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初二上册压轴题强化数学试卷附答案
1.如图1,在平面直角坐标系中,点A(a,0)、点B(b,0)为x轴上两点,点C在y轴的正半轴上,且a,b满足等式.
(1)________;
(2)如图2,若M,N是OC上的点,且,延长BN交AC于P,判断△APN的形状并说明理由;
(3)如图3,若,点D为线段BC上的动点(不与B,C重合),过点D作于E,BG平分∠ABC交线段DE于点G,连AD,F为AD的中点,连接CG,CF,FG.试说明,CG与FG的数量关系.
2.(初步探索)(1)如图:在四边形中,,,、分别是、上的点,且,探究图中、、之间的数量关系.
(1)(1)小明同学探究此问题的方法是:延长到点,使.连接,先证明,再证明,可得出结论,他的结论应是_____________;
(2)(灵活运用)(2)如图2,若在四边形中,,,、分别是、上的点,且,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
3.如图1,在平面直角坐标系中, ,动点从原点出发沿轴正方向以的速度运动,动点也同时从原点出发在轴上以的速度运动,且满足关系式,连接,设运动的时间为秒.
(1)求的值;
(2)当为何值时,
(3)如图2,在第一象限存在点,使,求.
4.如图,是等边三角形,点在上,点在的延长线上,且.
(1)如图甲,若点是的中点,求证:
(2)如图乙,若点不的中点,是否成立?证明你的结论.
(3)如图丙,若点在线段的延长线上,试判断与的大小关系,并说明理由.
5.在等腰三角形ABC中,AB=AC,点D是AC上一动点,在BD的延长线上取一点E满足:AE=AB;AF平分∠CAE交BE于点F.
(1)如图1,连CF,求证:△ACF≌△AEF.
(2)如图2,当∠ABC=60°时,线段AF,EF,BF之间存在某种数量关系,写出你的结论并加以证明.
(3)如图3,当∠ACB=45°时,且AE∥BC,若EF=3,请直接写出线段BD的长是 (只填写结果).
6.在△ABC中,∠ACB=90°,过点C作直线l∥AB,点B与点D关于直线l对称,连接BD交直线于点P,连接CD.点E是AC上一动点,点F是CD上一动点,点E从A点出发,以每秒1cm的速度沿A→C路径运动,终点为C.点F从D点出发,以每秒2cm的速度沿D→C→B→C→D路径运动,终点为D.点E、F同时开始运动,第一个点到达终点时第二个点也停止运动.
(1)当AC=BC时,试证明A、C、D三点共线;(温馨提示:证明∠ACD是平角)
(2)若AC=10cm,BC=7cm,设运动时间为t秒,当点F沿D→C方向时,求满足CE=2CF时t的值;
(3)若AC=10cm,BC=7cm,过点E、F分别作EM、FN垂直直线l于点M、N,求所有使△CEM≌△CFN成立的t的值.
7.方法探究:
已知二次多项式,我们把代入多项式,发现,由此可以推断多项式中有因式(x+3).设另一个因式为(x+k),多项式可以表示成,则有,因为对应项的系数是对应相等的,即,解得,因此多项式分解因式得:.我们把以上分解因式的方法叫“试根法”.
问题解决:
(1)对于二次多项式,我们把x= 代入该式,会发现成立;
(2)对于三次多项式,我们把x=1代入多项式,发现,由此可以推断多项式中有因式(),设另一个因式为(),多项式可以表示成,试求出题目中a,b的值;
(3)对于多项式,用“试根法”分解因式.
8.如图,在等边△ABC中,线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时,以CD为一边在CD的下方作等边△CDE,连结BE.
(1)求∠CAM的度数;
(2)若点D在线段AM上时,求证:△ADC≌△BEC;
(3)当动D在直线AM上时,设直线BE与直线AM的交点为O,试判断∠AOB是否为定值?并说明理由.
【参考答案】
2.(1)0
(2)等腰三角形,见解析
(3)CG=2FG
【分析】(1)由可得,得出a、b的值即可求解;
(2)由OC垂直平分AB可得,再由外角可得 ,结合已知条件,等量代换即可得到结论;
解析:(1)0
(2)等腰三角形,见解析
(3)CG=2FG
【分析】(1)由可得,得出a、b的值即可求解;
(2)由OC垂直平分AB可得,再由外角可得 ,结合已知条件,等量代换即可得到结论;
(3)先延长GF至点M,使FM=FG,连接CG、CM、AM,可证,得到,再结合已知条件得到,可得是等腰三角形,利用等腰三角形的性质得出,最后证明 为等边三角形,即可得到结论.
(1)
解得
(2)
是等腰三角形,理由如下:
由点A(a,0)、点B(b,0)为x轴上两点,且
可得,OA=OB
OC垂直平分AB
,
是等腰三角形
(3)
,理由如下:
如图,延长GF至点M,使FM=FG,连接CG、CM、AM
F为AD的中点
在和中
垂直平分
,BG平分
为等边三角形,
在和中
即是等腰三角形
为等边三角形
在 中, .
【点睛】本题是三角形的综合题目,考查了非负性求和、线段垂直平分线的性质、外角的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质及直角三角形的性质,涉及知识点多,能够合理添加辅助线并综合运用知识点是解题的关键.
3.(1)(初步探索)结论:∠BAE+∠FAD=∠EAF;
(2)(灵活运用)成立,理由见解析
【分析】(1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠D
解析:(1)(初步探索)结论:∠BAE+∠FAD=∠EAF;
(2)(灵活运用)成立,理由见解析
【分析】(1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF,据此得出结论;
(2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF.
(1)
解:∠BAE+∠FAD=∠EAF.
理由:如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,
∵,
∴,
∵DG=BE,,
∴△ABE≌△ADG,
∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,
∵EF=BE+FD,DG=BE,
∴,且AE=AG,AF=AF,
∴△AEF≌△AGF,
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF.
故答案为:∠BAE+∠FAD=∠EAF;
(2)
如图2,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,
∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,
∴∠B=∠ADG,
又∵AB=AD,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,
∴△AEF≌△AGF(SSS),
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF
【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.解题时注意:同角的补角相等.
4.(1);(2);(3)
【分析】(1)把满足的关系式转化为非负数和的形式即可解答;
(2)画出图形,动点运动方向有两种情况,分情况根据列方程解答即可;
【详解】解:(1)
(
解析:(1);(2);(3)
【分析】(1)把满足的关系式转化为非负数和的形式即可解答;
(2)画出图形,动点运动方向有两种情况,分情况根据列方程解答即可;
【详解】解:(1)
(2)当动点沿轴正方向运动时,如解图-2-1:
当动点沿轴负方向运动时,如解图-2-2:
(3)过作,连
在与
∴,
在与中
∴,,
∴,,
∴是等边三角形,
∴,
又∵
∴
∵
∴
【点睛】本题是三角形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,添加恰当辅助线构造三角形是本题的关键.
5.(1)详见解析;(2)成立,理由详见解析;(3),证明详见解析.
【分析】(1)根据等边三角形三线合一的性质即可求得∠DBC的度数,根据BD=DE即可解题;
(2)过D作DF∥BC,交AB于F,
解析:(1)详见解析;(2)成立,理由详见解析;(3),证明详见解析.
【分析】(1)根据等边三角形三线合一的性质即可求得∠DBC的度数,根据BD=DE即可解题;
(2)过D作DF∥BC,交AB于F,证△BFD≌△DCE,推出DF=CE,证△ADF是等边三角形,推出AD=DF,即可得出答案.
(3)如图3,过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P,证明△BPD≌△DCE,得到PD=CE,即可得到AD=CE.
【详解】证明:是等边三角形,
为中点,
,,
;
(2)成立,
如图乙,过作,交于,
则是等边三角形,
,
,
,,
在和中
,
即
如图3,过点作,交的延长线于点,
是等边三角形,也是等边三角形,
,
,
在和中,
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是作出辅助线,构建全等三角形.
6.(1)证明见解析
(2),证明见解析
(3)6
【分析】(1)由角平分线的定义可知,再根据等量代换得出AC =AE,由此可直接利用“SAS”证明;
(2)在BE上截取BM=CF,连接AM.由
解析:(1)证明见解析
(2),证明见解析
(3)6
【分析】(1)由角平分线的定义可知,再根据等量代换得出AC =AE,由此可直接利用“SAS”证明;
(2)在BE上截取BM=CF,连接AM.由所作辅助线易证,得出,.由题意易判断为等边三角形,即可求出,即说明为等边三角形,得出,由此即得出;
(3)延长BA,CF交于点N.由题意可知为等腰直角三角形,即,.根据平行线的性质和等边对等角即得出BE为的角平分线,从而可求出,进而可求出.由角平分线的性质可得出,从而可求出.又易证,即得出.
(1)
∵AF平分∠CAE,
∴.
∵AB=AC,AB=AE,
∴AC =AE.
又∵AF=AF,
∴.
(2)
证明:∵,
∴,.
如图,在BE上截取BM=CF,连接AM.
在和中,,
∴,
∴,.
∵,,
∴为等边三角形,
∴.
∵,
∴,即,
∴为等边三角形,
∴,
∴.
即AF,EF,BF之间存在的关系为:;
(3)
如图,延长BA,CF交于点N.
∵,,
∴为等腰直角三角形,
∴,.
∵AE∥BC,
∴.
∵,
∴,
∴.
由(1)可知,
∴,
∴,即.
∵为的角平分线,
∴.
∵,
∴,即.
在和中,,
∴,
∴.
故答案为:6.
【点睛】本题为三角形综合题,考查等边三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,三角形全等的判定和性质,角平分线的定义和性质,平行线的性质以及三角形内角和定理,综合性强,较难.解题关键是学会添加常用的辅助线,构造全等三角形解决问题.
7.(1)见解析
(2)
(3)
【分析】(1)先由AC=BC、∠ACB=90°得到∠ABC=45°,进而得到∠CBD=∠CDB=45°,然后得到∠BCD=90°,最后得到∠ACB+∠BCD=18
解析:(1)见解析
(2)
(3)
【分析】(1)先由AC=BC、∠ACB=90°得到∠ABC=45°,进而得到∠CBD=∠CDB=45°,然后得到∠BCD=90°,最后得到∠ACB+∠BCD=180°,即A、C、D三点共线;
(2)先用含有t的式子表示CE和CF的长,然后根据CE=2CF列出方程求得t的值;
(3)先由∠BCP=∠FCN、∠BCP+∠ECM=90°,∠ECM+∠MEC=90°得到∠MEC=∠FCN,然后结合全等三角形的性质列出方程求得t的值.
(1)
证明:∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠ABC=45°,
∵点B与点D关于直线l对称,
∴BD⊥直线l,BC=CD,
∵直线l∥AB,
∴BD⊥AB,
∴∠ABD=90°,
∴∠CBD=∠CDB=45°,
∴∠BCD=90°,
∴∠ACB+∠BCD=180°,
∴A、C、D三点共线;
(2)
解:∵AC=10cm,BC=7cm,
∴当点F沿D→C方向时,0≤t≤3.5,
∴CE=10-t,CF=7-2t,
∵CE=2CF,
∴10-t=2(7-2t),
解得:t=.
(3)
解:∵∠BCP=∠FCN,∠BCP+∠ECM=90°,∠ECM+∠MEC=90°,
∴∠MEC=∠FCN,
∵△CEM≌△CFN,
当CE=CF时,△CEM≌△CFN,
当点F沿D→C路径运动时,
10-t=7-2t,
解得,t=-3,不合题意,
当点F沿C→B路径运动时,
10-t=2t-7,
解得,t=,
当点F沿B→C路径运动时,
10-t=7-(2t-7×2),
解得,t=11,
∵第一个点到达终点时第二个点也停止运动.点E从A点出发,以每秒1cm的速度沿A→C路径运动,终点为C.AC=10,
∴0≤t≤10,
∴t=11时,已停止运动.
综上所述,当t=秒时,△CEM≌△CFN.
【点睛】本题是三角形综合题目,考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识,掌握全等三角形的判定定理和性质定理,灵活运用分类讨论思想是解题的关键.
8.(1)±2
(2)a=0,b=-3;
(3)
【分析】(1)将x=±2代入即可;
(2)由题意得x3-x2-3x+3=x3-(1-a)x2-(a-b)x-b,再由系数关系求a、b即可;
(
解析:(1)±2
(2)a=0,b=-3;
(3)
【分析】(1)将x=±2代入即可;
(2)由题意得x3-x2-3x+3=x3-(1-a)x2-(a-b)x-b,再由系数关系求a、b即可;
(3)多项式有因式(x-2),设另一个因式为(x2+ax+b),则x3+4x2-3x-18=x3+(a-2)x2-(2a-b)x-2b,再由系数关系求a、b即可.
(1)
解:当x=±2时,x2-4=0,
故答案为:±2;
(2)
解:由题意可知x3-x2-3x+3=(x-1)(x2+ax+b),
∴x3-x2-3x+3=x3-(1-a)x2-(a-b)x-b,
∴1-a=1,b=-3,
∴a=0,b=-3;
(3)
解:当x=2时,x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0,
∴多项式有因式(x-2),
设另一个因式为(x2+ax+b),
∴x3+4x2-3x-18=(x-2)(x2+ax+b),
∴x3+4x2-3x-18=x3+(a-2)x2-(2a-b)x-2b,
∴a-2=4,2b=18,
∴a=6,b=9,
∴x3+4x2-3x-18=(x-2)(x2+6x+9)=(x-2)(x+3)2.
【点睛】本题考查因式分解的意义,理解“试根法”的本质,多项式乘多项式的正确展开是解题的关键.
9.(1)30°;(2)见解析;(3)是定值,理由见解析
【分析】(1)根据等边三角形的性质可以直接得出结论;
(2)根据等边三角形的性质就可以得出,,,由等式的性质就可以,根据就可以得出;
(3
解析:(1)30°;(2)见解析;(3)是定值,理由见解析
【分析】(1)根据等边三角形的性质可以直接得出结论;
(2)根据等边三角形的性质就可以得出,,,由等式的性质就可以,根据就可以得出;
(3)分情况讨论:当点在线段上时,如图1,由(2)可知,就可以求出结论;当点在线段的延长线上时,如图2,可以得出而有而得出结论;当点在线段的延长线上时,如图3,通过得出同样可以得出结论.
【详解】解:(1)是等边三角形,
.
线段为边上的中线,
,
.
故答案为:30°;
(2)与都是等边三角形,
,,,
,
.
在和中,
,
;
(3)是定值,,
理由如下:
①当点在线段上时,如图1,
由(2)可知,则,
又,
,
是等边三角形,线段为边上的中线,
平分,即,
.
②当点在线段的延长线上时,如图2,
与都是等边三角形,
,,,
,
,
在和中,
,
,
,
同理可得:,
.
③当点在线段的延长线上时,如图3,
与都是等边三角形,
,,,
,
,
在和中,
,
,
,
同理可得:,
,
,,
.
综上,当动点在直线上时,是定值,.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用,直角三角形的性质的运用,等式的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.
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