函数的性质综合应用.docx

训练目标
函数的单调性、最值、奇偶性、周期性.
训练题型
(1)判定函数的性质；(2)求函数值或解析式；(3)求参数或参数范围；(4)和函数性质有关的不等式问题.
解题策略
(1)利用奇偶性或周期性求函数值(或解析式)，要根据自变量之间的关系合理转换；(2)和单调性有关的函数值大小问题，先化到同一单调区间；(3)解题时可以根据函数性质作函数的草图，充分利用数形结合思想.
一、选择题
1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是(　　)
A．y＝log3x B．y＝3|x|
C．y＝x D．y＝x3
2．(2016·荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，则f等于(　　)
A.＋1 B.－1
C．－－1 D．－＋1
3．(2016·西安模拟)设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2－x)＝f(x)，若当x≥1时，f(x)＝ln x，则有(　　)
A．f<f(2)<f B．f<f(2)<f
C．f<f<f(2) D．f(2)<f<f
4．已知函数f(x)＝log(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C. D.
5．(2016·威海模拟)函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2－x)>0的解集为(　　)
A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－2<x<2}
C．{x|x<0或x>4} D．{x|0<x<4}
6．(2016·杭州高三联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x2<0且x1x2<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．可能为0 B．恒大于0
C．恒小于0 D．可正可负
7．(2016·浙江诸暨中学交流卷一)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)＝被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，现有关于函数f(x)的如下四个命题：
①f(f(x))＝0；②函数f(x)是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：
①若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(3＋x)，则f(x)的一个周期T＝2；②若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(3－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；③函数y＝f(x＋1)与函数y＝f(3－x)的图象关于直线x＝2对称；④若函数y＝与函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)＝.其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．(2016·孝感模拟)已知y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f(x)＝x2－2x，则当10≤x≤12时，f(x)＝________________.
10．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是________．(把正确的序号都填上)
①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝x2；③f(x)＝sin x；
④f(x)＝cos 2x.
11．(2016·北京大兴区高三4月统一练习)已知函数f(x)＝若在其定义域内存在n(n≥2，n∈N*)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的最大值是________；若n＝2，则的最大值是________．
12．(2016·武汉部分学校毕业生2月调研)已知函数f(x)＝alog2|x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝给出下列命题：
①F(x)＝|f(x)|；
②函数F(x)是奇函数；
③当a>0时，若x1x2<0，x1＋x2>0，则F(x1)＋F(x2)>0成立；
④当a<0时，函数y＝F(x2－2x－3)存在最大值，不存在最小值．
其中所有正确命题的序号是________．

答案解析
1．D　2.D
3．C　[由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，
所以f＝f，f＝
f，又当x≥1时，f(x)＝ln x，单调递增，所以f<f<f(2)，
即f<f<f(2)．]
4．D　[令t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知f(t)＝logt在其定义域上单调递减，要使f(x)＝log(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1，＋∞)上单调递增，且t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0，即
所以即－<a≤2.]
5．C　[由题意可知f(－x)＝f(x)，
则(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，即(2a－b)x＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝2a.则f(x)＝a(x－2)(x＋2)．
又函数在(0，＋∞)上单调递增，
所以a>0.f(2－x)>0，即ax(x－4)>0，
解得x<0或x>4.故选C.]
6．C　[由x1x2<0，不妨设x1<0，x2>0.
∵x1＋x2<0，∴x1<－x2<0.
由f(x)＋f(－x)＝0，知f(x)为奇函数，
又由f(x)在(－∞，0)上单调递增，得
f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，
∴f(x1)＋f(x2)<0.故选C.]
7．C　[命题①，因为f(x)＝0或f(x)＝1，即f(x)∈Q，所以f(f(x))＝1，故①错误；命题②，因为x和－x要么同为有理数，要么同为无理数，所以f(－x)＝f(x)，故②正确；命题③，因为T为有理数，所以x＋T和x要么同为有理数，要么同为无理数，所以f(x＋T)＝f(x)，故③正确；命题④，取B，C两点在x轴上，A点在直线y＝1上，由两直线距离是1，可知BC边上的高为1，所以三角形的边长是，当A的横坐标为有理数x1时，B，C的横坐标分别为x1±，为无理数，所以④也成立．故选C.]
8．C　[在f(x＋1)＝f(3＋x)中，以x－1代换x，得f(x)＝f(2＋x)，所以①正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是y＝f(x)上的两点，且x1＝x＋1，x2＝3－x，有＝2，由f(x1)＝f(x2)，得y1＝y2，即P，Q关于直线x＝2对称，所以②正确；函数y＝f(x＋1)的图象由y＝f(x)的图象向左平移1个单位得到，而y＝f(3－x)的图象由y＝f(x)的图象关于y轴对称得y＝f(－x)，再向右平移3个单位得到，即y＝f[－(x－3)]＝f(3－x)，于是y＝f(x＋1)与函数y＝f(3－x)的图象关于直线x＝＝1对称，所以③错误；设P(x，y)是函数f(x)图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P′(－x，－y)必在y＝的图象上，有－y＝，即y＝，于是f(x)＝，所以④正确．]
9．－x2＋22x－120
解析　∵f(x)在R上是周期为4的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．由f(x＋4)＝f(x)，可得f(x－12)＝f(x)．设－2≤x≤0，则0≤－x≤2，f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，当10≤x≤12时，－2≤x－12≤0，f(x)＝f(x－12)＝－(x－12)2－2(x－12)＝－x2＋22x－120.
10．①③④
解析　因为f(x)＝f(2a－x)(a≠0)，所以函数f(x)的对称轴为x＝a.所以准偶函数的定义等价于“若函数f(x)存在对称轴x＝a(a≠0)，则称f(x)为准偶函数”．因为函数f(x)＝|x＋2|的对称轴为x＝－2，所以f(x)＝|x＋2|是准偶函数；因为f(x)＝x2只有一条对称轴是x＝0，不满足准偶函数的定义，所以f(x)＝x2不是准偶函数；因为x＝是函数f(x)＝sin x的一条对称轴，所以函数f(x)＝sin x是准偶函数；因为x＝π是函数f(x)＝cos 2x的一条对称轴，所以函数f(x)＝cos 2x是准偶函数．综上，应填①③④.
11．3　4－2
解析　画出函数f(x)＝的图象，如图，使得＝＝…＝的x1，x2，…，xn的个数就是直线y＝kx与y＝f(x)的图象的交点

个数，由图知直线y＝kx与y＝f(x)的图象的交点个数最多有三个，所以n的最大值是3.当n＝2时，的最大值就是直线y＝kx与－x2＋4x－3(1≤x≤3)的图象相切时k的值，由判别式可得k＝4－2(k＝4＋2不合题意舍去)，即的最大值是4－2.

12．②③
解析　①因为|f(x)|＝
而F(x)＝这两个函数的定义域不同，不是同一个函数，即F(x)＝|f(x)|不成立，①错误．②当x>0时，F(x)＝f(x)＝alog2|x|＋1，－x<0，F(－x)＝－f(－x)＝－(alog2|－x|＋1)＝－(alog2|x|＋1)＝－F(x)；当x<0时，F(x)＝－f(x)＝－(alog2|x|＋1)，－x>0，F(－x)＝f(－x)＝alog2|－x|＋1＝alog2|x|＋1＝－F(x)，所以函数F(x)是奇函数，②正确．③当a>0时，F(x)＝f(x)＝alog2|x|＋1在(0，＋∞)上是单调增函数．若x1x2<0，x1＋x2>0，不妨设x1>0，则x2<0，x1>－x2>0，所以F(x1)>F(－x2)>0，又因为函数F(x)是奇函数，－F(x2)＝F(－x2)，所以F(x1)＋F(x2)>0，③正确．
④函数y＝F(x2－2x－3)＝

当x>3或x<－1时，因为a<0，
所以y＝F(x2－2x－3)既没有最大值，也没有最小值．