初二上学期压轴题强化数学检测试卷答案.doc

初二上学期压轴题强化数学检测试卷答案
1．如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0）、点B（b，0）为x轴上两点，点C在y轴的正半轴上，且a，b满足等式．

(1)________；
(2)如图2，若M，N是OC上的点，且，延长BN交AC于P，判断△APN的形状并说明理由；
(3)如图3，若，点D为线段BC上的动点（不与B，C重合），过点D作于E，BG平分∠ABC交线段DE于点G，连AD，F为AD的中点，连接CG，CF，FG．试说明，CG与FG的数量关系．
2．（初步探索）（1）如图：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．

(1)（1）小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________；
(2)（灵活运用）（2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
3．如图，中，，．

（1）如图1，，，求证：；
（2）如图2，，，请直接用几何语言写出、的位置关系____________；
（3）证明（2）中的结论．
4．阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．

求证：．
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至，使，

∵是边上的中线∴
在和中
∴（依据一）∴
在中，（依据二）
∴．
任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______________________________________________；
依据2：______________________________________________．
归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；

任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．

5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称.
(1)求△ABC的面积；
(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；
(3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.

6．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A（a，0）、B(0，b)两点．

(1)若＋b2－10b＋25＝0，判断△AOB的形状，并说明理由；
(2)如图②，在（1）的条件下，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，MN=7，求BN的长；
(3)如图③，若即点A不变，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请求其取值范围．
7．已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．

(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；
(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN
(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果）
8．若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式，则a＝0，b＝2，c＝-5，d＝4，故A的关联点为（-5，-11）．
(1)若，试求出A的关联点坐标；
(2)若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与的乘积，若整式C的关联点为（6，15），求整式B的表达式．
(3)若整式D＝x-2，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若整式F的关联点为（-32，0），请直接写出整式E的表达式．
【参考答案】
2．(1)0
(2)等腰三角形，见解析
(3)CG=2FG
【分析】（1）由可得，得出a、b的值即可求解；
（2）由OC垂直平分AB可得，再由外角可得 ，结合已知条件，等量代换即可得到结论；
解析：(1)0
(2)等腰三角形，见解析
(3)CG=2FG
【分析】（1）由可得，得出a、b的值即可求解；
（2）由OC垂直平分AB可得，再由外角可得 ，结合已知条件，等量代换即可得到结论；
（3）先延长GF至点M，使FM=FG，连接CG、CM、AM，可证，得到，再结合已知条件得到，可得是等腰三角形，利用等腰三角形的性质得出，最后证明 为等边三角形，即可得到结论．
(1)

解得

(2)
是等腰三角形，理由如下：
由点A（a，0）、点B（b，0）为x轴上两点，且
可得，OA=OB
OC垂直平分AB

，

是等腰三角形
(3)
，理由如下：
如图，延长GF至点M，使FM=FG，连接CG、CM、AM

F为AD的中点

在和中

垂直平分

，BG平分
为等边三角形，

在和中   

即是等腰三角形

为等边三角形   

在 中， ．
【点睛】本题是三角形的综合题目，考查了非负性求和、线段垂直平分线的性质、外角的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质及直角三角形的性质，涉及知识点多，能够合理添加辅助线并综合运用知识点是解题的关键．
3．(1)（初步探索）结论：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；
(2)（灵活运用）成立，理由见解析
【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠D
解析：(1)（初步探索）结论：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；
(2)（灵活运用）成立，理由见解析
【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，据此得出结论；
（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．
（1）
解：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF．
理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵，
∴，
∵DG＝BE，，
∴△ABE≌△ADG，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF=BE+FD，DG＝BE，
∴，且AE＝AG，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF，
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF．
故答案为：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；
（2）
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠B＋∠ADF＝180°，∠ADG＋∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF
【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
4．（1）见解析；（2）⊥；（3）见解析
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°，根据余角的性质可得∠ACD=∠BAE，然后根据AAS即可证得结论；
（2）由于要得出、的位置关系，结
解析：（1）见解析；（2）⊥；（3）见解析
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°，根据余角的性质可得∠ACD=∠BAE，然后根据AAS即可证得结论；
（2）由于要得出、的位置关系，结合图形可猜想：⊥；
（3）如图，作CP⊥AC于点C，延长FD交CP于点P，先证明△BAE≌△FCP，可得∠3=∠P，AB=CP，然后证明△ACD≌△PCD，可得∠4=∠P，进一步即可推出∠4+∠2=90°，问题得证．
【详解】解：（1）证明：∵，，
∴∠ADC=∠E=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∵，
∴∠DAC+∠BAE=90°，
∴∠ACD=∠BAE，
在△DAC和△EBA中，
∵∠ADC=∠E，∠ACD=∠BAE，AC=AB，
∴（AAS）；
（2）结合图形可得：⊥；
故答案为：⊥；
（3）证明：如图，作CP⊥AC于点C，延长FD交CP于点P，
∵AF=CE，
∴AE=CF，
∵，
∴∠1=∠2，
∵∠BAE=∠FCP=90°，
∴△BAE≌△FCP，
∴∠3=∠P，AB=CP，

∵，，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠PCP=90°，AB=CP，
∴∠FCD=45°，AC=PC，
∴∠ACB=∠PCD，
∵CD=CD，
∴△ACD≌△PCD，
∴∠4=∠P，
∵∠3=∠P，
∴∠3=∠4，
∵∠3+∠2=90°，
∴∠4+∠2=90°，
∴∠AGE=90°，即⊥．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5．任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二：；任务三：EF=2AD，见解析
【分析】任务一：依据1：根据全等的判
解析：任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二：；任务三：EF=2AD，见解析
【分析】任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可；
依据2：根据三角形三边关系判断；
任务二：可根据任务一的方法直接证明即可；
任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可．
【详解】解：任务一：
依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；
依据2：三角形两边的和大于第三边．
任务二：
任务三：EF=2AD．理由如下：
如图延长AD至G，使DG=AD，

∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
在△ABD和△CGD中
∴△ABD≌△CGD
∴AB=CG，∠ABD=∠GCD
又∵AB=AE
∴AE=CG
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180°
又∵∠BAE=90°，∠CAF=90°
∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠CAF）=180°
∴∠EAF=∠GCD
在△EAF和△GCA中

∴△EAF≌△GCA
∴EF=AG
∴EF=2AD．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．
6．（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.
【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；
(2) 过E作EF⊥x轴于点
解析：（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.
【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；
(2) 过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H，证△DEF≌△BDO，得出EF＝OD＝AF，有，得出∠BAE＝90°.
(3)由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离.再由，在直角三角形中,
即可得解.
【详解】解：（1）由已知条件得：
            AC=12，OB=6
       ∴
（2）过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H,

∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=DB, ∠BDE=90°,
∴
∵
∴
∴
∵EF轴，
∴
∴DF=BO=AO,EF=OD
∴AF=EF
∴
∴∠BAE＝90°
（3）由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长，

∵，OA=6，
∴OM+ON=3
【点睛】本题考查的知识点主要是直角三角形的性质及应用，轴对称在最短路径问题中的应用，弄懂题意，作出合理的辅助线是解题的关键.
7．(1)△AOB为等腰直角三角形；理由见解析
(2)BN=3
(3)PB的长为定值；
【分析】（1）根据题意求出a、b的值，即可得出A与B坐标，根据OA＝OB，即可确定△AOB的形状；
（2）
解析：(1)△AOB为等腰直角三角形；理由见解析
(2)BN=3
(3)PB的长为定值；
【分析】（1）根据题意求出a、b的值，即可得出A与B坐标，根据OA＝OB，即可确定△AOB的形状；
（2）由OA＝OB，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用对应线段相等求长度；
（3）如图，作EK⊥y轴于K点，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形对应边相等得到OA＝BK，EK＝OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长．
(1)
解：结论：△OAB是等腰直角三角形；理由如下：
∵＋b2－10b＋25＝0，即，
∴，解得：，
∴A（−5，0），B（0，5），
∴OA＝OB＝5，
∴△AOB是等腰直角三角形．
(2)
解：∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴，
，
∴，
∴，
∵在△AMO与△ONB中，
∴△AMO≌△ONB（AAS），
∴AM＝ON＝4，BN＝OM，
∵MN＝7，
∴OM＝3，
∴BN＝OM＝3．
(3)
解：结论：PB的长为定值．理由如下，
作EK⊥y轴于K点，如图所示：

∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠EBK＋∠ABO＝90°，
∵∠EBK＋∠BEK＝90°，
∴∠ABO＝∠BEK，
∵在△AOB和△BKE中，
∴△AOB≌△BKE（AAS），
∴OA＝BK，EK＝OB，
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴OB＝BF，
∴EK＝BF，
∵在△EKP和△FBP中，
∴△PBF≌△PKE（AAS），
∴PK＝PB，
∴PB＝BK＝OA＝．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查非负数的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
8．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先判断出∠DBC=∠ABE，进而判断出△DBC≌△ABE，即可得出结论；
（2）先判断出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AN
解析：(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先判断出∠DBC=∠ABE，进而判断出△DBC≌△ABE，即可得出结论；
（2）先判断出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，进而判断出∠BAC=∠ACF，即可判断出△ABC≌△CFA，即可得出结论；
（3）先判断出△ABC≌△HEB(ASA)，得出，，再判断出△ADM≌△HEM (AAS)，得出AM=HM，即可得出结论．
(1)
解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，
∴∠DBC=∠ABE，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=CD；
(2)
解：如图，延长AN使NF=AN，连接FC，

∵N为CD中点，
∴DN=CN，
∵∠AND=∠FNC，
∴△ADN≌△FCN(SAS)，
∴CF=AD，∠NCF=∠AND，
∵∠DAB=∠BAC=60°
∴∠ACD +∠ADN=60°
∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，
∴∠BAC=∠ACF，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，
∴AB=CF，
∵AC=CA，
∴△ABC≌△CFA (SAS)，
∴BC=AF，
∵△BCE是等边三角形，
∴CE=BC=AF=2AN；
(3)
解： ∵△ABD是等边三角形，
∴，∠BAD=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，
∴，
如图，过点E作EH // AD交AM的延长线于H，

∴∠H=∠BAD=60°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BC=BE，∠CBE=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，
∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，
∴△ABC≌△HEB (ASA)，
∴，，
∴AD=EH，
∵∠AMD=∠HME，
∴△ADM≌△HEM (AAS)，
∴AM=HM，
∴
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
9．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据整式得出，，，，根据关联点的定义得出，，即可得出的关联点坐标；
（2）根据题意得出中的次数为次，设   ，计算出，进而表达出，，，的值，再根据的关
解析：(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据整式得出，，，，根据关联点的定义得出，，即可得出的关联点坐标；
（2）根据题意得出中的次数为次，设   ，计算出，进而表达出，，，的值，再根据的关联点为，列出关于 ， 的等式，解出、的值即可；
（3）设，根据题意求出，进而表达出，，，的值，再根据的关联点为，列出关于，的等式，解出、的值即可．
(1)
解：（1），
，，，，
，，
的关联点坐标为：，
故笞案为：；
(2)
整式是只含有字母的整式，整式是与的乘积，
是二次多项式，且的次数不能超过次，
中的次数为次，
设 ，
，
，，，，
整式的关联点为，
，，
解得：，，
；
(3)
根据题意：设，

，
，，，，
整式 的关联点为，
，，
，，
，
把代入得： ，
解得： ，
或，
或．
【点睛】本题主要考查整式的乘法，掌握整式的乘法是解决问题的关键．