1、八年级数学上册压轴题试题1如图1,在平面直角坐标系中,点A(a,0)、点B(b,0)为x轴上两点,点C在y轴的正半轴上,且a,b满足等式(1)_;(2)如图2,若M,N是OC上的点,且,延长BN交AC于P,判断APN的形状并说明理由;(3)如图3,若,点D为线段BC上的动点(不与B,C重合),过点D作于E,BG平分ABC交线段DE于点G,连AD,F为AD的中点,连接CG,CF,FG试说明,CG与FG的数量关系2(初步探索)(1)如图:在四边形中,、分别是、上的点,且,探究图中、之间的数量关系(1)(1)小明同学探究此问题的方法是:延长到点,使连接,先证明,再证明,可得出结论,他的结论应是_;(
2、2)(灵活运用)(2)如图2,若在四边形中,、分别是、上的点,且,上述结论是否仍然成立,并说明理由;4已知ABC是等边三角形,ADE的顶点D在边BC上(1)如图1,若ADDE,AED60,求ACE的度数;(2)如图2,若点D为BC的中点,AEAC,EAC90,连CE,求证:CE2BF;(3)如图3,若点D为BC的一动点,AED90,ADE30,已知ABC的面积为4,当点D在BC上运动时,ABE的面积是否发生变化?若不变,请求出其面积;若变化请说明理由4如图,在平面直角坐标系中,已知点,且,为轴上点右侧的动点,以为腰作等腰,使,直线交轴于点(1)求证:;(2)求证:;(3)当点运动时,点在轴上的
3、位置是否发生变化,为什么?5如图1,在平面直角坐标系中,直线AB与轴交于点A、与轴交于点B,且ABO45,A(6,0),直线BC与直线AB关于轴对称.(1)求ABC的面积; (2)如图2,D为OA延长线上一动点,以BD为直角边,D为直角顶点,作等腰直角BDE,求证:ABAE; (3)如图3,点E是轴正半轴上一点,且OAE30,AF平分OAE,点M是射线AF上一动点,点N是线段AO上一动点,判断是否存在这样的点M,N,使OMNM的值最小?若存在,请写出其最小值,并加以说明.6如图,在等边中,分别为,边上的点,(1)如图1,若点在边上,求证:;(2)如图2,连若,求证:;(3)如图3,是的中点,点
4、在内,点,分别在,上,若,直接写出的度数(用含有的式子表示)7已知:在平面直角坐标系中,A为x轴负半轴上的点,B为y轴负半轴上的点(1)如图1,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰,若,求C点的坐标;(2)如图2,若点A的坐标为,点B的坐标为,点D的纵坐标为n,以B为顶点,BA为腰作等腰当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时,整式的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理出;(3)如图3,若,于点F,以OB为边作等边,连接AM交OF于点N,若,请直接写出线段AM的长8如图1,在平面直角坐标系中,点在x轴负半轴上,点B在y轴正半轴上,设,且(1)直接写出的度数(2)
5、如图2,点D为AB的中点,点P为y轴负半轴上一点,以AP为边作等边三角形APQ,连接DQ并延长交x轴于点M,若,求点M的坐标(3)如图3,点C与点A关于y轴对称,点E为OC的中点,连接BE,过点B作,且,连接AF交BC于点P,求的值【参考答案】2(1)0(2)等腰三角形,见解析(3)CG=2FG【分析】(1)由可得,得出a、b的值即可求解;(2)由OC垂直平分AB可得,再由外角可得 ,结合已知条件,等量代换即可得到结论;解析:(1)0(2)等腰三角形,见解析(3)CG=2FG【分析】(1)由可得,得出a、b的值即可求解;(2)由OC垂直平分AB可得,再由外角可得 ,结合已知条件,等量代换即可得
6、到结论;(3)先延长GF至点M,使FM=FG,连接CG、CM、AM,可证,得到,再结合已知条件得到,可得是等腰三角形,利用等腰三角形的性质得出,最后证明 为等边三角形,即可得到结论(1) 解得 (2) 是等腰三角形,理由如下:由点A(a,0)、点B(b,0)为x轴上两点,且可得,OA=OB OC垂直平分AB , 是等腰三角形(3),理由如下:如图,延长GF至点M,使FM=FG,连接CG、CM、AM F为AD的中点 在和中 垂直平分 ,BG平分 为等边三角形, 在和中 即是等腰三角形 为等边三角形 在 中, 【点睛】本题是三角形的综合题目,考查了非负性求和、线段垂直平分线的性质、外角的性质、全等
7、三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质及直角三角形的性质,涉及知识点多,能够合理添加辅助线并综合运用知识点是解题的关键3(1)(初步探索)结论:BAEFADEAF;(2)(灵活运用)成立,理由见解析【分析】(1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定ABEADG,进而得出BAE=D解析:(1)(初步探索)结论:BAEFADEAF;(2)(灵活运用)成立,理由见解析【分析】(1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定ABEADG,进而得出BAE=DAG,AE=AG,再判定AEFAGF,可得出EAF=GAF=DAG+DAF=BAE+DAF,据此得出结论;(2)
8、延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定ABEADG,进而得出BAE=DAG,AE=AG,再判定AEFAGF,可得出EAF=GAF=DAG+DAF=BAE+DAF(1)解:BAEFADEAF理由:如图1,延长FD到点G,使DGBE,连接AG,DGBE,ABEADG,BAEDAG,AEAG,EF=BE+FD,DGBE,且AEAG,AFAF,AEFAGF,EAFGAFDAGDAFBAEDAF故答案为:BAEFADEAF;(2)如图2,延长FD到点G,使DGBE,连接AG, BADF180,ADGADF180,BADG,又ABAD,ABEADG(SAS),BAEDAG,AEAG,EFBEFDD
9、GFDGF,AFAF,AEFAGF(SSS),EAFGAFDAGDAFBAEDAF【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应角相等进行推导变形解题时注意:同角的补角相等4(1)60;(2)见解析;(3)不变,【分析】(1)由题意,先证ADE是等边三角形,再证BADCAE,得ACE=B=60;(2)由题意,先求出BEC=30,然后求出CF解析:(1)60;(2)见解析;(3)不变,【分析】(1)由题意,先证ADE是等边三角形,再证BADCAE,得ACE=B=60;(2)由题意,先求出BEC=30,然后求出CFE=90,利用直
10、角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半,即可得证;(3)延长AE至F,使EF=AE,连DF、CF,先证明ADF是等边三角形,然后证明EGFEHA,结合HG是定值,即可得到答案【详解】解:(1)根据题意,ADDE,AED60,ADE是等边三角形,AD=AE,DAE=60,AB=AC,BAC=60,即,BADCAE,ACE=B=60;(2)连CF,如图:AB=AC=AE,AEB=ABE,BAC=60,EAC=90,BAE=150,AEB=ABE=15;ACE是等腰直角三角形,AEC=45,BEC=30,EBC=45,AD垂直平分BC,点F在AD上,CF=BF,FCB=EBC=45,CFE=90
11、,在直角CEF中,CFE=90,CEF=30,CE=2CF=2BF;(3)延长AE至F,使EF=AE,连DF、CF,如图:AED90,EF=AE,DE是中线,也是高,ADF是等腰三角形,ADE30,DAE=60,ADF是等边三角形;由(1)同理可求ACF=ABC=60,ACF=BAC=60,CFAB,过E作EGCF于G,延长GE交BA的延长线于点H,易证EGFEHA,EH=EG=HG,HG是两平行线之间的距离,是定值,SABESABC;【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,垂直平分线的性质,全等三角形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质,解题的关键是熟练掌握所
12、学的知识,正确的作出辅助线,从而进行解题5(1)见解析;(2)见解析;(3)不变,理由见解析【分析】(1)先根据非负数的性质求出、的值,作于点,由定理得出,根据全等三角形的性质即可得出结论;(2)先根据,得出,再由定理即可得出;解析:(1)见解析;(2)见解析;(3)不变,理由见解析【分析】(1)先根据非负数的性质求出、的值,作于点,由定理得出,根据全等三角形的性质即可得出结论;(2)先根据,得出,再由定理即可得出;(3)设,由全等三角形的性质可得出,故为定值,再由,可知的长度不变,故可得出结论【详解】解:(1)证明:,解得,作于点,在与中,;(2)证明:,即,在与中,;(3)点在轴上的位置不
13、发生改变理由:设,由(2)知,为定值,长度不变,点在轴上的位置不发生改变【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质,熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键6(1)36;(2)证明见解析;(3)3,理由见解析.【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标,从而得出AC=12,OB=6,根据三角形面积公式可求解;(2) 过E作EFx轴于点解析:(1)36;(2)证明见解析;(3)3,理由见解析.【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标,从而得出AC=12,OB=6,根据三角形面积公式可求解;(2) 过E作EFx轴于点F,延长EA交y轴于点H,证DEFBDO,得出EFODAF,
14、有,得出BAE90.(3)由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时,最短为点O到直线AE的距离.再由,在直角三角形中,即可得解.【详解】解:(1)由已知条件得:AC=12,OB=6(2)过E作EFx轴于点F,延长EA交y轴于点H,BDE是等腰直角三角形,DE=DB, BDE=90,EF轴,DF=BO=AO,EF=ODAF=EFBAE90(3)由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时,最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长,OA=6,OM+ON=3【点睛】本题考查的知识点主要是直角三角形的性质及应用,轴对称
15、在最短路径问题中的应用,弄懂题意,作出合理的辅助线是解题的关键.7(1)见解析(2)见解析(3)【分析】(1)连接DF,根据“有一个角是60的等腰三角形是等边三角形”可判断DEF是等边三角形,则DF=EF,又ABC是等边三角形,根据三角形内角和可解析:(1)见解析(2)见解析(3)【分析】(1)连接DF,根据“有一个角是60的等腰三角形是等边三角形”可判断DEF是等边三角形,则DF=EF,又ABC是等边三角形,根据三角形内角和可得出,AFD=FEC,所以ADFCFE(AAS),则AD=CF;(2)过点F作JKAC交AB于点J,交BC于点K,过点F作PIAB交AC于P,交BC于点I,连接DF,则
16、BJK和CPI是等边三角形,BDEJFDKEF,所以DJ=BE=FK,因为ABPI,FKAC,所以四边形AJFP是平行四边形,则AJ=PF,易得CPI为等边三角形,由FCB=30可得CF平分PCI,则FI=FP,所以FP=AJ,FK=BE=DJ,FI=FK,所以AJ=DJ=BE,即AD=AJ+DJ=2BE;(3)延长MO到点G,使OG=OM,连接NG,BG,NM,作ACQ=ABN,且使CQ=BN,连接MQ,AQ,先得到BOGCOM(SAS),再得到ACQABN(SAS)和BNGCQM(SAS),所以NAM=MAQ=CAM+CAQ=CAM+BAN,所以CAM+BAN=30,则CAM=,所以BAN
17、=30-(1)证明:如图,连接,是等边三角形,是等边三角形,;(2)证明:如图,过点作交于点,交于点,过点作交于,交于点,连接,和是等边三角形,是等边三角形,由(1)中结论可知,四边形是平行四边形,为等边三角形,平分,是等边三角形,即;(3)如图,延长到点,使,连接,作,且使,连接,是等边三角形,又,【点睛】本题属于三角形的综合题,涉及全等三角形的性质与判定,等边三角形的性质与判定,等腰三角形三线合一等知识,类比思想及构造的思想进行分析,仿造(1)中的结论构造出全等三角形是解题关键8(1)(2)整式的值不发生变化其值为(3)【分析】(1)过点作于点,可以证明,由,再由条件就可以求出的坐标;(2
18、)过点作于点,可以证明,则有为定值,从而可以得出结论的值不变为;解析:(1)(2)整式的值不发生变化其值为(3)【分析】(1)过点作于点,可以证明,由,再由条件就可以求出的坐标;(2)过点作于点,可以证明,则有为定值,从而可以得出结论的值不变为;(3)在上截取,连接,证明,由全等三角形的性质得出由等腰三角形的性质可得出结论(1)解:如图1,过点作于点, ,等腰直角三角形,;(2)解:整式的值不会变化理由如下:如图2,过点作于点,等腰直角三角形,当点沿轴负半轴向下运动时,整式的值不变,为;(3)证明:如图3,在上截取,连接,是等边三角形,为等腰直角三角形,,, ,即【点睛】本题是三角形综合题,考
19、查了等腰直角三角形的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,正确的做出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键9(1);(2);(3)【分析】(1)根据坐标系写出的坐标,进而根据,因式分解可得,进而可得,在x轴的正半轴上取点C,使,连接BC,证明是等边三角形,进而即可求得;(2)连接BM,进而证明解析:(1);(2);(3)【分析】(1)根据坐标系写出的坐标,进而根据,因式分解可得,进而可得,在x轴的正半轴上取点C,使,连接BC,证明是等边三角形,进而即可求得;(2)连接BM,进而证明为等边三角形,根据含30度角的直角三角形的性质即可求得(3)过点F作轴交CB的延长线于点N,证明,设,则等边三角形ABC的边长是4a,进而计算可得,即可求得的值【详解】(1)点在x轴负半轴上,如答图1,在x轴的正半轴上取点C,使,连接BC,又,是等边三角形,;(2)如答图2,连接BM,是等边三角形,D为AB的中点,在和中,即,为等边三角形,;(3)如答图3,过点F作轴交CB的延长线于点N,则,在和中,又E是OC的中点,设,等边三角形ABC的边长是4a,在和中,又,【点睛】本题考查了坐标与图形,三角形全等的性质与判定,等边三角形的性质与判定,因式分解的应用,掌握三角形全等的性质与判定并正确的添加辅助线是解题的关键