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返回第二章 刚体定轴转动 本章将要介绍一种特殊的质点系刚体所遵从的力学规律。刚体可以看成由许多质点组成。在外力的作用下各质元之间的相对位置保持不变。因此，刚体是固体物件的理想化模型。音乐花径不曾缘客扫，蓬门今始为君开。名句赏析.内内 容容 提提 要要 刚体定轴转动运动学 转动定律 刚体定轴转动能定理，功能关系 角动量原理 角动量守恒定律.水平面刚体水平面刚体第一节 刚体的两种基本运动形式刚体的两种基本运动形式一 平动 结论：刚体在平动运动中，连接体内的直线在空间的指向总保持不变，各点具有相同的速度,相同加速度。可按质点力学的规律处理。.固定轴刚体二 定轴转动特点：刚体上各点绕轴在与轴垂直的平面内做圆周运动。各质点的速度，加速度一般不同,可按前面的质点运动学处理.三 刚体更复杂的运动形式：平面平行运动，定点转动，举例说明（略讲)。.定轴转动平动.一 刚体定轴转动的运动方程第 二 节 刚体定轴转动运动学固定轴刚体 如图，一刚体定轴转动，如何确定该刚体的位置。在固定轴上固结轴。与 的夹角 不断设想在刚体上有一直线 ，在刚体转动中，变化，是时间 的函数，一定，则刚体的位置确定（或曰刚体上的所有质点的位置确定），变化，说明刚体的位置变化。因而，用可确定刚体的位置。为刚体定轴转动的运动方程。如同质点一维运动时的.二 角速度 设称为角位移，代数量。则固定轴刚体平均角速度瞬时角速度即对运动方程求一阶导数。.单位或矢量性角速度 可以定义为矢量，以 表示，它的方向规定为沿轴的方向。其指向用右手法则确定。在定轴转动中，因为角速度仅有两个方向，故可用代数量来表示其矢量性。具体做法是：规定一转动方向为正方向，当角速度与其同向时，取正；反之取负，详见后面例题分析。刚体.三 角加速度固定轴刚体加速转动减速转动 若 是变化的，同理得瞬时角加速度.单位或或由运动方程 可得 ，均为代数量。矢量式为同样，在定轴转动中，角加速度仅两个方向，当角加速度与其同向时，取正；反之取负，详见后面例题分析。.对匀变速转动的特殊情形恒量若则有.质点直线运动与刚体定轴转动运动规律比较运动方程速度加速度其他关系式运动方程角速度角加速度其他关系式 .固定轴四 角量和线量的关系 如图示，刚体上一点绕轴在与刚体的轴相垂直的平面内做圆周运动，P半径为 。加速度法向加速度切向加速度例题该点速度为.例 21 刚体定轴转动的运动方程为 ，求:1 时的 和 ；2 时，处的 ，和 。解：12时.*矢量关系矢量式大小方向向内:刚体上一质点的速度沿 方向.刚体上一质点的加速度.第二节 刚体定轴转动定律 问题的提出：当质点运动或刚体平动时，是运动状态，是运动状态的变化，原因是 即合力 是产生加速度 的原因。在刚体定轴转动中，转动状态，转动状态变化，角加速度 产生的原因是什么呢?本节回答此问题。定轴一 力矩力的作用线在轴垂直的平面内,力对水平轴 的力矩为刚体.，力对水平轴 的力矩定轴分解力，则力矩可记为矢量式方向：沿轴，与 和 均垂直。若力的作用线不在与轴垂直的平面内，则把力沿轴与轴垂直的方向分解：作用线沿轴的分力对轴不产生力矩；而作用线在与轴垂直的平面内的力的力矩可用以上方法来分析与计算。平行转动轴的分力的力矩平行于转动轴，不会产生轴向力矩。.二 刚体定轴转动定律 设一刚体定轴转动中，研究力矩 与角加速度 间的定量关系。在刚体上取一小块，质量为 ，到轴的垂直距离为 。内力外力据牛二律法向分量式：切向分量式：为简单其见，设二力的作用线在与轴垂直的平面内。由于本题的讨论中心是角加速度与力矩的关系，而第二式含有 ，故仅讨论第二式。.得对整个刚体求和因解释原因则令.结论式中 称为转动惯量。为刚体受外力矩的代数和。上式表示的内容为转动定律。说明：1 该式具有瞬时性（解释）。2 矢量式为 具体用法是：规定一转动方向为正方向，当力矩与规定正方向一致时，取正；反之取负；当角加速度与规定正方向同向时，取正；反之取负；通常选择转动的方向（角速度方向）为规定正方向，这样得到了转动定律的代数式。祥见后面例题分析。.也为刚体受的外力，但对轴的力矩为零。如图示，规定力 的力矩方向为正方向时，则有.三 转动惯量1 物理意义牛二律知由转动定律 由比较知，当合外力矩 一定时，转动惯量 越大，越小，刚体的转动状态即角速度 越难以改变，即刚体维持原有运动状态的能力强；反之则弱。因此，转动惯量是刚体转动惯性的量度。在力 一定时，越大，则加速度 越小，表示物体维持原来运动状态的能力越强；反之亦然。称为物体平动惯性的量度。简言之，质量越大，其状态越难以改变。.2 计算转动惯量，如图所示。定轴 其物理意义为：各质元的质量与到轴的垂直距离的平方之积的和。考虑到刚体是质量分布的连续体，则.1 求均质圆环对中心轴的转动惯量。o例 22解：可见，转动惯量与质量的大小有关。2 求均质圆盘对中心轴的转动惯量。解：利用上题的结果为基础，取一圆环。由上可知，转动惯量与质量的分布有关。此结果也适合圆柱体。.解：1 轴过端点。例 23 求均匀直杆的转动惯量。1 轴过端点。2 轴过质心。2 轴过质心。可见，刚体的转动惯量与轴的位置有关。.*平行轴定理简介解释对过质心轴的转动惯量对与过质心轴相平行轴的转动惯量二轴间的距离（证明略）例 均质杆.*垂直轴定理简介薄板*垂直轴定理简介证明薄板对 轴的转动惯量对 轴的转动惯量对 轴的转动惯量则有.结论：转动惯量2 与质量的分布有关,1 与质量有关,3 与轴的位置有关。例 2-4求由杆与球组成的体系对轴的转动惯量。解：转动惯量具有叠加性。.例 25 如图，半径为 ，质量为 的 均质圆盘可绕通过质心的水平轴自由转动。盘上绕一段绳，绳的两端分别系二物体 和 ，如图所示。求盘的角加速度，二物的加速度及绳内的张力。设物体运动中，绳与轮间无相对运动，而且 。解：解题思路：本题似曾相识。在高中阶段如何求解此题?轮质量不计。仅研究 和 二物体，绳仅为连接体。则有.然而，此处要考虑轮（因给出了质量和半径）-刚体。此为一刚体和二质点组成的物体系。如何求解：用隔离体法，分析各物体受力。此处，因 和 质量不等，二者会加速运动，它们的加速度大小与轮的边缘处的切向加速度的大小同值，故按转动定律，轮所受的合外力矩定不为零，故 。.转动的正方向轮投影式：对轮，运用转动定律，则对二物体 和 ，运用牛二律，则（1）（2）（3）（4）联立可得 （略）。.例 26 如图，半径为 ，质量为 的 均质圆盘可绕通过质心 的水平轴自由转动。盘上绕一长绳，绳另一端系一质量为 的物体，求绳中的张力 及 .三式联立求解得运动学联系解：力图设转动正方向(略).本题的转动定律又可写为本题的转动定律又可写为.讨论 1 系统从静止开时，经时间t物体下落的高度及轮转过的角度。2 若轮转动时，轴处的摩擦阻力矩为 （恒力矩），结果如何?解：轮：物：转动正方向.3 若阻力矩为 ，为恒量，求轮的角速度的表达式。物：解：轮：二式联立，消去 ，在利用分离变量法，积分求得。（略）.例 27 在外力矩的作用下，物体以速度 上升，撤去外力矩后，物体上升多高时开始下落。并求轮的角加速度。解：减速运动设转动正方向联立求解，得联立求解。.例 28 求解：.解：杆受力如图。1 例 29 如图示，一长为 质量为 的均质杆可绕过一端的水平轴 自由转动，开始时，杆水平。若杆突然释放，求:1 释放后瞬时（杆仍水平）的 ，2 当杆转到与水平成 时的上述值。质心处的 .由质心运动定理，有解得 2当杆转到与水平成某一角 时,由转动定律,有显然,杆做变角加速度转动.越来越小.结果可得 。质心的求 用积分转动定律。如何求杆转到 时的角加速度与角速度.得或积分.如何正确地运用转动定律7 运用运动学条件。转动定律是刚体定轴转动时的规律。运用时：1 选定刚体（盘，柱，杆等）及定轴；2 分析刚体受力，并找出各力的力矩；3 求各力的力矩的代数和；4 写出 的具体表述；5 该式具有瞬时性，与刚体的运动状态（的大小和方向）无关;6 运用隔离体法,对质点运用牛二律;.一 力矩的功 设一刚体绕轴 转动。一力作用在 点,为简单起见，设力的作用线在与轴垂直的平面内，如图示。为 点到轴的垂直距离。该力的作用点 的轨迹为半径为 的圆，故该力的元功为第三节 力矩的功 转动动能 功能关系则 由以上看出，功的定义不变，只是用力矩来计算刚体转动中力的功简单，当然，仍可用力的功。若力矩是转角的函数，用上式积分；若是恒力矩。则上式为是转角。.二 转动动能 在定轴转动刚体上取一质量为 质元,其动能为整个刚体的动能为其中转动惯量转动动能oo.若刚体定轴转动时仅有保守力(或保守力的力矩)做功，则机械能守恒。三 动能定理 机械能守恒律即合外力矩的功等与转动动能的增量。.例 2 9 如图示,杆长为 ,质量为 ,求杆由水平位置(静止)转到竖直位置时的角速度.水平位置(静止)解法 2 用动能定理求解.即解得竖直位置某瞬时位置.解法 3 考虑到仅重力做功,用机械守恒律求解.水平位置(静止)竖直位置零势能面机械能得.例 2-16 如图，求杆由水平释放后（仍水平）时,杆的 和 及杆转到竖直位置时的 ，。轴解：（学生自己做）。例 2-18 求杆的角加速度，及转到水平位置时的角速度。解：（学生自己做）。例 2-19 推证转动的动能定理。.第 四 节 角动量定理 角动量守恒定律 一 角动量定理 转动定律瞬时性。则过程性。该式的物理意义是:瞬时力矩 对微小时间 累积 引起物理量 的变化 。(与 类比)在一段时间内(与 类比 ).定义 冲量矩角动量 角动量定理：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量。实质讲的力矩的时间累积及效果间的关系。若合外力矩是恒力矩，则上式简化为.说明 1 角动量是矢量，表示为，方向与 同。不过，在定轴转动中，沿轴，仅有两个方向，若规定一方向为正，则另一方向为负，因而，在定轴转动中，角动量为代数量既可。角动量定理矢量式:转动方向.物理意义：为质元 的动量与质元到轴的垂直距离的积，称为其动量矩（与力矩比较）。L为组成刚体的各质点动量矩的代数和。故又称动量矩。角动量定理又称动量矩定理。2 动量矩.3 质点的动量矩(角动量)质点动量矩(角动量)的普遍定义式大小矢量式动量在矢径垂直方向的投影与矢径大小的积。方向 右手螺旋法则。定点矢径轨迹.例 求一沿直线运动的质点的角动量.大小:方向:垂直平面向外解.（合力）质点的角动量定理 质点动量的变化率由质点受的合力决定。质点角动量的变化率由什么决定呢？质点角动量对时间的变化率则式中的 称为质点所受合力对此固定点的力矩。力矩为矢量:方向，右手螺旋法则。大小.定点矢径轨迹且式中的 为质点受外力对定 点的力矩。为动量矩或角动量的增量或称为质点的角动量定理.形式同刚体的角动量定理.质点系的角动量定理形式同刚体的角动量定理,因刚体本身为质点系.二 角动量守恒定律称为角动量（或动量矩）守恒律。对质点,因则三 角动量守恒的应用 虽然角动量守恒定律由单一刚体绕定轴转动时导出的，然而确有更广泛的应用范围，归纳如下。对定轴转动刚体,因若质点受合外力矩为零时,即则称为质点的角动量（或动量矩）守恒律。.1 单一质点 在很多情形下，一质点绕一固定点运动，质点受合力的作用线恒过此固定点，即合力的力矩为零，则质点对该固定点的动量矩(角动量)守恒。如.近日点远日点太阳地球动量不守恒!但机械能守恒。据动量矩(角动量)守恒定律,地球对太阳处的角动量恒定;还有电子在原子核的场中运动等。因 与 共线,对 即太阳处力矩为零,即如在地球环绕太阳做椭圆轨道运动时对近日点与远日点,有而且,机械能守恒.演示演示032角动量守恒定律向下拉特点：小球在绳的作用下运动，不断靠近绳穿过的孔。此过程中，角动量守恒，动能不守恒，机械能不守恒，动量不守恒。小孔.2 刚体系 例 如图示，若轮B沿轴移向A轮，当二者接触后，二者因摩擦最后以相同的角速度转动，求其值，设 。解：当二轮接触后，因有轮间的内摩擦力矩，A轮转速减慢，而B轮加快。最后，二者以相同的转速转动。作用过程中仅内力矩做功，故体系的角动量守恒。作用前作用后 据此得到 作用过程中，机械能不守恒，为什么?.3 刚体与质点系一均质杆自由悬挂，处于静止的状态。一子弹水平的射向杆。当子弹击中杆后，嵌入杆内，使体系获的角速度。作用中，系统的外力矩为零（包括重力矩和轴处约束力）为零，体系的角动量守恒作用前作用后杆静止子弹运动，对轴有动量矩杆与子弹一起转动但作用中动量不守恒，机械能也不守恒!此后如何运动,遵守什麽守恒率.轴对杆有作用力.例 如图，均质杆可绕过质心自由转动的轴在水平面内转动。杆静止。一刚球垂直射向杆，与杆做完全弹性碰撞。求作用后杆的角速度。作用前解：角动量守恒机械能守恒作用后.动量不守恒：作用中体系所受的外力为轴对体系的作用力.解释 作用中，体系的机械能不守恒，动量不守恒。在何处有外力，请考虑其计算。例 如图所示，均匀细棒OA可绕过端点的轴在水平面内转动，开始棒静止，速率为V的子弹从棒端穿过后的速率为 ，则该棒的角速度为2V()A()B()D()COALMmmVr2Vr.例如图所示，均匀细棒AB长 ,质量为 可绕过质心 的竖直轴在水平面内转动，开始棒静止，速度为 的子弹在棒端击中杆,并嵌于其中,则杆的角速度为.4 轴位置不变,转动中无外力矩作用,但质量分布变化 当体系在无外力矩的情形下，对轴的角动量 守恒，若体系的质量分布变化，其转动惯量 相应的改变，因而，角速度 变化。如：花样滑冰；跳水；跳马；巴蕾舞等。（物体在无外力矩的存在下，因内力而使质量分布改变).生熟鸡蛋地判断.宇宙飞船中的宇航员在空中翻转身体。.角动量角动量在广泛的领域内的应用：天体间，星体的公转与自转的动量矩。以及微观体系内粒子的角动量，如电子轨道运动角动量，电子，中子及其它粒子的自旋角动量等。而且，据近代物理理论，微观粒子的角动量是量子化的，自旋及自旋角动量是微观粒子的基本属性。.如何正确地运用角动量守恒定律 关键分析出体系（或物体）在作用中，对轴（或一定点）的合外力矩为零（而不是合外力为零）。注意动量守恒律和角动量守恒律的区别。切无混淆。.动力学内容比较质点一维运动刚体的定轴转动牛一律牛二律转动定律力矩平衡功动能定理动能定理功动量定理角动量原理（冲量矩定理）对物体系守恒律条件.第 五 节 滚动（略讲)一 刚体的平面平行运动:运动学设一圆柱体在地面上滚动 质心对地速度:轮上某点相对质心的速度:轮上某点相对地面的速度为.轮纯滚动:由于圆柱体与平面间无相对滑动。质心平动，而轮上各点绕质心转动运动学规律 在轮纯滚动时，轮缘上的一点P转过角 时，轮的质心C移动距离为 ，轮的质心速度大小为二 轮纯滚动:运动学即为纯滚动的运动学条件。.据速度叠加，轮缘上各点的速度为 不难得出，轮缘上与地面接触点 的速度为瞬心质心平动，而轮上各点绕质心转动。运动学规律该点称为转动瞬心。而轮上不同点速度各异。.三 动力学规律静摩擦力瞬心质心运动规律动能如图绕质心转动规律.轮做纯滚动，与地接触点速度为零，可取为瞬时转动中心，可以此为瞬轴，写出转动定律。推广联合解题。.例 讨论圆柱体沿斜面的纯滚动，质心运动规律解：为何有 ，无 能否纯滚动。分量式：.绕质心转动规律联立解得柱与斜面间的最大静摩擦力为.若 即或 则圆柱体不可能在斜面纯滚动了。因此，圆柱体在斜面上纯滚动的条件为功能关系为不做功，为什麽.演示012圆柱形刚体静摩擦力纯滚动纯滚动纯滚动为质心平动和绕质心的转动的合运动静摩擦力产生对质心的力矩重力分力对瞬心产生力矩o质心轨迹.第六节 进 动 类比法是学习和研究物理的一种基本方法。质点 与 平行，物体做直线运动,被加速或减速；动量的方向不变，仅改变大小。与 垂直时，此时，力仅改变动量的方向，而大小不变，如匀速率圆周运动。合力与动量垂直，动量绕 点匀速转动，而动量的增量与力同向。.刚体 在定轴转动中，和 皆 沿轴，角动量的增量 与力矩 的方向相同。当 与 的方向一致时，刚体加速转动；反之减速转动。若 与 垂直，刚体做何种运动呢?此时的刚体不可能再做定轴转动运动。由物理的规律的表达式可知，角动量的增量 仍是与力矩 的方向相同，但与角动量 本身的方向垂直，此时，力矩 只会改变角动量 的方向，而不改变其大小。结果，使角动量在空间转动，刚体绕一点进动。如同匀速率圆周运动中的动量 在空中转动一样。.解释+垂直于!的增量 与力矩 同方向.陀螺陀螺角动量 绕定点转动。即进动。应用炮弹运行飞机，舰艇急转弯自行车转弯陀螺定向.进动应用1 飞机，军舰行进中的快速转动。轴承压力的形成。2 定向。子弹运行。3 电子轨道在外磁场中的进动。4 双原子分子轨道角动量在绕核间轴的进动。5 自行车的进动。飞行的子弹进动图（阻力）.（磁矩）电子的轨道运动在外磁场中进动示意图.本章的重点与难点转动定律角动量原理角动量守恒律一 运动学1 运动方程（运动规律）2 角速度3 角加速度匀变速时.4 角量和线量的关系二 转动定律瞬时性。代数和转动惯量的意义三 功与能力矩的功恒力矩的功12 转动动能3 功能关系.如图示，系统静止，弹簧处于原长处，不计摩擦，求物体下滑 的速度。光滑零势能面4 若仅保守力的力矩做功，则机械能守恒。.四 角动量原理 角动量守恒定律 1 角动量原理 2 角动量守恒定律 体系角动量守恒。这个定律的应用有一定的难度，关健是有哪些物体构成物体系，作用过程中，系统的外力矩为零。该过程中，合力可能不为零，动量不守恒；机械能也可不守恒。角动量质点刚体.下一章返回清明清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂。借问酒家何处有，牧童遥指杏花村。（唐）杜牧.例 131 如图，体系开始静止，当摆线由水平摆到竖直时，车及球的速度。光滑水平面车解：体系机械能守恒。体系水平方向动量守恒。解得如何求物体到达最低点时绳中得张力。.例 132 一质量为 的木块置于光滑的水平面上，其上有一半径为 的光滑圆弧，如图示。当质量为 的小球沿圆弧由 运动到圆弧的底部 时，二者的速度。解：本题的特点是,作用中，体系沿水平方向动量守恒，取向左为正方向。在最底点时，设大木块及球对地均向左运动，则有解（略）过程中，对体系，仅重力作功，故机械能守恒，则 *物体系在竖直方向的动量是否守恒，为什么?的动能来自何方?哪些力对 做功；与 间的一对内力功之和为多少?.例 210 体系从静止开时，经 秒后轮的角速度。解：轮：物：动量矩定理动量定理二式联立得结果或另一方法.例 29 一半径为 ，质量为 的均质圆盘置于水平桌面上，设盘在桌面上转动的初角速度为 ，盘和桌面间的摩擦系数为 ，盘经多长时间停止转动。解：阻力矩为略去数值例题.例 一倔强系数为 ，原长为 的弹性绳一端固定，另一端系一质量为 的小球，整个系统在光滑的水平面上，如图示。开始 时 ，如图。求物体与O点的最近距离。解：分析：物体绕O运动时，受合力恒指向O点，故对O点动量矩守恒。当物体运动到B点时，弹性绳恢复到原长，但不是最近距离，此后，物体惯性运动，到C点时，为最近距离。BC2 角动量守恒1 机械能守恒.例 212 如图示，质量为 半径为 的均质盘（砂轮）绕定轴自由转动，某瞬时，其边缘处爆列，一质量为 的一小块向上飞去，求余下的盘的角速度。解：小块飞出时，此小块与余下的盘部分为一物体系，体系的合外力矩为零，故此过程中，体系的角动量守恒。作用前作用后是经常犯的错误!.解：设轮的半径为 ，设人向上爬时，物对地速度为 ，体系受合外力矩为零，人对地的速度为二者速度大小相同，故同时到达。作用前，体系的动量矩为作用后，体系的动量矩为据动量矩守恒定律则有 例 214 如图，人与物同质量 ，开始体系静止。当人以相对速度 向上爬动时，求二者对地的速度及人与物谁先到达轮处。并讨论计论的半径和质量时，及二者质量不同时的情形。.*计轮的质量时，由角动量守恒律得*若人质量为 ，而物体为 。体系的合外力矩为体系的角动量为由角动量原理（或动量矩定理)得或即注意到 ，得此时人和物作加速运动。.