资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列说法中，不正确的是（ ）
A．所有的菱形都相似 B．所有的正方形都相似
C．所有的等边三角形都相似 D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
3．已知，若，则它们的周长之比是（ ）
A．4：9 B．16：81
C．9：4 D．2：3
4．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
6．如图，四边形内接于, 为延长线上一点,若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（ ）
A． B． C．4 D．6
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＋2的图象如图所示，顶点为(－1，1)，下列结论：
①abc＜1；②b2－4ac＝1；③a＜2；④4a－2b＋c＞1．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
10．全等图形是相似比为1的相似图形，因此全等是特殊的相似，我们可以由研究全等三角形的思路，提出相似三角形的问题和研究方法．这种其中主要利用的数学方法是（ ）
A．代入法 B．列举法 C．从特殊到一般 D．反证法
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为______．
12．已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－x + a2－1=0的一个根是0，那么a的值为 ．
13．如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为_____．
14．某校九年级学生参加体育测试，其中10人的引体向上成绩如下表：
完成引体向上的个数
7
8
9
10
人数
1
2
3
4
这10人完成引体向上个数的中位数是___________
15．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为______．
16．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= ．
17．一个圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为120°的扇形，那么这个圆锥的底面圆的半径为____．
18．数据2，3，5，5，4的众数是____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．
（1）分别求出线段AP、CB的长；
（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；
（3）如果tan∠E=，求DE的长．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）设直线与该抛物线的对称轴交于点E，在射线上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值．
21．（6分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
每轮传染中平均一个人传染了几个人？
按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？
22．（8分）如下图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点．另一边交的延长线于点．
（1）观察猜想：线段与线段的数量关系是 ；
（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：
（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若、，求的值．
23．（8分）为响应市政府关于“垃圾不落地市区更美丽”的主题宣传活动，郑州外国语中学随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况，调查选项分为“A：非常了解；B：比较了解；C：了解较少；D：不了解”四种，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题；
求______，并补全条形统计图；
若我校学生人数为1000名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有______名；
已知“非常了解”的是3名男生和1名女生，从中随机抽取2名向全校做垃圾分类的知识交流，请画树状图或列表的方法，求恰好抽到1男1女的概率．
24．（8分）如图,在中, ,,于点, 是上的点, 于点, ,交于点.
（1）求证: ;
（2）当的面积最大时,求的长.
25．（10分）如图，的半径为，是的直径，是上一点，连接、.为劣弧的中点，过点作，垂足为，交于点，，交的延长线于点.
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，如图2.
①求的长；
②图中阴影部分的面积等于_________.
26．（10分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；
（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．
把y=b代入y=得，b=，则x=，，即A的横坐标是，；
同理可得：B的横坐标是：﹣．
则AB=﹣（﹣）=．
则S□ABCD=×b=1．
故选D．
2、A
【分析】根据相似多边形的定义，即可得到答案.
【详解】解：A、所有的菱形都相似，错误；
B、所有的正方形都相似，正确；
C、所有的等边三角形都相似，正确；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形相似，正确；
故选：A.
【点睛】
本题考查了相似多边形的定义，熟练掌握相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例是解题的关键.
3、A
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【详解】∵△ABC∽△DEF，AC：DF=4：9，
∴△ABC与△DEF的相似比为4：9，
∴△ABC与△DEF的周长之比为4：9，
故选：A．
【点睛】
此题考查相似三角形性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
4、A
【分析】根据方程有两个相等的实数根列方程求解即可.
【详解】由题意得∆=0，
∴4-4k=0，
解得k=1，
故选：A.
【点睛】
此题考查了一元二次方程的根的情况求未知数的值，正确掌握一元二次方程的根的三种情况：方程有两个不相等的实数根时∆>0，方程有两个相等的实数根时∆=0，方程没有实数根时∆<0.
5、B
【解析】试题解析：
在中，
故选B.
6、D
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，先求出∠ADC的度数，再求∠ADE的度数即可.
【详解】解：四边形内接于
-,
．
故选: ．
【点睛】
本题考查的是内接四边形的对角互补，也就是内接四边形的外角等于和它不相邻的内对角.
7、C
【分析】作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，然后根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得答案．
【详解】解：如图作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，OA=BC，
∴BE⊥y轴， ∴OE=BD，
∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），
根据反比例函数系数k的几何意义得，S矩形BDOE=5，S△AOE= ，
∴平行四边形OABC的面积，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、平行四边形的性质等，有一定的综合性
8、A
【分析】根据抛物线的图像和表达式分析其系数的值，通过特殊点的坐标判断结论是否正确．
【详解】∵函数图象开口向上，
∴，
又∵顶点为(，1)，
∴，
∴,
由抛物线与轴的交点坐标可知：，
∴c＞1，
∴abc＞1,故①错误；
∵抛物线顶点在轴上，
∴，即，
又，
∴，故②错误；
∵顶点为(，1)，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，则，故③错误；
由抛物线的对称性可知与时的函数值相等，
∴，
∴，故④正确．
综上，只有④正确，正确个数为1个．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象以及顶点坐标找出之间的关系是解题的关键．
9、D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可．
【详解】解：A、不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故A选项错误；
B、不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故B选项错误；
C、不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故C选项错误；
D、符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故D选项正确；
故答案选D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键．
10、C
【分析】根据全等是特殊的相似，即可得到“提出相似三角形的问题和研究方法”是从特殊到一般．
【详解】∵全等图形是相似比为1的相似图形，全等是特殊的相似，
∴由研究全等三角形的思路，提出相似三角形的问题和研究方法，是从特殊到一般的数学方法．
故选C．
【点睛】
本题主要考查研究相似三角形的数学方法，理解相似三角形和全等三角形的联系，是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 (6,0)
【详解】解：过点P作PM⊥AB于M，则M的坐标是（4，0）
∴MB=MA=4-2=2，
∴点B的坐标为(6,0)
12、-1
【解析】试题分析：把代入方程，即可得到关于a的方程，再结合二次项系数不能为0，即可得到结果．
由题意得，解得，则
考点：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．同时注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
13、
【解析】设AB=a，AD=b，则ab=32，构建方程组求出a、b值即可解决问题.
【详解】设AB=a，AD=b，则ab=32，
由∽可得：，
∴，
∴，
∴，，
设PA交BD于O，
在中，，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和应用相关的性质定理是解题的关键.
14、1
【分析】将数据由小排到大，再找到中间的数值，即可求得中位数，奇数个数中位数是中间一个数，偶数个数中位数是中间两个数的平均数。
【详解】解：将10个数据由小到大排序：7、8、8、1、1、1、10、10、10、10，处于这组数据中间位置的数是1、1，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（1+1）÷2=1．
所以这组同学引体向上个数的中位数是1．
故答案为：1．
【点睛】
本题为统计题，考查中位数的意义，解题的关键是准确认识表格．
15、1
【解析】首先设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程即可求得答案．
解：设黄球的个数为x个，
根据题意得：=2/3解得：x=1．
∴黄球的个数为1．
16、．
【解析】试题分析：根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．
解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，
∵∠1=∠2=110°，
∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，
∴∠4=90°﹣70°=20°，
∴∠α=20°．
故答案为20°．
17、2
【详解】试题分析：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr=，解得r=2cm．
考点：圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系．
18、1
【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】解：∵1是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．
三、解答题(共66分)
19、（1）CB=2，AP =2；（2）证明见解析；（3）DE=．
【分析】（1）根据圆周角定理由AC为直径得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出BC=2，再根据垂径定理由直径FG⊥AB得到AP=BP=AB=2；
（2）易得OP为△ABC的中位线，则OP=BC=1，再计算出，根据相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP，根据相似的性质得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（3）根据平行线的性质由BC∥EP得到∠DCB=∠E，则tan∠DCB=tan∠E=，在Rt△BCD中，根据正切的定义计算出BD=3，根据勾股定理计算出CD=，然后根据平行线分线段成比例定理得，再利用比例性质可计算出DE=．
【详解】解：（1）∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AC=2，AB=4，
∴BC==2，
∵直径FG⊥AB，
∴AP=BP=AB=2；
（2）∵AP=BP，
∴OP为△ABC的中位线，
∴OP=BC=1，
∴，
而，
∴，
∵∠EOC=∠AOP，
∴△EOC∽△AOP，
∴∠OCE=∠OPA=90°，
∴OC⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）∵BC∥EP，
∴∠DCB=∠E，
∴tan∠DCB=tan∠E=
在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB==，
∴BD=3，
∴CD==，
∵BC∥EP，
∴，即，
∴DE=．
20、（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为，（2）或．（3）当时，面积的最大值是，此时P点坐标为．
【解析】（1）将、两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；
（2）先求出C点坐标和E点坐标，则，分两种情况讨论：①若点M在x轴下方，四边形为平行四边形，则，②若点M在x轴上方，四边形为平行四边形，则，设，则，可分别得到方程求出点M的坐标；
（3）如图，作轴交直线于点G，设，则，可由，得到m的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．
【详解】解：（1）∵抛物线经过、两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∵直线经过、两点，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
（2）∵，
∴抛物线的顶点C的坐标为，
∵轴，
∴，
∴，
①如图，若点M在x轴下方，四边形为平行四边形，则，
设，则，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
②如图，若点M在x轴上方，四边形为平行四边形，则，
设，则，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
综合可得M点的坐标为或．
（3）如图，作轴交直线于点G，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，面积的最大值是，此时P点坐标为．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．
21、（1）8人；（2）648人.
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，列方程求解；
(2)根据（1）中所求数据，进而得到第三轮被传染的人数.
【详解】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意有
x+1+（x+1）x=81，
解得x1=8，x2=﹣10（不符合题意舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．
（2）8×81=648（人）．
答：第三轮将又有648人被传染人．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的实际应用，注意根据题中已知等量关系列出方程式是关键.
22、（1）；（2）成立，证明过程见解析；（3）.
【分析】（1）利用三角形全等的判定定理与性质即可得；
（2）如图（见解析），过点分别作，垂足分别为，证明方法与题（1）相同；
（3）如图（见解析），过点分别作，垂足分别为，先同（2）求出，从而可证，由相似三角形的性质可得，再根据平行线的性质和相似三角形的性质求出的值，即可得出答案.
【详解】（1），理由如下：
由直角三角板和正方形的性质得
在和中，
；
（2）成立，证明如下：
如图，过点分别作，垂足分别为，则四边形是矩形
由正方形对角线的性质得，为的角平分线
则
在和中，
；
（3）如图，过点分别作，垂足分别为
同（2）可知，
由长方形性质得：
，即
在和中，
.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质，较难的是题（3），通过作辅助线，构造两个相似三角形是解题关键.
23、（1）20（2）500（3）
【解析】先利用A选项的人数和它所占百分比计算出调查的总人数为50，再计算出B选项所占的百分比为，从而得到，即，然后计算出C、D选项的人数，最后补全条形统计图；用1000乘以可估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生数；画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽到1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】调查的总人数为，
B选项所占的百分比为，
所以，即，
C选项的人数为人，
D选项的人数为人，
条形统计图为：
故答案为20；
，
所以估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有500名；
故答案为500；
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽到1男1女的结果数为6，
所以恰好抽到1男1女的概率
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率也考查了统计图．
24、（1）见解析；（2）5
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法即可求；
（2）设，的面积为，由等腰三角形性质和平行线分线段成比例，可求出，再根据的面积可以得出关于的函数关系式，由二次函数性质可得的面积为最大时的值即可．
【详解】解：（1）证明： ，，
，
，
．
（2）解：设，则，
∵，，，
∴，
在Rt△ABG中，，
∵
∴，即，
∴，
，
，即
，
的面积
当的面积最大时，，即的长为．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，可利用数形结合思想根据题目提供的条件转化为函数关系式．
25、（1）见解析；（2）①，②.
【分析】（1）连接OC，利用等腰三角形三线合一的性质证得OC⊥BF，再根据CG∥FB即可证得结论；
（2）①根据已知条件易证得是等边三角形，利用三角函数可求得的长，根据三角形重心的性质即可求得答案；
②易证得，利用扇形的面积公式即可求得答案.
【详解】（1）连接.
是的中点，
.
又，
.
，
.
是的切线.
（2）①，
∴.
，
.
∴是等边三角形.
，，
又的半径为，
在中，,
∵BF⊥OC，CD⊥OB，BF与CD相交于E，点E是等边三角形OBC的垂心，也是重心和内心，
∴.
②∵AF∥BC，
∴
∴.
【点睛】
要题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角函数的知识，扇形的面积公式，根据三角形重心的性质求得的长是解题的关键.
26、（1）、（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；（2）根据旋转图形的性质画出旋转后的图形；（3）点A所经过的路程是以点C为圆心，AC长为半径的扇形的弧长．
试题解析：（1）A（0,4）C（3,1）
（2）如图所示：
（3）根据勾股定理可得：AC=3，则．
考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式．
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