1、人教版八年级上册压轴题数学综合试卷解析(一)1如图1,在平面直角坐标系中,点A(a,0)、点B(b,0)为x轴上两点,点C在y轴的正半轴上,且a,b满足等式(1)_;(2)如图2,若M,N是OC上的点,且,延长BN交AC于P,判断APN的形状并说明理由;(3)如图3,若,点D为线段BC上的动点(不与B,C重合),过点D作于E,BG平分ABC交线段DE于点G,连AD,F为AD的中点,连接CG,CF,FG试说明,CG与FG的数量关系2如图,在等边ABC中,点D、E分别是AB、AC上的点,BD=AE,BE与CD交于点O(1)填空:BOC 度;(2)如图,以CO为边作等边OCF,AF与BO相等吗?并说
2、明理由;(3)如图,若点G是BC的中点,连接AO、GO,判断AO与GO有什么数量关系?并说明理由3如图,是等边三角形,点分别是射线、射线上的动点,点D从点A出发沿着射线移动,点E从点B出发沿着射线移动,点同时出发并且移动速度相同,连接(1)如图,当点D移动到线段的中点时,与的长度关系是:_(2)如图,当点D在线段上移动但不是中点时,探究与之间的数量关系,并证明你的结论(3)如图,当点D移动到线段的延长线上,并且时,求的度数5已知ABC是等边三角形,ADE的顶点D在边BC上(1)如图1,若ADDE,AED60,求ACE的度数;(2)如图2,若点D为BC的中点,AEAC,EAC90,连CE,求证:
3、CE2BF;(3)如图3,若点D为BC的一动点,AED90,ADE30,已知ABC的面积为4,当点D在BC上运动时,ABE的面积是否发生变化?若不变,请求出其面积;若变化请说明理由5阅读下列材料,完成相应任务数学活动课上,老师提出了如下问题:如图1,已知中,是边上的中线求证:智慧小组的证法如下:证明:如图2,延长至,使,是边上的中线在和中(依据一)在中,(依据二)任务一:上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指:依据1:_;依据2:_归纳总结:上述方法是通过延长中线,使,构造了一对全等三角形,将,转化到一个三角形中,进而解决问题,这种方法叫做“倍长中线法”“倍长中线法”多用于构造全等三角
4、形和证明边之间的关系任务二:如图3,则的取值范围是_;任务三:如图4,在图3的基础上,分别以和为边作等腰直角三角形,在中,;中,连接试探究与的数量关系,并说明理由6请按照研究问题的步骤依次完成任务【问题背景】(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”, 请说理证明A+B=C+D 【简单应用】(2)如图2,AP、CP分别平分BAD、BCD,若ABC=20,ADC=26,求P的度数(可直接使用问题(1)中的结论) 【问题探究】(3)如图3,直线AP平分BAD的外角FAD,CP平分BCD的外角BCE, 若ABC=36,ADC=16,猜想P的度数为 ;【拓展延伸】(4)在图4中,若设C=x,B=y,CA
5、P=CAB,CDP=CDB,试问P与C、B之间的数量关系为 (用x、y表示P) ;(5)在图5中,AP平分BAD,CP平分BCD的外角BCE,猜想P与B、D的关系,直接写出结论 7在中,点在边上,且是射线上一动点(不与点重合,且),在射线上截取,连接当点在线段上时,若点与点重合时,请说明线段;如图2,若点不与点重合,请说明;当点在线段的延长线上时,用等式表示线段之间的数量关系(直接写出结果,不需要证明)8如图,是等边三角形,点在上,点在的延长线上,且(1)如图甲,若点是的中点,求证: (2)如图乙,若点不的中点,是否成立?证明你的结论(3)如图丙,若点在线段的延长线上,试判断与的大小关系,并说
6、明理由【参考答案】2(1)0(2)等腰三角形,见解析(3)CG=2FG【分析】(1)由可得,得出a、b的值即可求解;(2)由OC垂直平分AB可得,再由外角可得 ,结合已知条件,等量代换即可得到结论;解析:(1)0(2)等腰三角形,见解析(3)CG=2FG【分析】(1)由可得,得出a、b的值即可求解;(2)由OC垂直平分AB可得,再由外角可得 ,结合已知条件,等量代换即可得到结论;(3)先延长GF至点M,使FM=FG,连接CG、CM、AM,可证,得到,再结合已知条件得到,可得是等腰三角形,利用等腰三角形的性质得出,最后证明 为等边三角形,即可得到结论(1) 解得 (2) 是等腰三角形,理由如下:
7、由点A(a,0)、点B(b,0)为x轴上两点,且可得,OA=OB OC垂直平分AB , 是等腰三角形(3),理由如下:如图,延长GF至点M,使FM=FG,连接CG、CM、AM F为AD的中点 在和中 垂直平分 ,BG平分 为等边三角形, 在和中 即是等腰三角形 为等边三角形 在 中, 【点睛】本题是三角形的综合题目,考查了非负性求和、线段垂直平分线的性质、外角的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质及直角三角形的性质,涉及知识点多,能够合理添加辅助线并综合运用知识点是解题的关键3(1)120;(2)相等,理由见解析;(3)AO=2OG理由见解析【分析】(1)证明
8、EABDBC(SAS),可得结论(2)结论:AF=BO,证明FCAOCB(SAS),可得结解析:(1)120;(2)相等,理由见解析;(3)AO=2OG理由见解析【分析】(1)证明EABDBC(SAS),可得结论(2)结论:AF=BO,证明FCAOCB(SAS),可得结论(3)证明AFOOBR(SAS),推出OA=OR,可得结论【详解】解:(1)如图中,ABC是等边三角形,AB=BC,A=CBD=60,在EAB和DBC中,EABDBC(SAS),ABE=BCD,BOD=BCD+CBE=ABE+CBE=CBA=60,BOC=180-60=120故答案为:120(2)相等理由:如图中,FCO,AC
9、B都是等边三角形,CF=CO,CA=CB,FCO=ACB=60,FCA=OCB,在FCA和OCB中,FCAOCB(SAS),AF=BO(3)如图中,结论:AO=2OG理由:延长OG到R,使得GR=GO,连接CR,BR在CGO和BGR中,CGOBGR(SAS),CO=BR=OF,GCO=GBR,AF=BO,COBR,FCAOCB,AFC=BOC=120,CFO=COF=60,AFO=COF=60,AFCO,AFBR,AFO=RBO,在AFO和OBR中,AFOOBR(SAS),OA=OR,OR=2OG,OA=2OG【点睛】本题属于三角形综合题,考查了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,
10、解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题4(1)(2),证明见详解(3)【分析】(1)由题意可知,所以,由等边三角形及中点可知,而,所以可证,进一步可证;(2)猜测,在射线AB上截取,如图(见详解),利用等边三角形的性质及可解析:(1)(2),证明见详解(3)【分析】(1)由题意可知,所以,由等边三角形及中点可知,而,所以可证,进一步可证;(2)猜测,在射线AB上截取,如图(见详解),利用等边三角形的性质及可知为等边三角形,再利用边角边即可证明,最后根据全等三角形的性质即可证明;(3)按照第(2)问的思路,作出类似的辅助线:在射线CB上截取,如图(见详解),用同样的方法证明,再根
11、据EDDC,证出为等腰直角三角形,即可求出DEC的度数(1)解:,证明过程如下:由题意可知, D为AB的中点,为等边三角形,(2)解:,理由如下:在射线AB上截取,连接EF,如图所示,为等边三角形,为等边三角形,由题意知,即,在和中,DE与DC之间的数量关系是(3)如图,在射线CB上截取,连接DF,如图所示,为等边三角形,为等边三角形,由题意知,即,在和中,EDDC,为等腰直角三角形,【点睛】本题主要考查了等腰三角形,等边三角形,以及全等三角形的判定及性质,能够作出辅助线,并合理利用等边三角形的性质是解题的关键5(1)60;(2)见解析;(3)不变,【分析】(1)由题意,先证ADE是等边三角形
12、,再证BADCAE,得ACE=B=60;(2)由题意,先求出BEC=30,然后求出CF解析:(1)60;(2)见解析;(3)不变,【分析】(1)由题意,先证ADE是等边三角形,再证BADCAE,得ACE=B=60;(2)由题意,先求出BEC=30,然后求出CFE=90,利用直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半,即可得证;(3)延长AE至F,使EF=AE,连DF、CF,先证明ADF是等边三角形,然后证明EGFEHA,结合HG是定值,即可得到答案【详解】解:(1)根据题意,ADDE,AED60,ADE是等边三角形,AD=AE,DAE=60,AB=AC,BAC=60,即,BADCAE,ACE
13、=B=60;(2)连CF,如图:AB=AC=AE,AEB=ABE,BAC=60,EAC=90,BAE=150,AEB=ABE=15;ACE是等腰直角三角形,AEC=45,BEC=30,EBC=45,AD垂直平分BC,点F在AD上,CF=BF,FCB=EBC=45,CFE=90,在直角CEF中,CFE=90,CEF=30,CE=2CF=2BF;(3)延长AE至F,使EF=AE,连DF、CF,如图:AED90,EF=AE,DE是中线,也是高,ADF是等腰三角形,ADE30,DAE=60,ADF是等边三角形;由(1)同理可求ACF=ABC=60,ACF=BAC=60,CFAB,过E作EGCF于G,延
14、长GE交BA的延长线于点H,易证EGFEHA,EH=EG=HG,HG是两平行线之间的距离,是定值,SABESABC;【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,垂直平分线的性质,全等三角形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确的作出辅助线,从而进行解题6任务一:依据1:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(或“边角边”或“SAS”);依据2:三角形两边的和大于第三边;任务二:;任务三:EF=2AD,见解析【分析】任务一:依据1:根据全等的判解析:任务一:依据1:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(或“边角边”或“SAS”
15、);依据2:三角形两边的和大于第三边;任务二:;任务三:EF=2AD,见解析【分析】任务一:依据1:根据全等的判定方法判断即可;依据2:根据三角形三边关系判断;任务二:可根据任务一的方法直接证明即可;任务三:根据任务一的方法,延长中线构造全等三角形证明线段关系即可【详解】解:任务一:依据1:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(或“边角边”或“SAS”);依据2:三角形两边的和大于第三边任务二:任务三:EF=2AD理由如下:如图延长AD至G,使DG=AD,AD是BC边上的中线BD=CD在ABD和CGD中ABDCGDAB=CG,ABD=GCD 又AB=AEAE=CG在ABC中,ABC+BAC
16、+ACB=180,GCD+BAC+ACB=180又BAE=90,CAF=90EAF+BAC=360-(BAE+CAF)=180EAF=GCD在EAF和GCA中EAFGCA EF=AGEF=2AD【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,倍长中线法,构造全等三角形是解本题的关键7(1)见解析;(2)P=23;(3)P=26;(4)P=;(5)P=【分析】(1)根据三角形内角和定理即可证明;(2)如图2,根据角平分线的性质得到1=2,3=4,列方解析:(1)见解析;(2)P=23;(3)P=26;(4)P=;(5)P=【分析】(1)根据三角形内角和定理即可证明;(2)如图2,根
17、据角平分线的性质得到1=2,3=4,列方程组即可得到结论;(3)由AP平分BAD的外角FAD,CP平分BCD的外角BCE,推出1=2,3=4,推出PAD=180-2,PCD=180-3,由P+(180-1)=D+(180-3),P+1=B+4,推出2P=B+D,即可解决问题;(4)根据题意得出B+CAB=C+BDC,再结合CAP=CAB,CDP=CDB,得到y+(CAB-CAB)=P+(BDC-CDB),从而可得P=y+CAB-CAB-CDB+CDB=;(5)根据题意得出B+BAD=D+BCD,DAP+P=PCD+D,再结合AP平分BAD,CP平分BCD的外角BCE,得到BAD+P=BCD+(
18、180-BCD)+D,所以P=90+BCD-BAD +D=.【详解】解:(1)证明:在AOB中,A+B+AOB=180,在COD中,C+D+COD=180,AOB=COD,A+B=C+D;(2)解:如图2,AP、CP分别平分BAD,BCD,1=2,3=4,由(1)的结论得:,+,得2P+2+3=1+4+B+D,P=(B+D)=23;(3)解:如图3,AP平分BAD的外角FAD,CP平分BCD的外角BCE,1=2,3=4,PAD=180-2,PCD=180-3,P+(180-1)=D+(180-3),P+1=B+4,2P=B+D,P=(B+D)=(36+16)=26;故答案为:26;(4)由题意
19、可得:B+CAB=C+BDC,即y+CAB=x+BDC,即CAB-BDC=x-y,B+BAP=P+PDB,即y+BAP=P+PDB,即y+(CAB-CAP)=P+(BDC-CDP),即y+(CAB-CAB)=P+(BDC-CDB),P=y+CAB-CAB-CDB+CDB= y+(CAB-CDB)=y+(x-y)=故答案为:P=;(5)由题意可得:B+BAD=D+BCD,DAP+P=PCD+D,B-D=BCD-BAD,AP平分BAD,CP平分BCD的外角BCE,BAP=DAP,PCE=PCB,BAD+P=(BCD+BCE)+D,BAD+P=BCD+(180-BCD)+D,P=90+BCD-BAD
20、 +D=90+(BCD-BAD)+D=90+(B-D)+D=,故答案为:P=.【点睛】本题考查三角形内角和,三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识,解题的关键是学会用方程组的思想思考问题,属于中考常考题型8(1)证明见解析;证明见解析;(2)BFAE-CD【分析】(1)根据等边对等角,求到,再由含有60角的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形,之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得解析:(1)证明见解析;证明见解析;(2)BFAE-CD【分析】(1)根据等边对等角,求到,再由含有60角的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形,之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到,推出,根据全等
21、三角形的性质即可得出结论;过点A做AGEF交BC于点G,由DEF为等边三角形得到DADG,再推出AEGF,根据线段的和差即可整理出结论;(2)根据题意画出图形,作出AG,由(1)可知,AE=GF,DC=BG,再由线段的和差和等量代换即可得到结论【详解】(1)证明:,且E与A重合,是等边三角形在和中 如图2,过点A做AGEF交BC于点G,ADB60DEDFDEF为等边三角形AGEFDAGDEF60,AGDEFD60DAGAGDDADGDADEDGDF,即AEGF由易证AGBADCBGCDBFBGGFCDAE(2)如图3,和(1)中相同,过点A做AGEF交BC于点G,由(1)可知,AE=GF,DC
22、=BG,故【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键9(1)详见解析;(2)成立,理由详见解析;(3),证明详见解析.【分析】(1)根据等边三角形三线合一的性质即可求得DBC的度数,根据BD=DE即可解题;(2)过D作DFBC,交AB于F,解析:(1)详见解析;(2)成立,理由详见解析;(3),证明详见解析.【分析】(1)根据等边三角形三线合一的性质即可求得DBC的度数,根据BD=DE即可解题;(2)过D作DFBC,交AB于F,证BFDDCE,推出DF=CE,证ADF是等边三角形,推出AD=DF,即可得出答案(3)如图3,过点D作DPBC,交AB的延长线于点P,证明BPDDCE,得到PD=CE,即可得到AD=CE【详解】证明:是等边三角形,为中点,,;(2)成立,如图乙,过作,交于,则是等边三角形,在和中,即如图3,过点作,交的延长线于点,是等边三角形,也是等边三角形,,,在和中,【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是作出辅助线,构建全等三角形