高等数学第八章多元函数积分学.ppt

第八章第八章 多元函数积分学多元函数积分学一一 二重积分的概念及简单性质二重积分的概念及简单性质二二 二重积分的计算二重积分的计算1 1.一、问题的提出一、问题的提出二、二重积分的概念二、二重积分的概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质四、小结四、小结2 2.柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出曲顶柱体曲顶柱体3 3.回忆定积分回忆定积分.设一元函数设一元函数 y=f(x)在在a,b可积可积.则则如图如图0 xyabxixi+1 iy=f(x)f(i)其中其中 i xi,xi+1,xi=xi+1 xi,表小区表小区间间xi,xi+1的长的长,f(i)xi表示小矩形的面积表示小矩形的面积.4 4.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极分割、求和、取极限限”的方法的方法5 5.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极分割、求和、取极限限”的方法的方法6 6.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极分割、求和、取极限限”的方法的方法7 7.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极分割、求和、取极限限”的方法的方法8 8.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极分割、求和、取极限限”的方法的方法9 9.设有一立体.其底面是 xy 面上的区域D,其侧面为母线平行于 z 轴的柱面,其顶是曲面 z=f(x,y)0,连续.称为曲顶柱体.若立体的顶是平行于 xy 面的平面.则平顶柱体的体积=底面积高.0yzxz=f(x,y)D如图 一、例1.1.求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积V.V.1010.(i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1,D2,Dn,每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.如图z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi1111.(ii)由于由于Di很小很小,z=f(x,y)连续连续,小曲顶柱体小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体可近似看作小平顶柱体.(i,i)Di.小平顶柱体的高小平顶柱体的高=f(i,i).若记若记 i=Di的面积的面积.则小平顶柱体的体积则小平顶柱体的体积=f(i,i)i 小小曲顶柱体体积曲顶柱体体积 f(i,i)(i,i)Diz=f(x,y)1212.(iii)因此因此,大曲顶柱体的体积大曲顶柱体的体积分割得越细分割得越细,则右端的近似值越接近于精确则右端的近似值越接近于精确值值V,若分割得若分割得无限细无限细,则右端近似值会无则右端近似值会无限接近于精确值限接近于精确值V.若若存在存在则则1313.(iv)其中其中Di的直径是指的直径是指Di中相距最远的两点的距离中相距最远的两点的距离.其中其中 (i,i)Di,i=Di 的面积的面积.xyDi如图如图1414.求曲顶柱体体积的方法：求曲顶柱体体积的方法：分割、取近似、分割、取近似、求和、取极限。求和、取极限。1515.步骤如下：步骤如下：1.分割分割2.取近似取近似3.求和求和4.取极限取极限1616.求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量1717.二、二重积分的概念二、二重积分的概念1818.积积积积分分分分区区区区域域域域被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量-被积表达式被积表达式被积表达式被积表达式面积元素面积元素面积元素面积元素1919.对二重积分定义的对二重积分定义的说明说明：2020.二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值2121.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为则面积元素为D D2222.性质性质当当 k 为常数时，为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质2323.性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质若若 为为D的面积，的面积，性质性质若在若在D上上特殊地特殊地则有则有2424.性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）2525.思考题思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处它们的相同之处与不同之处.2828.定积分与二重积分定积分与二重积分相同之处相同之处：都表示某种和式都表示某种和式 的极限值，且此值只与被积函数及的极限值，且此值只与被积函数及 积分区域有关积分区域有关不同不同的是的是:定积分的积分区域为区间，被积函定积分的积分区域为区间，被积函 数为定义在区间上的一元函数数为定义在区间上的一元函数;二重积分的积分区域为平面区域，二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二被积函数为定义在平面区域上的二 元函数元函数思考题解答思考题解答2929.利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分3030.先讨论积分区域为：先讨论积分区域为：其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.利用直角坐标系计算二重积分X型型X 型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的直线与区域轴的直线与区域边界相交不多于边界相交不多于两个交点两个交点.3131.3232.积分区域为：积分区域为：X型型一般地，一般地，-先对先对 y 积分，后对积分，后对 x 积分的二次积分积分的二次积分3333.如果积分区域为：如果积分区域为：Y型型-先对先对 x 积分，后对积分，后对 y 积分的二次积分积分的二次积分3434.1.若若D既是既是 x型区域型区域,又是又是 y型区域型区域.比如比如x0yx0yx0y当用某次序算二重积分不好算时当用某次序算二重积分不好算时,可改换积分次序可改换积分次序,可能好算可能好算.则既可先对则既可先对 x 积分积分,又可先对又可先对 y 积分积分.等等等等,此时此时,3535.2.（1）如果积分区域是矩形）如果积分区域是矩形（2）如果被积函数）如果被积函数 f(x,y)=f1(x)f2(y),且积分区域是矩且积分区域是矩 形区域，形区域，则则3636.设D：a x b,c y d.f(x,y)=f1(x)f2(y)可积，则yx0dcab3737.比如，比如，3838.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别使在分割后的三个区域上分别使用积分公式用积分公式则必须分割则必须分割.3.3939.例例1 将将化为二次积分。化为二次积分。其中其中 D 由直线由直线围成。围成。解解 1：先画出积分区域先画出积分区域 D。D 是是 Y型。型。于是，于是，4141.解解 2：于是，于是，4242.例例2 计算计算其中其中 D 由直线由直线围成。围成。解解 先画出积分区域先画出积分区域 D。D 是是 X型。型。于是，于是，4343.于是，于是，4444.例例34545.解解积分区域为积分区域为于是，于是，4646.解解设设则则4747.于是，于是，设设4848.解解4949.5050.解解5151.例例9.9.求求解：解：由于由于是是“积不出积不出”的，怎么办？的，怎么办？要改换积分次序要改换积分次序.先画积分区域先画积分区域D的图形的图形.由积分表达式知，由积分表达式知，D：y x 1,0 y 1画曲线画曲线 x=y 和和 x=1，直线，直线y=0,y=1.如图：如图：故故 原式原式=yx0Dy=x5252.由例由例8，例，例9知，选择适当的积分顺序，知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。改换积分顺序试一试。5353.1.1.xy0y=xy=x2x解解:先画区域先画区域D的图形的图形.法法1.先对先对y积分积分.5454.5555.xy0y=xy=x211法法2.先对 x 积分.y5656.5757.2.2.解解:先画D的图形.先对 x 积分.xy0y=x+2y=x21125858.所以,原式=问问,若先对若先对 y 积分积分,情形怎样情形怎样?xy0y=x+2y=x21125959.3.改换解：写出D的表达式，画 D 的图形改为先对x再对y的积分yx0D246060.一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分二、小结二、小结61.一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分面积元素面积元素62.二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图D：63.区域特征如图区域特征如图D：64.二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图D：65.极坐标系下区域的极坐标系下区域的面积面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图66.例例1 将将化为在极坐标系下的二次积分。化为在极坐标系下的二次积分。1）4）2）3）67.1）解解在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为2）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为68.2）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为3）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为69.3）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为4）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为70.4）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为71.解解72.解解73.例例4.4.求求其中其中D：x2+y2 1解解：一一般般,若若D的的表表达达式式中中含含有有x2+y2时时，可可考考虑虑用用极坐标积分。极坐标积分。0 xyx2+y2 1令令x=rcos,y=rsin,则则x2+y2 1的极坐标方程为的极坐标方程为r=1.由由(2)D*:0 r 1,0 2 74.另由几何意义：另由几何意义：75.解解76.77.78.79.二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式二、小结二、小结80.5 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分81.D：由：由 所围成区域（第一象限部分）所围成区域（第一象限部分）82.83.84.85.8686.一、立体的体积二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积8787.例例1 计算由曲面计算由曲面及及 xoy 面所围的立体面所围的立体体积。体积。解解设立体在设立体在第一卦限上第一卦限上的体积为的体积为 V1。由立体的对称性，所求立由立体的对称性，所求立体体积体体积 V=4V1。立体在第一卦限部分可以看立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲成是一个曲顶柱体，它的曲顶为顶为8888.立体在第一卦限部分可以看立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲成是一个曲顶柱体，它的曲顶为顶为它的底为它的底为于是，于是，8989.所求立体的体积所求立体的体积9090.例例2 求两个圆柱面求两个圆柱面所围所围的立体在第一卦限部分的体积。的立体在第一卦限部分的体积。解解所求立体所求立体可以看成可以看成是一个曲是一个曲顶柱体，顶柱体，它的曲顶为它的曲顶为它的底为它的底为9191.它的底为它的底为它的曲顶为它的曲顶为于是，立体体积为于是，立体体积为9292.三、平面薄片的重心9393.解解9494.9595.计算计算其中其中D:x2+y2 a2(a0).解：解：D 如图如图,由于由于D关于关于x轴，轴，y 轴都对称，轴都对称，0 xyx2+y2=a2aD1Dr=a即即f(x,y)也关于也关于x轴，轴，y轴对称轴对称.故故9696.9797.例：例：计算广义积分解：解：这是一个在“概率论”中很重要的积分，用通常方法无法算出.由广义积分定义9898.其中S:0 y R,0 x R下用“夹逼定理”求作D1：x2+y2 R2 0 xyx2+y2=R2RR9999.令令R+，上式两端的极限均为，上式两端的极限均为故故.100100.