资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，△ABC 中，点 D 为边 BC 的点，点 E、F 分别是边 AB、AC 上两点，且 EF∥BC，若 AE：EB＝m，BD：DC＝n，则（ ）
A．若 m＞1，n＞1，则 2S△AEF＞S△ABD B．若 m＞1，n＜1，则 2S△AEF＜S△ABD
C．若 m＜1，n＜1，则 2S△AEF＜S△ABD D．若 m＜1，n＞1，则 2S△AEF＜S△ABD
2．用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是（ ）
A．种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”
B．种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”
C．种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树不成活”
D．种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9
3．下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为;
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生；
D．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次
4．下列图形中是中心对称图形的有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④b2﹣4ac＞0，其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知一个正多边形的一个外角为锐角，且其余弦值为，那么它是正（ ）边形．
A．六 B．八 C．十 D．十二
8．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB=6，则AC等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．18
9．已知圆内接正三角形的面积为3，则边心距是（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．二次函数的图像如图所示，下面结论：①；②；③函数的最小值为；④当时，；⑤当时，（、分别是、对应的函数值）．正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“”的概率是________．
12．已知3a＝4b≠0，那么＝_____．
13．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形ABCD的面积为34，小正方形EFGH的面积为4，则tan∠DCG的值为_____．
14．如图，现有测试距离为5m的一张视力表，表上一个E的高AB为2cm，要制作测试距离为3m的视力表，其对应位置的E的高CD为____cm．
15．分解因式：2x2﹣8=_____________
16．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B＝_____度．
17．若，则的值为__________．
18．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD＝_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．
(1) 求证：CD是⊙O的切线；
(2) 若⊙O的直径为4，AD=3，试求∠BAC的度数．
20．（6分）如图，已知反比例函数y＝的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2.
(1)求k和m的值；
(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝的图象上，当－3≤x≤－1时，求函数值y的取值范围．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程：2x2+6x﹣a＝1．
（1）当a＝5时，解方程；
（2）若2x2+6x﹣a＝1的一个解是x＝1，求a；
（3）若2x2+6x﹣a＝1无实数解，试确定a的取值范围．
22．（8分）如图，△ABC的角平分线BD=1，∠ABC=120°，∠A、∠C所对的边记为a、c.
(1)当c=2时，求a的值；
(2)求△ABC的面积(用含a，c的式子表示即可)；
(3)求证：a，c之和等于a，c之积.
23．（8分）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.1．
（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；
（2）小明向纸箱中再放进红色球若干个，小丽为了估计放入的红球的个数，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到红球的频率在0.5附近波动，请据此估计小明放入的红球的个数．
24．（8分）已知正比例函数y=-3x与反比例函数y= 交于点P(-1,n),求反比例函数的表达式
25．（10分）如图，在中，，，为外一点，将绕点按顺时针方向旋转得到，且点、、三点在同一直线上.
（1）（观察猜想）
在图①中， ；在图②中， （用含的代数式表示）
（2）（类比探究）
如图③，若，请补全图形，再过点作于点，探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）（问题解决）
若，，，求点到的距离.
26．（10分）某宾馆有客房间供游客居住，当每间客房的定价为每天元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加元，就会减少间客房出租．设每间客房每天的定价增加元，宾馆出租的客房为间．求：
关于的函数关系式；
如果某天宾馆客房收入元，那么这天每间客房的价格是多少元？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据相似三角形的判定与性质，得出，，从而建立等式关系，得出，然后再逐一分析四个选项，即可得出正确答案 .
【详解】解：∵EF∥BC，若AE：EB＝m，BD：DC=n，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∴
∴当m=1，n=1，即当E为AB中点，D为BC中点时，，
A.当m＞1，n＞1时，S△AEF与S△ABD同时增大，则或，即2
或2＞，故A错误；
B.当m＞1，n ＜1，S△AEF增大而S△ABD减小，则，即2，故B错误；
C.m＜1，n＜1，S△AEF与S△ABD同时减小，则或，即2或2＜，故C错误；
D.m＜1，n＞1，S△AEF减小而S△ABD增大，则，即2＜，故D正确 .
故选D .
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质， 熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键 .
2、D
【解析】A. 种植10棵幼树，结果可能是“有9棵幼树成活”，故不正确；
B. 种植100棵幼树，结果可能是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活” ，故不正确；
C. 种植10n棵幼树，可能有“9n棵幼树成活” ，故不正确；
D. 种植10n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9，故正确；
故选D.
3、A
【分析】由题意根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于0并且小于1，进行判断．
【详解】解：A、不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；
B、随机事件发生的概率P为0＜P＜1，故本选项错误；
C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，是随机事件，正面朝上的次数不确定是多少次，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查不可能事件、随机事件的概念．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4、B
【解析】∵正三角形是轴对称能图形；平行四边形是中心对称图形；正五边形是轴对称图形；正六边形既是中心对称图形又是轴对称图形，
∴中心对称图形的有2个．
故选B.
5、C
【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x＝﹣1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断，根据根的判别式解答即可．
【详解】由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，过（1，0）点，
把（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，a+b+c＝0，因此①正确；
对称轴为直线x＝﹣1，即：﹣＝﹣1，整理得，b＝2a，因此②不正确；
由抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的；
由图可得，抛物线有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故④正确；
故选C．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴，y轴的交点，以及增减性上寻找其性质．
6、D
【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答
【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，
分析选项，可得正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是D．
故选D．
【点睛】
本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键.
7、B
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
【详解】∵一个外角为锐角，且其余弦值为，
∴外角＝45°，
∴360÷45＝1．
故它是正八边形．
故选：B．
【点睛】
本题考查根据正多边形的外角判断边数，根据余弦值得到外角度数是解题的关键．
8、C
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=AC，根据邻补角的定义求出∠AOB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB，然后求解即可．
【详解】∵矩形ABCD的两条对角线交于点O，
∴OA=OB=AC，
∵∠AOD=10°，
∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-10°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=2×6=1．
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
9、B
【分析】根据题意画出图形，连接AO并延长交BC于点D，则AD⊥BC，设OD=x，由三角形重心的性质得AD=3x， 利用锐角三角函数表示出BD的长，由垂径定理表示出BC的长，然后根据面积法解答即可．
【详解】如图，
连接AO并延长交BC于点D，则AD⊥BC，
设OD=x，则AD=3x，
∵tan∠BAD=，
∴BD= tan30°·AD=x，
∴BC=2BD=2x，
∵ ,
∴×2x×3x=3，
∴x＝1
所以该圆的内接正三边形的边心距为1，
故选B．
【点睛】
本题考查正多边形和圆，三角形重心的性质，垂径定理，锐角三角函数，面积法求线段的长，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．
10、C
【分析】由抛物线开口方向可得到a＞0；由抛物线过原点得c=0；根据顶点坐标可得到函数的最小值为-3；根据当x＜0时，抛物线都在x轴上方，可得y＞0；由图示知：0＜x＜2，y随x的增大而减小；
【详解】解：①由函数图象开口向上可知，，故此选项正确；
②由函数的图像与轴的交点在可知，，故此选项正确；
③由函数的图像的顶点在可知，函数的最小值为，故此选项正确；
④因为函数的对称轴为，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点为，所以当时，，故此选项正确；
⑤由图像可知，当时，随着的值增大而减小，所以当时，，故此选项错误；
其中正确信息的有①②③④．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=，；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】让点数为6的扑克牌的张数除以没有大小王的扑克牌总张数即为所求的概率．
【详解】∵没有大小王的扑克牌共52张，其中点数为6的扑克牌4张，
∴随机抽取一张点数为6的扑克，其概率是
故答案为
【点睛】
本题考查的是随机事件概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
12、．
【分析】根据等式的基本性质将等式两边都除以3b，即可求出结论．
【详解】解：两边都除以3b，得
＝，
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解决此题的关键．
13、
【分析】根据大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 即可得到 , ，再根据勾股定理，即可得到 ，进而求得的值.
【详解】由题意可知：大正方形的面积为 ，小正方形的面积为
，
四个直角三角形全等，
设 ，则
由勾股定理可得：在中，
解之得：
在中，
故答案为
【点睛】
本题主要考查了勾股定理以及解直角三角形的应用，明确锐角三角函数的边角对应关系，设未知数利用勾股定理是解题关键.
14、1.1
【分析】证明△OCD∽△OAB，然后利用相似比计算出CD即可．
【详解】解：OB=5m，OD=3m，AB=1cm，
∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴，即，
∴CD=1.1，
即对应位置的E的高CD为1.1cm．
故答案为1.1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似的性质求相应线段的长．
15、2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式.
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键.
16、1
【分析】由题意先根据旋转的性质得到∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠B＝∠CB′A′，则可判断△CAA′为等腰直角三角形，所以∠CAA′＝45°，然后利用三角形外角性质计算出∠CB′A′，从而得到∠B的度数．
【详解】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠B＝∠CB′A′，
∴△CAA′为等腰直角三角形，
∴∠CAA′＝45°，
∵∠CB′A′＝∠B′AC+∠1＝45°+20°＝1°，
∴∠B＝1°．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查旋转的性质，注意掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
17、
【分析】直接利用已知得出，代入进而得出答案．
【详解】∵
∴
∴==
故填：.
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，正确运用已知变形是解题关键．
18、36°．
【分析】由正五边形的性质得出∠BAE=(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，得出 ==，由圆周角定理即可得出答案．
【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BAE=(n﹣2)×180°=(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，
∴==，
∴∠CAD=×108°=36°；
故答案为：36°．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆的关系，以及圆周角定理的应用；熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）30°.
【解析】(1)连接OC,证先利用角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠OCA=∠DAC，从而OC∥AD，由平行线的性质可得OC⊥CD，从而得出CD是⊙O切线；
(2)连接BC,证明△ACB∽△ADC,求出AC的长度,再求出∠BAC的余弦,得出∠BAC的度数.
【详解】解：(1) 连结OC.
∵平分，∴∠BAC=∠DAC.
又OA=OC, ∴∠BAC=∠OCA, ∴∠OCA=∠DAC, ∴OC∥AD.
∵AD⊥CD, ∴OC⊥CD, ∴CD是⊙O的切线.
(2) 连结BC. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠ADC=90°.
又∠BAC=∠DAC, ∴△ACB∽△ADC. ∴, , , ∴AC=.
在Rt△ACB中, cos∠BAC=, ∴∠BAC=30°.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆的切线的判定及锐角三角函数的知识.连接半径是证明切线的一种常用辅助线的做法,求角的度数可以借助于三角函数.
20、 (1) k＝4， m＝1；(2)当－3≤x≤－1时，y的取值范围为－4≤y≤－.
【详解】试题分析：（1）根据反比例函数系数k的几何意义先得到k的值，然后把点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值；
（2）先分别求出x=﹣3和﹣1时y的值，再根据反比例函数的性质求解．
试题解析：（1）∵△AOB的面积为2，∴k=4，∴反比例函数解析式为，∵A（4，m），∴m==1；
（2）∵当x=﹣3时，y=﹣；
当x=﹣1时，y=﹣4，又∵反比例函数在x＜0时，y随x的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，y的取值范围为﹣4≤y≤﹣．
考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
21、（1），；（2）a＝8；（3）
【分析】（1）将a的值代入，再利用公式法求解可得；
（2）将x＝1代入方程，再求a即可；
（3）由方程无实数根得出△＝62﹣4×2（﹣a）＜1，解之可得．
【详解】解：（1）当a＝5时，方程为2x2+6x﹣5＝1，
∴，
∴，
解得：，；
（2）∵x＝1是方程2x2+6x﹣a＝1的一个解，
∴2×12+6×1﹣a＝1，
∴a＝8；
（3）∵2x2+6x﹣a＝1无实数解，
∴△＝62﹣4×2（﹣a）＝36+8a＜1，
解得：．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解、解一元二次方程以及一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程ax2＋bx＋c＝1（a≠1）的根与△＝b2−4ac有如下关系：①当△＞1时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝1时，方程有两个相等的实数根；③当△＜1时，方程无实数根．
22、 (1)a=2；(2)或；(3)见解析.
【分析】（1）过点作于点，由角平分线定义可得度数，在中，由，可得，由，得点与点重合，从而，由此得解；
（2）范围内两种情形：情形1：过点作于点，过点作延长线于点，情形2：过点作于点交AB的延长线于点H，再由三角形的面积公式计算即可；
（3）由（2）的结论即可求得结果.
【详解】(1)过点作于点，
∵平分，
∴，
在中，，，
∵，
∴点与点重合，
∴，
∴；
(2)情形1：过点作于点，过点作延长线于点，
∵平分，
∴．
∵在中，，，
在中，，，
∴；
情形2：过点作于点交AB的延长线于点H，
则，
在中，，
于是；
(3)证明：由（2）可得=，
即=，
则a+c=ac
【点睛】
此题主要考查学生对解直角三角形的理解及运用，掌握三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理以及三角形面积的解答方法是解决此题的关键．
23、（1）50；（2）2
【解析】（1）蓝色球的个数等于总个数乘以摸到蓝色球的概率即可；
（2）因为摸到红球的频率在0.5附近波动，所以摸出红球的概率为0.5，再设出红球的个数，根据概率公式列方程解答即可．
【详解】（1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为：100×（1﹣0.2﹣0.1）=50（个）
（2）设小明放入红球x个．根据题意得：
解得：x=2（个）．
经检验：x=2是所列方程的根．
答：小明放入的红球的个数为2．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
24、.
【分析】将点P的坐标代入正比例函数y=-3x中，即可求出n的值，然后将P点坐标代入反比例函数y=中，即可求出反比例函数的表达式.
【详解】解：将点P的坐标代入正比例函数y=-3x中，得n=-3×（-1）=3，
故P点坐标为（-1,3）
将点P（-1,3）代入反比例函数y=中，得3=
解得：m=2
故反比例函数的解析式为：
【点睛】
此题考查的是求反比例函数的解析式，掌握用待定系数法求反比例函数的解析式是解决此题的关键.
25、（1）；；（2），证明见解析；（3）点到的距离为或.
【分析】（1）在图①中由旋转可知，由三角形内角和可知∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，因为，∠OAP+∠PAB=∠OAB，所以∠APB=∠AOB=α；在图②中，由旋转可知，得到∠OBP+OAP=180°，通过四边形OAPB的内角和为360°，可以得到∠AOB+∠APB=180°，因此∠APB=；
（2）由旋转可知≌，，，，因为，得到，即可得证；
（3）当点在上方时，过点作于点，由条件可求得PA，再由可求出OH；当点在下方时,过点作于点，同理可求出OH.
【详解】（1）①由三角形内角和为180°得到∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，
由旋转可知，
又∵∠OAP+∠PAB=∠OAB，
∴∠OBP+∠PAB+∠ABO+∠AOB=180°，即∠PAB+∠ABP+∠AOB=180°，
∴∠APB=∠AOB=α；
②由旋转可知，
∵=180°，
∴∠OBP+OAP=180°，
又∵∠OBP+OAP+∠AOB+∠APB=360°，
∴∠AOB+∠APB=180°，
∴∠APB=；
（2）
证明：由绕点按顺时针方向旋转得到
∴≌，，，，
又∵，
∴
∴
（3）【解法1】
（i）如图，当点在上方时，过点作于点
由（1）知，，
∵
∴
由(2)知,
∴
(ii)如图,当点在下方时,过点作于点
由(1)知, ,
∵
∴
∴
∴点到的距离为或.
【解法2】
（i）如图，当点在上方时 ，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，取的中点
∴
∴点，，，四点在圆上
∴，且
∴
∴
∵，，
∴
在中，，设，则
∴，化简得：
∴，（不合题意，舍去）
∴
（ii）若点在的下方，过点作，
同理可得：
∴点到的距离为或.
【点睛】
本题属于旋转的综合问题，题目分析起来有难度，要熟练掌握各种变化规律.
26、（1）y=-x+200；（2）这天的每间客房的价格是元或元．
【解析】（1）根据题意直接写出函数关系式，然后整理即可；
（2）用每间房的收入(180+x)，乘以出租的房间数(-x+200)等于总收入列出方程求解即可.
【详解】（1）设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间，
根据题意，得：y=200-4×，
∴y=-x+200；
（2）设每间客房每天的定价增加x元，
根据题意，得(180+x)(-x+200)=38400，
整理后，得x2-320x+6000=0，
解得x1=20，x2=300，
当x=20时，x+180=200（元），
当x=300时，x+180=480（元），
答：这天的每间客房的价格是200元或480元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，列一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，解题关键在于根据题意准确列出一元二次方程.
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