资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出的位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．若x1是方程（a≠0）的一个根，设，，则p与q的大小关系为（ ）
A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定
3．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则sin∠BDE的值是 （ ）
A． B． C． D．
4．在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，在中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的外切正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
8．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（为实数）其中结论错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
A．n B．n－1 C．（）n－1 D．n
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．抛物线y=x2–6x+5的顶点坐标为__________．
12．当x_____时，|x﹣2|＝2﹣x．
13．二次函数y＝x2－2x＋2图像的顶点坐标是______．
14．如图，在半径为5的中，弦，，垂足为点，则的长为__________．
15．如图，已知反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为1，则k=________________．
16．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上一点，经过C、D两点的⊙O分别交AC、BC于点E、F，AD＝，∠ADC＝60°，则劣弧的长为_____．
17．在这三个数中，任选两个数的积作为的值，使反例函数的图象在第二、四象限的概率是______．
18．若关于的方程和的解完全相同，则的值为________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，.
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式.
（2）求随的增大而减小时的取值范围.
20．（6分）抛物线的对称轴为直线，该抛物线与轴的两个交点分别为和，与轴的交点为，其中．
（1）写出点的坐标________；
（2）若抛物线上存在一点，使得的面积是的面积的倍，求点的坐标；
（3）点是线段上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度的最大值．
21．（6分）已知：AB为⊙O的直径．
（1）作OB的垂直平分线CD，交⊙O于C、D两点；
（2）在（1）的条件下，连接AC、AD，则△ACD为 三角形．
22．（8分）在中，分别是的中点，连接
求证：四边形是矩形；
请用无刻度的直尺在图中作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
23．（8分）如图，已知点C（0，3），抛物线的顶点为A（2，0），与y轴交于点B（0，1），F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线CF于点H，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线CF下方的抛物线上，用含m的代数式表示线段PH的长，并求出线段PH的最大值及此时点P的坐标；
（3）当PF﹣PM＝1时，若将“使△PCF面积为2”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使△PCF的周长最小的点P也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出△PCF的周长最小时“巧点”的坐标．
24．（8分）如图，已知中，，为上一点，以为直径作与相切于点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
25．（10分）有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB=50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A,B,C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒轮⊙A，⊙A与水平地面相切于点D，在拉杆伸长到最大的情况下，当点B距离水平地面34cm时，点C到水平地面的距离CE为55cm.设AF∥ MN.
（1）求⊙A的半径.
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感到较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为76cm，∠CAF=64°,求此时拉杆BC的伸长距离（结果精确到1cm，参考数据：sin64°≈0.9,cos64°≈0.39,tan64°≈2.1).
26．（10分）如图，反比例函数的图象与一次函数y=x+b的图象交于A，B两点，点A和点B的横坐标分别为1和﹣2，这两点的纵坐标之和为1．
（1）求反比例函数的表达式与一次函数的表达式；
（2）当点C的坐标为（0，﹣1）时，求△ABC的面积．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心．
【详解】如图所示，点P即为位似中点，其坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）．
【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似中心的定义是解题关键．
2、A
【分析】把x1代入方程ax2-2x-c=0得ax12-2x1=c，作差法比较可得．
【详解】解：∵x1是方程ax2-2x-c=0（a≠0）的一个根，
∴ax12-2x1-c=0，即ax12-2x1=c，
则p- q=（ax1-1）2-（ac+1.5）
=a2x12-2ax1+1-1.5-ac
=a（ax12-2x1）-ac-0.5
=ac-ac-0.5
=-0.5，
∵-0.5＜0，
∴p- q＜0，
∴p＜q．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解，利用比差法比较大小是解题的关键．
3、C
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，可得BE＝CE＝BC＝AD，由全等三角形的性质可得AE＝DE，由相似三角形的性质可得AF＝2EF，由勾股定理可求DF的长，即可求sin∠BDE的值．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝AD，
∵AB＝CD，BE＝CE，∠ABC＝∠DCB＝90°
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴AE＝DE
∵AD∥BC
∴△ADF∽△EBF
∴＝2
∴AF＝2EF，
∴AE＝3EF＝DE，
∴ sin∠BDE＝，
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的运用，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
4、D
【解析】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=1．
A．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
C．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
故选D．
点睛：此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．
5、B
【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，推出，即可得出结论．
【详解】∵AD=3，DB=4，
∴AB=3+4=1．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6、A
【分析】由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．
【详解】∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG=OA∙sin60°=2× = ，
∴S 阴影 =S △OAB -S 扇形OMN = ×2× - ．
故选A．
【点睛】
考核知识点：正多边形与圆.熟记扇形面积公式是关键.
7、A
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解.
【详解】.
故选：A.
【点睛】
此题属于容易题，主要考查特殊角的三角函数值.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.
8、A
【分析】根据直角三角形的性质得到AC=BC=2，∠B=60°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=BC=2，∠B=60°，
∴阴影部分的面积=S△ACB-S扇形BCD=×2×2-=
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
9、B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①由抛物线可知： ，，
对称轴，
∴，
∴，故①错误；
②由对称轴可知： ，
∴，
，故②错误；
③关于的对称点为，
∴时，，故③正确；
④当时，y的最小值为，
∴时， ，
∴，
故④正确
故选：B.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合图象得出系数之间的关系是解题的关键.
10、B
【分析】过中心作阴影另外两边的垂线可构建两个全等三角形（ASA），由此可知阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）个阴影部分的和，即可求解．
【详解】
如图作正方形边的垂线，
由ASA可知同正方形中两三角形全等，
利用割补法可知一个阴影部分面积等于正方形面积的 ，
即是，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质．解题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（3，-4）
【解析】分析：利用配方法得出二次函数顶点式形式，即可得出二次函数顶点坐标．
详解：∵y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（3，﹣4）．
故答案为（3，﹣4）．
点睛：此题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标可以先配方化为顶点式，也可以利用顶点坐标公式（）来找抛物线的顶点坐标.
12、≤2
【分析】由题意可知x﹣2为负数或0，进而解出不等式即可得出答案.
【详解】解：由|x﹣2|＝2﹣x，可得，解得：.
故答案为：≤2.
【点睛】
本题考查绝对值性质和解不等式，熟练掌握绝对值性质和解不等式相关知识是解题的关键.
13、（1，1）
【解析】分析：把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
详解：∵
∴顶点坐标为(1,1).
故答案为：(1,1).
点睛：考查二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键.
14、4
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP＝AB，利用勾股定理得到答案．
【详解】连接OA，
∵AB⊥OP，
∴AP＝AB＝×6＝3，∠APO＝90°，又OA＝5，
∴OP＝＝＝4，
故答案为：4.
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
15、-1
【解析】试题解析：设点A的坐标为(m，n)，因为点A在y=的图象上，所以，有mn＝k，△ABO的面积为＝1，∴=1，∴=1，∴k=±1，由函数图象位于第二、四象限知k<0，∴k=-1．
考点：反比例外函数k的几何意义.
16、
【分析】连接DF，OD，根据圆周角定理得到∠CDF＝90°，根据三角形的内角和得到∠COD＝120°，根据三角函数的定义得到CF＝＝4，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：如图，连接DF，OD，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF＝90°，
∵∠ADC＝60°，∠A＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCF＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°，
∴∠COD＝120°，
在Rt△CAD中，CD＝2AD＝2，
在Rt△FCD中，CF＝＝＝4，
∴⊙O的半径＝2，
∴劣弧的长＝＝π，
故答案为π．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
17、
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，并求出 k为负值的情况数，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
，
∵共有6种等可能的结果，任选两个数的积作为k的值，k为负数的有4种，
∴反比例函数的图象在第二、四象限的概率是：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
18、1
【分析】先分解因式，根据两方程的解相同即可得出答案．
【详解】解：，
，
∵关于x的方程和的解完全相同，
∴a=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能正确用因式分解法解方程是解此题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1），（2）随的增大而减小时.
【解析】（1）把，代入解析式，解方程组求出a、b的值即可；（2）根据（1）中所得解析式可得对称轴，a＞0，在对称轴左侧y随的增大而减小根据二次函数的性质即可得答案.
【详解】（1）∵抛物线经过点，.
∴
解得
∴这条抛物线所对应的函数表达式为.
（2）∵抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴图象开口向上，
∴y随的增大而减小时x<1.
【点睛】
本题考查待定系数法确定二次函数解析式及二次函数的性质，a＞0，开口向上，在对称轴左侧y随的增大而减小，a＜0，开口向下，在对称轴右侧y随的增大而减小，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键.
20、（1）；（2）点的坐标为或；（3）MD长度的最大值为．
【分析】（1）抛物线的对称轴为x=1，点A坐标为（-1，0），则点B（3，0），即可求解；
（2）由S△POC=2S△BOC，则x=±2OB=6，即可求解；
（3）设：点M坐标为（x，x-3），则点D坐标为（x，x2-2x-3），则MD=x-3-x2+2x+3，即可求解．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，点坐标为，则点，
故：答案为；
（2）二次函数表达式为：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
所以
由题意得：，
设P（x, ）
则
所以则，
所以当时，=-21，当时，=45
故点的坐标为或；
（3）如图所示，
将点坐标代入一次函数得表达式得
，解得：，
故直线的表达式为：
，
设：点坐标为，则点坐标为，
则，
故MN长度的最大值为．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
21、（1）见解析；（2）等边．
【分析】（1）利用基本作图，作CD垂直平分OB；
（2）根据垂直平分线的性质得到OC=CB，DO=DB，则可证明△OCB、△OBD都是等边三角形，所以∠ABC=∠ABD=60°，利用圆周角定理得到∠ADC=∠ACD=60°，则可判断△ACD为等边三角形．
【详解】解：（1）如图，CD为所作；
（2）如图，连接OC、OD、BC、BD，
∵CD垂直平分OB，
∴OC＝CB，DO＝DB，
∴OC＝BC＝OB＝BD，
∴△OCB、△OBD都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ABD＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形．
故答案是：等边．
【点睛】
本题考查了基本作图及圆周角定理：证明△OCB、△OBD是等边三角形是解本题的关键．
22、（1）证明见解析；（2）作图见解析.
【解析】首先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
连接交于点，作射线即可．
【详解】证明：分别是的中点，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形
连接交于点，作射线，射线即为所求．
【点睛】
本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
23、（1）y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣x+1；（2）m＝0时，PH的值最大最大值为2，P（0，2）；（3）△PCF的巧点有3个，△PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为（0，1）．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，将点B的坐标代入求得a的值即可；
（2）求出直线CF的解析式，求出点P、H的坐标，构建二次函数即可解决问题；
（3）据三角形的面积公式求得点P到CF的距离，过点C作CG⊥CF，取CG＝．则点G的坐标为（﹣1，2）或（1，4），过点G作GH∥FC，设GH的解析式为y＝﹣x+b，将点G的坐标代入求得直线GH的解析式，将直线GH的解析式与抛物线的解析式，联立可得到点P的坐标，当PC+PF最小时，△PCF的周长最小，由PF﹣PM＝1可得到PC+PF＝PC+PM+1，故此当C、P、M在一条直线上时，△PCF的周长最小，然后可求得此时点P的坐标；
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，
将点B的坐标代入得：4a＝1，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣x+1．
（2）设CF的解析式为y＝kx+3，将点F的坐标F（2，1）代入得：2k+3＝1，解得k＝﹣1，
∴直线CF的解析式为y＝﹣x+3，
由题意P（m，m2﹣m+1），H（m，﹣m+3），
∴PH＝﹣m2+2，
∴m＝0时，PH的值最大最大值为2，此时P（0，2）．
（3）由两点间的距离公式可知：CF＝2．
设△PCF中，边CF的上的高线长为x．则×2x＝2，解得x＝．
过点C作CG⊥CF，取CG＝．则点G的坐标为（﹣1，2）．
过点G作GH∥FC，设GH的解析式为y＝﹣x+b，将点G的坐标代入得：1+b＝2，解得b＝1，
∴直线GH的解析式为y＝﹣x+1，
与 y＝（x﹣2）2联立 解得：，
所以△PCF的一个巧点的坐标为（0，1）．
显然，直线GH在CF的另一侧时，直线GH与抛物线有两个交点．
∵FC为定点，
∴CF的长度不变，
∴当PC+PF最小时，△PCF的周长最小．
∵PF﹣PM＝1，
∴PC+PF＝PC+PM+1，
∴当C、P、M在一条直线上时，△PCF的周长最小．
∴此时P（0，1）．
综上所述，△PCF的巧点有3个，△PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为（0，1）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、两点间的距离公式、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
24、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，求得∠ODE=∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE，等量代换得到∠OED=∠F，于是得到结论；
（2）根据平行得出，再由可得到关于BE的方程，从而得出结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵切于点，
∴．
∴．
又，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
25、（1）4；（2）BC=30cm
【分析】（1）作BK⊥AF于点H,交MN于点K,通过△ABH∽△ACG，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，求解即可；
（2）在Rt△ACG中利用正弦值解线段AC长，即可得.
【详解】（1）解：作BK⊥AF于点H,交MN于点K,
则BH∥CG, △ABH∽△ACG,
设圆形滚轮的半径AD长为xcm,
∴
即
解得，x=4
∴⊙A的半径是4cm.
（2）在Rt△ACG中，CG=76-4=72cm,
则sin∠CAF=
∴AC=cm,
∴BC=AC-AB=80-50=30cm.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，构建相似三角形及建立模型是解答此题的关键.
26、（1），y=x+1；（2）2．
【解析】试题分析：（1）根据两点纵坐标的和，可得b的值，根据自变量与函数的值得对关系，可得A点坐标，根据待定系数法，可得反比例函数的解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案．
试题解析：解：（1）由题意，得：1+b+（﹣2）+b=1，解得b=1，一次函数的解析式为y=x+1，当x=1时，y=x+1=2，即A（1，2），将A点坐标代入，得=2，即k=2，反比例函数的解析式为；
（2）当x=﹣2时，y=﹣1，即B（﹣2，﹣1）．
BC=2，S△ABC=BC•（yA﹣yC）=×2×[2﹣（﹣1）]=2．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用纵坐标的和得出b的值是解（1）题关键；利用三角形的面积公式是解（2）的关键．
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