大连理工大学附属中学八年级上册期末数学试卷[002].doc

大连理工大学附属中学八年级上册期末数学试卷
一、选择题
1、下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2、一个纳米粒子的直径是35纳米（1纳米米），用科学记数法表示为（       ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3、下列计算正确的是（     ）
A． B． C． D．
4、当分式有意义时，字母应满足 (        )
A． B． C． D．
5、下列等式从左到右的变形是因式分解的是(     )
A．x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1
B．（2x+3）（2x﹣3y）＝4x2﹣9y2
C．x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
D．x2+6x+9＝（x+3）2
6、下列各式从左到右的变形一定正确的是（            ）
A． B．
C． D．
7、如图所示，已知AB＝AE，∠B＝∠E，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△AEF的是（　　）

A．∠EAB＝∠FAC B．AC＝AF C．BC＝EF D．∠ACB＝∠AFE
8、关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（       ）
A． B． C．且 D．且
9、如图，BD平分∠ABC交AC于点D．若，则∠ADB＝（            ）

A．100° B．105° C．110° D．120°
二、填空题
10、将一个长为2m，宽为的长方形纸片，用剪刀沿图1中虚线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形纸片，然后按图2的方式拼成一个边长为的正方形，则图2中空白部分的小正方形面积是（       ）．

A． B． C． D．
11、若分式的值为零，则x的值为_____．
12、点与点关于y轴对称，则___________．
13、已知，则实数A+B＝_____．
14、已知，m，n为正整数，则＝______．（用含a，b的式子表示）
15、如图，在锐角中，，，平分，、分别是、上的动点，则的最小值是______．

16、如图，在矩形中，点为中点，将沿翻折至，若，则__________．

17、已知x﹣3y＝1，x3﹣3x2y﹣7xy+9y2＝﹣3，则xy的值是 _____．
18、如图，在正方形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿向终点运动．设点的运动时间为秒，当和全等时，的值为 __．

三、解答题
19、因式分解：
(1)
(2)
20、解分式方程：.
21、如图，已知，AB＝AD，BC＝CD．

(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)若∠1＝30°，∠2＝50°，求∠D的度数．
22、如图，在中，，的外角的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．

(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，若，求证：；
(3)若，探究、有怎样的数量关系，直接写出答案，不用证明．
23、列方程解应用题：
某商店用2000元购进一批小学生书包，出售后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了2元，结果购买第二批书包用了6600元．
(1)请求出第一批每只书包的进价；
(2)该商店第一批和第二批分别购进了多少只书包；
(3)若商店销售这两批书包时，每个售价都是30元，全部售出后，商店共盈利多少元？
24、一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为，十位上和个位上的数字之和为，如果，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，，，因为，所以1423是“和平数”．
（1）直接写出：最小的“和平数”是　　，最大的“和平数”是　 　；
（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．
例如：1423与4132为一组“相关和平数”
求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．
（3）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；
25、已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．
(1)如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰，若，，求C点的坐标；

(2)如图2，若点A的坐标为，点B的坐标为，点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰．当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理出；

(3)如图3，若，于点F，以OB为边作等边，连接AM交OF于点N，若，，请直接写出线段AM的长．

一、选择题
1、D
【解析】D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2、C
【解析】C
【分析】根据1纳米=米，可得35纳米=米，即可得解．
【详解】∵1纳米=米，
∴35纳米=米=米，
故选：C．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，准确确定a、n的值是解答本题的关键．
3、D
【解析】D
【分析】根据整式的计算中的合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除的运算法则分别计算，即可得出正确答案．
【详解】解：A、，其中与不是同类项，不能相加减，故选项计算错误，不符合题意；
B、，故选项计算错误，不符合题意；
C、，故选项计算错误，不符合题意；
D、，故选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的计算中的合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4、D
【解析】D
【分析】根据分式有意义，分母不等于0即可求解．
【详解】解：由题意得，，即分式时，分式有意义，
故选：D
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．（1）若分式无意义，则分母为零；（2）若分式有意义，则分母不为零．
5、D
【解析】D
【分析】根据因式分解的定义，即可求解．
【详解】解：A、等式从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、等式从左到右的变形是整式乘法，故本选项不符合题意；
C、等式从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、等式从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程叫做因式分解是集体的关键．
6、D
【解析】D
【分析】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，且扩大（缩小）的倍数不能为0，分值不变，即可得出答案．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．注意，①无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0；②同时在分式的变形中，还要注意符号法则，即分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变两个其值才不变．
7、B
【解析】B
【分析】根据全等三角形的判定进行逐项分析即可．
【详解】A.∵∠EAB＝∠FAC，∴∠CAB＝∠FAE，两角及夹边对应相等能判断两三角形全等，故该选项不符合题意；       
B. AC＝AF，两边及一边对角对应相等不能判断两三角形全等，故该选项符合题意；       
C. BC＝EF，两边及夹角对应相等能判断两三角形全等，故该选项不符合题意；       
D. ∠ACB＝∠AFE，两角及其中一角的对边对应相等能判断两三角形全等，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的方法SSS，SAS，ASA，AAS是解题关键．
8、C
【解析】C
【分析】先去分母，用含m的代数式表示出x，根据解为正数求出m的范围即可．
【详解】解：两边都乘以x-1，得：m-1=2（x-1），
解得：x=，
因为分式方程的解为正数，
所以>0，且≠1，
解得：m＞-1且m≠1，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解法和分式方程的解以及一元一次不等式．确定m的取值范围时，容易忽略x不等于1的条件．
9、A
【解析】A
【分析】根据角平分线性质，可得，结合三角形内角和定理与外角定理即可．
【详解】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴，
∵即，
又∵，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形角平分线，解题关键是熟练运用三角形内角和定理与外角定理．
二、填空题
10、D
【解析】D
【分析】根据题意可得图2中空白部分的小正方形面积等于大正方形的面积减去图1中长方形的面积，即可求解．
【详解】解：根据题意得：图2中空白部分的小正方形面积是
．
故选：D
【点睛】本题主要考查了完全平方公式与几何图形，利用数形结合思想解答是解题的关键．
11、﹣3
【分析】直接利用分式为零的条件得出答案．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴x+3＝0，
解得：x＝﹣3，此时满足分母不为零，
故答案为：﹣2、
【点睛】本题考查分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解题关键.
12、7
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；求得a，b的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵点与点关于y轴对称，
∴a=-(-3)=3，b=-4，
∴a-b=3-(-4)=7，
故答案为：6、
【点睛】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标．解题的关键是掌握关于坐标轴对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13、A
【解析】5
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求．
【详解】解：等式整理得：，
∴5x+1＝A(x+2)+B(x-1)
∴5x+1＝(A+B)x+2A-B，
即A+B＝4、
故答案为：4、
【点睛】本题考查了分式的加减．解题的关键是通分．
14、
【分析】逆运用幂的乘方公式对已知式子变形后，再逆运用同底数幂的除法计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查幂的乘方公式和同底数幂的除法．熟练掌握公式，并能逆运用是解题关键．
15、4
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=8，∠ABC=30°，由直角三角形的性质即可求出CE的长．
【详解】解：过点
【解析】4
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=8，∠ABC=30°，由直角三角形的性质即可求出CE的长．
【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，

∵BD平分∠ABC，
∴M′E=M′N′，
∴M′N′+CM′=EM′+CM′=CE，
则CE即为CM+MN的最小值，
在Rt中， BC=8，∠ABC=30°，

∴CM+MN的最小值是3、
故答案为：3、
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，含有30°的直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
16、【分析】如图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O．由△ADM≌△BCM（SAS），推出∠DAM=∠CBM，由△BME是由△MBC翻折得到，推出∠CBM=∠EBM=(90°-∠ABE)，由∠D
【解析】
【分析】如图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O．由△ADM≌△BCM（SAS），推出∠DAM=∠CBM，由△BME是由△MBC翻折得到，推出∠CBM=∠EBM=(90°-∠ABE)，由∠DAM=∠MBE，∠AON=∠BOM，推出∠OMB=∠ANB=90°-∠ABE，在△MBE中，根据∠EMB+∠EBM=90°，构建关系式即可解决问题．
【详解】如图，延长BE交AD于点N，设BN交AM于点O．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=∠ABC=∠ADB=90°，AD=BC，
∵DM=MC，
∴△ADM≌△BCM(SAS)，
∴∠DAM=∠CBM，
∵△BME是由△MBC翻折得到，
∴∠CBM=∠EBM=(90°−∠ABE)，
∵∠DAM=∠MBE，∠AON=∠BOM，
∴∠OMB=∠ANB=90°−∠ABE，
在△MBE中，
∵∠EMB+∠EBM=90°，
∴∠AME+90°−∠ABE+(90°−∠ABE)=90°，
整理得：3∠ABE−2∠AME=90°，
∵∠AME=15°
∴∠ABE=40°
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了矩形翻折的问题，翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，在解题中应用了矩形的性质定理，及全等三角形的判定和性质相关知识．
17、4
【分析】先把x3﹣3x2y分解因式得x2（x﹣3y），把x﹣3y＝1整体代入x3﹣3x2y﹣7xy+9y2 ＝﹣3得x2﹣6xy+9y2﹣xy＝﹣3，再倒用一次完全平方公式，即可求出xy的值．
【解析】4
【分析】先把x3﹣3x2y分解因式得x2（x﹣3y），把x﹣3y＝1整体代入x3﹣3x2y﹣7xy+9y2 ＝﹣3得x2﹣6xy+9y2﹣xy＝﹣3，再倒用一次完全平方公式，即可求出xy的值．
【详解】解：∵x﹣3y＝1，
∴x2﹣6xy+9y2＝1，
∴x3﹣3x2y﹣7xy+9y2＝﹣3，
∴x2（x﹣3y）﹣6xy+9y2﹣xy＝﹣3，
∴x2﹣6xy+9y2﹣xy＝﹣3，
∴1﹣xy＝﹣3，
∴xy＝3、
【点睛】本题主要考查了整体代入的数学思想方法，和逆用完全平方公式，掌握整体代入法是解题的关键．
18、2或7##7或2
【分析】分点在和上两种情况讨论．当点在上时，如图，当时，有，当点在上时，当时，有，从而可得答案．
【详解】解：∵正方形ABCD,
∴
是直角三角形，
为直角三角形，
点只能在上或
【解析】2或7##7或2
【分析】分点在和上两种情况讨论．当点在上时，如图，当时，有，当点在上时，当时，有，从而可得答案．
【详解】解：∵正方形ABCD,
∴
是直角三角形，
为直角三角形，
点只能在上或者上，
当点在上时，如图，当时，有，

，
，
，
当点在上时，则当时，有，

，
故答案为：2或6、
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，关键是要考虑到点的两种情况，牢记三角形全等的性质是解本题的关键．
三、解答题
19、(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式再运用完全平方公式分解即可．
（2）先提公因式(a-b)，再运用平方差公式分解即可．
（1）
原式
（2）
原式
【点睛】本题主要考查了提公因式法和公式
【解析】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式再运用完全平方公式分解即可．
（2）先提公因式(a-b)，再运用平方差公式分解即可．
（1）
原式

（2）
原式

【点睛】本题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握提公因式法与公式法综合运用是解题的关键．
20、原方程无解.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可得到分式方程的解．
【详解】将分式两边同时乘以可得：，
可化为： ，即
经检验使公分母，
是原分式方程的增根
【解析】原方程无解.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可得到分式方程的解．
【详解】将分式两边同时乘以可得：，
可化为： ，即
经检验使公分母，
是原分式方程的增根舍去，
原方程无解.
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21、(1)见解析
(2)100°
【分析】（1）利用SSS即可证明△ABC≌△ADC；
（2）首先利用三角形内角和定理得出∠B的度数，再根据全等三角形的性质可得答案．
（1）
证明：在△ABC和△ADC
【解析】(1)见解析
(2)100°
【分析】（1）利用SSS即可证明△ABC≌△ADC；
（2）首先利用三角形内角和定理得出∠B的度数，再根据全等三角形的性质可得答案．
（1）
证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）
解：∵∠1＝30°，∠2＝50°，
∴∠B＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∵△ABC≌△ADC，
∴∠D＝∠B＝100°，
答：∠D的度数为100°．
【点睛】本题考查全等三角形，灵活运用全等三角形的判断和性质是解题的关键．
22、(1)65°
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余求出，再根据邻补角得出，最后根据角平分线定义得出结论；
（2）根据三角形外角性质可得出，再由同位角相等，两直线平行可证明结论
【解析】(1)65°
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余求出，再根据邻补角得出，最后根据角平分线定义得出结论；
（2）根据三角形外角性质可得出，再由同位角相等，两直线平行可证明结论；
（3）由得，再结合外角的性质得，再证明即可得到结论．
(1)
∵在中，，，
∴，
∴
∵BE是∠CBD的平分线，
∴；
(2)
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
(3)
若，则
∵∠CBD=∠A+∠ACB=∠A+90°
∴
∵
∴
∴
整理得，
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
23、(1)20元
(2)第一批购进100只，第二批购进300只
(3)3400元
【分析】（1）设第一批书包的单价为x元，然后可得到第二批书包的单价，最后依据第二所购书包的数量是第一批购进数量的3倍列方
【解析】(1)20元
(2)第一批购进100只，第二批购进300只
(3)3400元
【分析】（1）设第一批书包的单价为x元，然后可得到第二批书包的单价，最后依据第二所购书包的数量是第一批购进数量的3倍列方程求解即可；
（2）依据书包的数量=总价÷单价求解即可；
（3）先求得全部卖出后的总售价，然后用总售价-总进价可求得获得的利润．
（1）
解：设第一批书包的单价为x元．
根据题意得：，
解得：x=19、
经检验：x=20是分式方程的解．
答：第一批每只书包的进价是20元．
（2）
第一批进货的数量=2000÷20=100个；
第二批的进货的数量=3×100=300个．
（3）
30×（100+300）-2000-6600=3400元．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用，根据第二所购书包的数量是第一批购进数量的3倍列出关于x的方程是解题的关键．
24、（1）1001，9999；（2）见详解；（3）2754和4848
【分析】（1）根据和平数的定义，即可得到结论；
（2）设任意的两个“相关和平数”为，（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0
【解析】（1）1001，9999；（2）见详解；（3）2754和4848
【分析】（1）根据和平数的定义，即可得到结论；
（2）设任意的两个“相关和平数”为，（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到结论．
（3）设这个“和平数”为 ，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，

即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去）；①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，得到c=5则b=7；②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；
【详解】解：（1）由题意得，最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，
故答案为1001，9999；
（2）设任意的两个“相关和平数”为，（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），则
=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b）；
即两个“相关和平数”之和是1111的倍数．
（3）设这个“和平数”为，则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，
∴2c+a=12k，

即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），
①当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，
可知c+1=6k且a+b=c+d，
∴c=5则b=7，
②当a=4，d=8时，
2（c+2）=12k，
可知c+2=6k且a+b=c+d，
∴c=4则b=8，
综上所述，这个数为：2754和4847、
【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念和平数”是解题的关键．
25、(1)
(2)整式的值不发生变化．其值为
(3)
【分析】（1）过点作于点，可以证明，由，，再由条件就可以求出的坐标；
（2）过点作于点，可以证明，则有为定值，从而可以得出结论的值不变为；
（3）在
【解析】(1)
(2)整式的值不发生变化．其值为
(3)
【分析】（1）过点作于点，可以证明，由，，再由条件就可以求出的坐标；
（2）过点作于点，可以证明，则有为定值，从而可以得出结论的值不变为；
（3）在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得出．由等腰三角形的性质可得出结论．
(1)
解：如图1，过点作于点，

，
等腰直角三角形，
，，
．
，
，．
，，
，，
，
；
(2)
解：整式的值不会变化．
理由如下：
如图2，过点作于点，

，
等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当点沿轴负半轴向下运动时，
，
整式的值不变，为；
(3)
．
证明：如图3，在上截取，连接，

是等边三角形，
，，

为等腰直角三角形，
，，
，
,
，
，，
，
，
．
，
，，
，
，

，
，
，
，
即．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确的做出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键．