集，则，则d(x,E)是是R Rn n上关于上关于上关于上关于x x的的一致连续函数一致连续函数所以d(x,E)是R Rn n上关于上关于x x的一致连续函数。可得d(x,E)d(x,y)+d(y,E)，同理d(y,E)d(x,y)+d(x,E),故有|d(x,E)-d(y,E)|d(x,y)定理：设定理：设F1，F2为为Rn中两个互不相交的非空闭集，则中两个互不相交的非空闭集，则存在存在Rn 上的连续函数上的连续函数f(x)，使得使得（1）0 f(x)1，x Rn（2）f(x)=0，x F1;f(x)=1,x F2注：可推广到一般的拓扑空间（参见：拓扑学 教材），即Urysohn引理.6.R6.R中有关紧性的两个结论中有关紧性的两个结论中有关紧性的两个结论中有关紧性的两个结论Bolzano-Weierstrass定理：定理：若若E是是Rn中的一个中的一个有界的无限集有界的无限集，则，则E至少有一至少有一个个聚点聚点.注：此定理对无限维度量空间不一定成立。注：此定理对无限维度量空间不一定成立。(参见参见P306 例例2)Heine-BorelHeine-Borel有限覆盖定理有限覆盖定理有限覆盖定理有限覆盖定理 设设F为为Rn 中的有界闭集，若开集簇中的有界闭集，若开集簇 覆覆盖盖F，即即 ，则则 中存在中存在有限个有限个开集开集U1，U2，,Un，它同样覆盖它同样覆盖F注：比较下面几种不同的证法注：比较下面几种不同的证法1.周民强，实变函数周民强，实变函数 p-362.尤承业，基础拓扑学尤承业，基础拓扑学 p-523.熊金城，点集拓扑讲义熊金城，点集拓扑讲义 p-2024.教材教材 p-42注：注：Heine-BorelHeine-Borel有限覆盖定理的有限覆盖定理的有限覆盖定理的有限覆盖定理的逆命题也成立逆命题也成立l定义定义（紧集）：（紧集）：设设M是度量空间是度量空间X中的一集合，中的一集合，是是X中任一族覆盖了中任一族覆盖了M的开集，的开集，如果可从中如果可从中选出有限个开集选出有限个开集U1，U2，,Un仍然覆盖仍然覆盖M，则称，则称M是是X中的紧集中的紧集l定理（紧集的充要条件）（定理（紧集的充要条件）（P303）：设）：设X是度量空间，是度量空间，M是是X中一子集，则中一子集，则M是是X中的紧集的充要条件为对中的紧集的充要条件为对M中任何点列，都存在子列收敛于中任何点列，都存在子列收敛于M中一元素中一元素.紧紧 集集 但在一般的度量空间中，紧集必为但在一般的度量空间中，紧集必为 有界闭集，而有界闭集不一定为紧集有界闭集，而有界闭集不一定为紧集l定理：定理：设设M是度量空间是度量空间 中的紧集，则中的紧集，则M是是X中的有界闭集中的有界闭集l举例说明有界闭集未必是紧集（教材举例说明有界闭集未必是紧集（教材P306例例2）结论：结论：中紧集与有界中紧集与有界闭集等价等价可数覆盖定理可数覆盖定理可数覆盖定理可数覆盖定理设设F为为Rn中一中一 集合集合，若开集簇若开集簇 覆盖覆盖F（即即 ），），则则 中存在中存在可数个可数个开集开集U1，U2，,Un，它同样覆盖它同样覆盖F提示：利用空间中以提示：利用空间中以有理点有理点为为中心中心，正有理数正有理数为为半径半径的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理点全体在点全体在Rn中中稠密稠密7 自密集和完备集的定义自密集和完备集的定义l自密集自密集：设：设 ，如果，如果 ，则称，则称E 为自密集，也即集合中每点都是这个集为自密集，也即集合中每点都是这个集 合的聚点，或没有孤立点的集合为自密合的聚点，或没有孤立点的集合为自密 集。集。例：有理数集例：有理数集Q为自密集为自密集l完备集完备集：设：设 ，如果，如果 ，则称，则称 E为完备集。为完备集。例：任何闭区间及全直线都为完备集例：任何闭区间及全直线都为完备集7.直线上的开集构造直线上的开集构造l定义（构成区间）定义（构成区间）设设G为直线上的开集，如果开区间为直线上的开集，如果开区间而且端点而且端点 不属于不属于G，则称，则称 为为G的的构成区间。构成区间。例如：()()a b c c d d (a,b),(c,d)为构成区间（c,d）不是l定理：直线上的任一非空定理：直线上的任一非空开集开集都可唯一地表示成都可唯一地表示成有有限个或可数个限个或可数个互不相交互不相交的的构成区间构成区间的并，又当非空的并，又当非空开集表示成互不相交的开区间的和集时，这些区间开集表示成互不相交的开区间的和集时，这些区间必是构成区间必是构成区间()()()()(直线上的直线上的闭集闭集或是全直线，或是从直线上或是全直线，或是从直线上挖去挖去有限个或有限个或可数个互不相交的可数个互不相交的开区间开区间所得之集所得之集.开开 集集 构构 造造 性性 定定 理理直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点间的公共端点;（4）Rn中的中的开集开集一般不能表示成至一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相但总可表示成至多可数个互不相交的交的半开半闭区间半开半闭区间之并，且不唯一之并，且不唯一.()()()()(l（3）（完备集的构造定理）直线上的完备集）（完备集的构造定理）直线上的完备集F或是全或是全直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交的没直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交的没有公共端点的开区间而得到的集合有公共端点的开区间而得到的集合8.Cantor8.Cantor集集第n次去掉的开区间留下的闭区间12n定义：令称P=0,1-G=0,1Gc 为Cantor集CantorCantor集的性质集的性质a.分割点一定在Cantor集中 Cantor集P=0,1-G=0,1Gc为闭集注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间b.P的“长度”为0，去掉的区间长度和c c.P.P没有内点没有内点没有内点没有内点()x-x x+第 n+1次等分去掉的区间第n次等分留下的区间但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。证明：对任意x P,x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中d.d.P P中的点全为聚点中的点全为聚点中的点全为聚点中的点全为聚点,从而没有孤立点从而没有孤立点从而没有孤立点从而没有孤立点从而x为P的聚点，当然不为孤立点。证明：对任意x P，只要证：由Cantor集的作法知 而 的两个端点定在P中，第n次等分留下的区间()x-x x+数的进位制简介数的进位制简介l十进制小数 相应于 对0,1十等分l二进制小数 相应于 对0,1二等分l三进制小数 相应于 对0,1三等分说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如0.20000000.1999999 （十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数e.e.P P的势为的势为的势为的势为 （利用二进制，三进制证明）（利用二进制，三进制证明）（利用二进制，三进制证明）（利用二进制，三进制证明）证明思路：把0,1区间中的点都写成三进制小数，则Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点的全体，从而Cantor集为小数位只是0,2的点的全体，作对应注:Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点.说明：三等分的端点有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如0.1000000=0.0222222（三进制小数）0.2000000=0.1222222f.康托集康托集P为完备集为完备集（由完备集的构造性定理可得）（由完备集的构造性定理可得）第一节第一节 外测度外测度第三章 测度理论1.1.引言引言其中积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1 xi(1)Riemann积分回顾（分割定义域）新的积分（新的积分（LebesgueLebesgue积分积分,从分割值域入手）yiyi-1用 mEi 表示 Ei 的“长度”问题：如何把长度,面积,体积概念推广?圆的面积内接正n边形的面积（内填）内接外切外切正n边形的面积（外包）达布上和与下和 Riemann积分xi-1 xi达布下和的极限下积分（内填）xi-1 xi达布上和的极限上积分（外包）Jordan测度Jordan外测度（外包）Jordan可测Jordan内测度（内填）例：设例：设E E为为0,10,1中的中的有理数有理数全体，则全体，则E E不不JordanJordan可测可测由于任一覆盖0,1中的有理数全体的有限开覆盖也一定的有理数全体的有限开覆盖也一定能覆盖能覆盖除有限个点除有限个点外的外的 0,10,1，从而，从而由于无理数在0,1中稠密，故任一开区间都不可能含在E内，从而所以所以 ，即，即E E不不JordanJordan可测可测()()()()-1+2 2 LebesgueLebesgue外测度外测度(外包)为E的Lebesgue外测度。定义：，称非负广义实数与Jordan外测度比较：下确下确界：界：即：用一开区间列 “近似”替换集合E例例 设设E E是是0,10,1中的全体有理数，试证明中的全体有理数，试证明E E的外测度为的外测度为0 0 证明：由于E为可数集，再由的任意性知()2.2.平面上的平面上的x x轴的外测度为轴的外测度为0 0思考：思考：.设设E E是平面上的有理点全体，是平面上的有理点全体，则则E E的外测度为的外测度为0 0思考：思考：3.3.我们知道有理数与无理数在我们知道有理数与无理数在0,10,1上都稠密，问证明中上都稠密，问证明中的开区间列是否覆盖了区间的开区间列是否覆盖了区间0,10,1由无理数集在由无理数集在0,10,1上稠密可知上稠密可知上面叙述的上面叙述的错误错误出在取，因为出在取，因为i i的取定依赖于的取定依赖于()思考：思考：4.4.对对JordanJordan外测度，我们用有限个开区间覆盖外测度，我们用有限个开区间覆盖0,10,1中的中的有理数全体，则这有限个开区间也覆盖有理数全体，则这有限个开区间也覆盖0,10,1（除有限个点外）（除有限个点外）注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如antor集的余集的构成区间）()()()注：对有限个开区间一定有从左到右的一个排列5.5.对对LebesgueLebesgue外测度，我们用可数个开区间覆盖外测度，我们用可数个开区间覆盖0,10,1中中的的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖0,10,1（除可数个点外）（除可数个点外）（2 2）LebesgueLebesgue外测度的性质外测度的性质(b)的证明:能覆盖B的开区间列也一定能覆盖A，从而能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开区间列要少，相应的下确界反而大。（b）单调性：（a）非负性：，当E为空集时，（C）次可数可加性证明：对任意的0,由外测度的定义知，对每个An都有一列开区间（即用一开区间I nm列近似替换An）注：一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界由的任意性，即得注：外测度的次可数可加性的等号即使注：外测度的次可数可加性的等号即使A A，B B不交也不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有可能不成立（反例要用不可测集），但有:当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同时含有A，B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A中的点，一部分含有B中的点。若d(A,B)0,则例证明参见教材p-56思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广对任意区间 ，有例：例：CantorCantor集的外测度为集的外测度为0 0。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集证明：令第n次等分后留下的闭区间为第二节第二节 可测集合可测集合第三章 测度理论LebesgueLebesgue外测度外测度(外包)次可数可加性(即使n两两不交)即：用一开区间列“近似”替换集合E1.1.可测集的定义可测集的定义注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集，但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。EEcTETEc（Caratheodory条件），则称E为Lebesgue可测集，此时E的外测度称为E的测度，记作 例：零集E必为可测集即E为可测集。2.2.LebesgueLebesgue可测集的性质可测集的性质证明：(充分性）(必要性)令（a）集合E可测（即 ）即可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭；（b）若A,B,Ai 可测，则下述集合也可测注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得若 Ai两两不交，则（测度的可数可加性）若 A,B可测，则有可减性可测集类关于可测集类关于差，余，差，余，有限有限交交和可数和可数交交，有限有限并并和可数和可数并并，以及，以及极限极限运算运算封闭封闭；也可测。若 可测已证明，则易知易知Ac可测证明：由可测集的定义：证明：由可测集的定义：(1)(2)(3)(4)B BA A下面证明若下面证明若A,B A,B 可测，可测，则则 可测可测下面证明若A i 两两不交，则例：设例：设0,10,1中可测集中可测集A A1 1,A,A2 2,A,An n 满足条件满足条件 则则 必有正测度。必有正测度。注：左边的极限是集列极限，而右边的极限是数列极限，(b)中的条件 不可少(a)a)若若A An n是递增的可测集列，则是递增的可测集列，则(b)b)若An 是递减的可测集列且是递减的可测集列且如An=(n,+)（n单调可测集列的性质单调可测集列的性质第三节第三节 开集的可测性开集的可测性第三章 测度理论注：开集、闭集既是 型集也是 型集；有理数集是 型集，但不是 型集；无理数集是 型集，但不是 型集。有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；通过取余 型集与 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）例例 区间区间 是可测集，且是可测集，且注：零集、区间、开集、闭集、型集（可数个开集的交）、型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。证明见书本p66 2.2.可测集与开集、闭集的关系可测集与开集、闭集的关系即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集或闭集），从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。证明：若(1)已证明，由Ec可测可知取F=G c，则F为闭集(1).(1).若若E E可测，则可测，则 证明:(1)当mE+时，由外测度定义知从而（这里用到mE+）对每个Ei应用上述结果(2)当mE=+时，这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：例证明：对任意的1/n，例：设例：设E E为为0,10,1中的有理数全体，中的有理数全体，试各写出一个与试各写出一个与E E只相差一小只相差一小测度集的开集和闭集。测度集的开集和闭集。例：设例：设E*E*为为0,10,1中的无理数全体，试各写出一个与中的无理数全体，试各写出一个与E*E*只相差一只相差一小测度集的开集和闭集。小测度集的开集和闭集。开集:(0,1)闭集：开集：闭集：空集3.3.可测集与可测集与 集和集和 集的关系集的关系 可测集可由 型集去掉一零集，或 型集添上一零集得到。(2).若E可测，则存在 型集H,使(1).若E可测，则存在 型集 O,使(1).若E可测，则存在 型集 O,使 (2).若E可测，则存在 型集H,使证明：若(1)已证明，由Ec可测可知取H=O c，则H为 型集，且(1).(1).若若E E可测，则存在可测，则存在 型集型集 O,O,使使证明：对任意的1/n，例：例：例：设例：设E*E*为为0,10,1中的无理数全体，试各写出一个与中的无理数全体，试各写出一个与E*E*只相差一只相差一零测度集的零测度集的 型集或型集或 型集。型集。设设E E为为0,10,1中的有理数全体，中的有理数全体，试各写出一个与试各写出一个与E E只相差一只相差一零测度集的零测度集的 型集或型集或 型集。型集。注：上面的交与并不可交换次序类似可证：类似可证：证明:由外测度定义知第四节第四节 不可测集不可测集l存在不可测集（利用选择公理构造，教材p73;1970，R.Solovay证明不可测集存在蕴涵选择公理）l存在不是Borel集的可测集（利用Cantor函数和不可测集构造）参见：实变函数周民强,p87习题讲解习题讲解第三章 测度理论1 设E是直线上的一有界集，则对任意小于 的正数c，恒有子集E1，使证明：由于E有界，故不妨令令f(x)=m*(Ea,x)，则f(a)=0,f(b)=m*E,下证f(x)在a,b上连续 a x1 x2 b 从而f(x)在a,b上（一致）连续；由界值定理知，存在 a,b,使f()=c,令E1=E a,，则E1满足要求.任取x1,x2 a,b,x1a,则f(x)a,由连续性假设知，()xf(x0)+f(x0)f(x0)-a则G为开集，当然为可测集，且 R R中的可测子集中的可测子集E E上的单调函数上的单调函数f(x)f(x)必为可测函数。必为可测函数。aI a x1 x2 由f单调增知下面的集合为可测集证明：不妨设f单调增，对任意aR可测函数的等价描述可测函数的等价描述证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测 对对前面等式的说明前面等式的说明 (a-1/n a(a a+1/n可测函数的性质可测函数的性质可测函数关于子集、并集的性质l反之，若 ,f(x)限制在En上是可测函数，则f(x)在E上也是可测函数。l即:若f(x)是E上的可测函数,可测，则f(x)限制在E1上也是可测函数；若m(Efg)=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立,记作f(x)=g(x)a.e.于E。（almost everywhere）注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性证明：令E 1=Efg，E 2=Ef=g，则m E1=0从而 g(x)在E1上可测，即：设f(x)=g(x)a.e.于E，f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测 注：用到了可测函数关于子集、并集的性质另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测，进一步g(x)在E=E1 E2上也可测。可测函数类关于四则运算封闭可测函数类关于四则运算封闭即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)仍为E上的可测函数。a-g(x)r f(x)类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 为可测集。证明中利用了Q是可数集和R中的稠密集两个性质a-g(x)r f(x)若若f(x),g(x)f(x),g(x)是是E E上的可测函数上的可测函数,则则f(x)g(x)f(x)g(x)仍为仍为E E上的可测函数上的可测函数。作业：若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)-g(x),f(x)/g(x)为E上的可测函数再利用f(x)g(x)=(f(x)+g(x)2-(f(x)-g(x)2/4即可证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意aR可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。推论：可测函数列的推论：可测函数列的极限函数极限函数仍为可测函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。对上式的说明：下确界：(a-1/n a例：例：R R1 1上的可微函数上的可微函数f(x)f(x)的导函数的导函数f(x)f(x)是可测函数是可测函数利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.从而f(x)是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故f(x)是可测函数.证明：由于gn(x)例例 设设 f fn n 是可测函数列，则它的收敛点全体和是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集发散点全体是可测集.注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.证明：发散点全体为 收敛点全体为再可测函数与简单函数的关系可测函数与简单函数的关系可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限MmMmMmn0可测函数与简单函数的关系可测函数与简单函数的关系注：当注：当f(x)f(x)是有界函数时，上述收敛可做到是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛一致收敛l若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限 ，而且还可办到例：设例：设f(x)f(x)是是R R上上连续函数连续函数，g(x)g(x)是是E E上上可测函数可测函数，则，则f(f(g(x)g(x)是可测函数。是可测函数。证明：要证f(g(x)是可测函数，只要证对任意a，Ef ga=x|f(g(x)a可测即可,g 可测f 连续x|f(g(x)a=(f g)-1(a,+)=g-1(f-1(a,+)f-1(a,+)=例：设例：设f(x)f(x)是是R R上上连续函数连续函数，g(x)g(x)是是E E上上可测函数可测函数，则，则f(f(g(x)g(x)是可测函数。是可测函数。注：注：f(x)f(x)是是R R上可测函数，上可测函数，g(x)g(x)是是R R上连续函数，上连续函数，f(g(x)f(g(x)不一定不一定是可测函数是可测函数（利用Cantor函数构造，参见：实变函数，周民强，p114)证明：要证f(g(x)是可测函数，只要证对任意a，m(Ef ga)=x|f(g(x)a可测即可,由于f在F=R上连续，故Ffa为R中的开集，又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的开区间的并，故不妨令再由g可测，可知例：设例：设f(x)f(x)是是R R上上连续函数连续函数，g(x)g(x)是是E E上上可测函数可测函数，则，则f(f(g(x)g(x)是可测函数。是可测函数。注：另证：若g(x)是E上的可测函数,则g(x)总可表示成一列简单函数 的极限因为f(x)连续，故所以f(g(x)是简单函数列的极限，故为可测函数第二节第二节 可测函数的收敛性可测函数的收敛性第四章 可测函数函数列的几种收敛定义函数列的几种收敛定义一致收敛:注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制fn(x)=xn点点收敛:记作1-例：函数列fn(x)=xn ,n=1,2,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛fn(x)=xn几乎处处收敛几乎处处收敛:记作记作 (almost everywherealmost everywhere）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎一致收敛几乎一致收敛:记作记作 (almost uniformly)almost uniformly)依测度收敛依测度收敛:记作记作注：从定义可看出，l几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）l依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何不依测度收敛不依测度收敛依测度收敛依测度收敛几种收敛的区别几种收敛的区别说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1（1 1）处处收敛但不依测度收敛）处处收敛但不依测度收敛n 在R+上处处收敛于 f(x)=1,所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1，另外f fn n 不几乎一致收敛不几乎一致收敛于于1 1f fn n不几乎一致收敛于不几乎一致收敛于f f几乎一致收敛几乎一致收敛:记作记作 (almost uniformly)almost uniformly)即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛即：去掉 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛任意 （）适当小小fn不几乎一致收敛于f即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛不几乎一致收敛于f(x)=1n（2 2）依测度收敛但处处不收敛）依测度收敛但处处不收敛0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1f8依测度收敛但处处不收敛依测度收敛但处处不收敛 取E=(0,1,n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,说明：对任何x(0,1,fn(x)有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；例：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一