2024年人教版七7年级下册数学期末综合复习题(附解析).doc

2024年人教版七7年级下册数学期末综合复习题（附解析）
一、选择题
1．“9的平方根”这句话用数学符号表示为（）
A． B．± C． D．±
2．下列图案中，是通过下图平移得到的是（ ）

A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列命题中：
①若，则点在原点处；
②点一定在第四象限
③已知点与点，m，n均不为0，则直线平行x轴；
④已知点A(2，-3)，轴，且，则B点的坐标为(2，2)．
以上命题是真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．直线，，，，则（ ）

A．15° B．25° C．35 D．20°
6．下列说法错误的是（ ）
A．的平方根是 B．的值是
C．的立方根是 D．的值是
7．如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条顺时针旋转的度数至少是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2021次相遇地点的坐标是（ ）

A．（2 ，1） B．（－1，－1）
C．（﹣2，0） D．（2，0）
九、填空题
9．若＝x，则x的值为______．
十、填空题
10．点P关于y轴的对称点是(3，﹣2)，则P关于原点的对称点是__．
十一、填空题
11．如图，在中，作的角平分线与的外角的角平分线交于点；的角平分线与角平分线交于，如此下去，则__________．

十二、填空题
12．如图，现将一块含有60°角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝∠2，那么∠1的度数为__________．

十三、填空题
13．如图为一张纸片沿直线折成的V字形图案，已知图中，则______°．

十四、填空题
14．对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，那么x＝_______.
十五、填空题
15．若点P在轴上，则点P的坐标为____．
十六、填空题
16．如图，每一个小正方形的边长为1个单位长，一只蚂蚁从格点．A出发，沿着A→B→C→D→A→B→...路径循环爬行，当爬行路径长为2020个单位长时，蚂蚁所在格点坐标为___．

十七、解答题
17．计算：
（1）
（2）
十八、解答题
18．求下列各式中的值：
（1）；
（2）．
十九、解答题
19．已知如图，，，，，求证：.
完成下面的证明过程：
证明：∵，
∴（______________________________）
∵____________________（已知）
∴.（______________________________）
∴.
∵，（已知）
∴
又∵，
∴，
∴，（______________________________）
∴.（______________________________）

二十、解答题
20．在平面直角坐标系中，已知点，点（其中为常数，且），则称是点的“系置换点”．例如：点的“3系置换点”的坐标为，即．
（1）点(2，0)的“2系置换点”的坐标为________；
（2）若点的“3系置换点”的坐标是(-4，11)，求点的坐标．
（3）若点（其中），点的“系置换点”为点，且，求的值；
二十一、解答题
21．阅读材料，解答问题：
材料：∵即，∴的整数部分为2，小数部分为．
问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求的小数部分．      
（2）求的平方根．
二十二、解答题
22．有一块正方形钢板，面积为16平方米．
（1）求正方形钢板的边长．
（2）李师傅准备用它裁剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由．（参考数据：，）．
二十三、解答题
23．已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；

（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．

二十四、解答题
24．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且．

（1）将直角如图1位置摆放，如果，则________；
（2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论．
二十五、解答题
25．【问题探究】如图1，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，猜想∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；
【问题迁移】
如图2，DF∥CE，点P在三角板AB边上滑动，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β.
（1）当点P在E、F两点之间运动时，如果α=30°，β=40°，则∠DPC= °.

（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出∠DPC与α、β之间的数量关系，并说明理由．

（图1） （图2）
【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据平方根的定义：如果（），那么a就叫做b的平方根，解答即可．
【详解】
解：∵
∴“9的平方根”这句话用数学符号表示为：，
故选B．
【点睛】
本题考查了平方根的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键．
2．C
【分析】
根据平移的性质，即可解答．
【详解】
由平移的性质可知C选项符合题意，A、B、D选项需要通过旋转才能实现．
故选C
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变
解析：C
【分析】
根据平移的性质，即可解答．
【详解】
由平移的性质可知C选项符合题意，A、B、D选项需要通过旋转才能实现．
故选C
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，掌握平移的性质是解题的关键．
3．B
【分析】
根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】
解：点P（-5，4）位于第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．B
【分析】
利用有理数的性质和坐标轴上点的坐标特征可对①进行判断；利用或可对②进行判断；利用、点的纵坐标相同可对③进行判断；通过把点坐标向上或向下平移5个单位得到点坐标可对④进行判断．
【详解】
解：若，则或，所以点坐标轴上，所以①为假命题；
，点一定在第四象限，所以②为真命题；
已知点与点，，均不为0，则直线平行轴，所以③为真命题；
已知点，轴，且，则点的坐标为或，所以④为假命题．
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．A
【分析】
分别过A、B作直线的平行线AD、BC，根据平行线的性质即可完成．
【详解】
分别过A、B作直线∥AD、∥BC，如图所示，则AD∥BC

∵∥
∴∥BC
∴∠CBF=∠2
∵∥AD
∴∠EAD=∠1=15゜
∴∠DAB=∠EAB-∠EAD=125゜-15゜=110゜
∵AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180゜
∴∠ABC=180゜-∠DAB=180゜-110゜=70゜
∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=85゜-70゜=15゜
∴∠2=15゜
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定等知识，关键是作两条平行线．
6．B
【分析】
根据算术平方根与平方根、立方根的性质逐项判断即可得．
【详解】
A、的平方根是，此项说法正确；
B、的值是4，此项说法错误；
C、的立方根是，此项说法正确；
D、的值是，此项说法正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根与平方根、立方根的性质，熟练掌握算术平方根与平方根、立方根的性质是解题关键．
7．B
【分析】
根据两直线平行同旁内角互补和对顶角相等，求出旋转后∠2的同旁内角的度数，然后利用对顶角相等旋转后∠1的度数，继而用旋转后∠1减去110°即可得到木条a旋转的度数．
【详解】
解：要使木条a与b平行，
∴旋转后∠1＋∠2＝180°，
∵∠2＝50°，
∴旋转后∠1＝180°﹣50°＝130°，
∴当∠1需变为130 º，
∴木条a至少旋转：130º﹣110º＝20º，
故选B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等，在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角．
8．B
【分析】
根据题意得：矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，
∴物体甲与物体乙的路程比为1：2，可得到物体甲和物体乙第一次相遇点为（-1，1）；第二次相遇点为（-1，-1）；
解析：B
【分析】
根据题意得：矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，
∴物体甲与物体乙的路程比为1：2，可得到物体甲和物体乙第一次相遇点为（-1，1）；第二次相遇点为（-1，-1）；第三次相遇点为（2，0）；由此得出规律，即可求解．
【详解】
根据题意得：矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，
∴物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：
第一次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为 ，物体甲运动的路程为，物体乙运动的路程为 ，此时在BC边相遇，即第一次相遇点为（-1，1）；
第二次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为 ，物体甲运动的路程为，物体乙运动的路程为，在DE边相遇，即第二次相遇点为（-1，-1）；
第三次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为 ，物体甲运动的路程为，物体乙运动的路程为，在A点相遇，即第三次相遇点为（2，0）；
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵ ，
故两个物体运动后的第2021次相遇地点的是：第二次相遇地点，即点（-1，-1）
故选：B
【点睛】
本题主要考查了点的变化规律，以及行程问题中的相遇问题，通过计算发现规律就可以解决问题，解题的关键是找出规律每相遇三次，甲乙两物体同时回到原点．
九、填空题
9．0或1
【分析】
根据算术平方根的定义(一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根)求解.
【详解】
∵02=0,12=1,
∴0的算术平方根为0，1的算术平方根
解析：0或1
【分析】
根据算术平方根的定义(一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根)求解.
【详解】
∵02=0,12=1,
∴0的算术平方根为0，1的算术平方根为1.
故答案是：0或1.
【点睛】
考查了算术平方根的定义，解题关键是利用算术平方根的定义(一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根)求解.
十、填空题
10．【分析】
直接利用关于y轴对称点的性质得出P点坐标，再利用关于原点对称点的性质得出答案．
【详解】
解：∵点P关于y轴的对称点是，
∴点，
则P关于原点的对称点是．
故答案为：．
【点睛】
本题考
解析：
【分析】
直接利用关于y轴对称点的性质得出P点坐标，再利用关于原点对称点的性质得出答案．
【详解】
解：∵点P关于y轴的对称点是，
∴点，
则P关于原点的对称点是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标求法、关于原点对称的点的坐标求法，牢记相关性质是解题关键．
十一、填空题
11．【分析】
根据角平分线的定义以及三角形外角的性质，三角形内角和定理得出与，与的关系，找出规律即可．
【详解】
解：设BC延长与点D，
∵，
的角平分线与的外角的角平分线交于点，
∴
，
同
解析：
【分析】
根据角平分线的定义以及三角形外角的性质，三角形内角和定理得出与，与的关系，找出规律即可．
【详解】
解：设BC延长与点D，

∵，
的角平分线与的外角的角平分线交于点，
∴

，
同理可得，
，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和等知识点，熟知以上知识点，找出角度之间的规律是解题的关键．
十二、填空题
12．【分析】
根据题意知：，得出,从而得出，从而求算∠1．
【详解】
解：如图：
∵
∴
又∵∠1＝∠2，
∴，解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是
解析：
【分析】
根据题意知：，得出,从而得出，从而求算∠1．
【详解】
解：如图：
∵
∴
又∵∠1＝∠2，
∴，解得：
故答案为：

【点睛】
本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．
十三、填空题
13．70
【分析】
根据∠1+2∠2=180°求解即可．
【详解】
解：∵∠1+2∠2=180°，，
∴∠2=70°．
故答案为：70．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，角的和差计算，由图得出∠1+2∠
解析：70
【分析】
根据∠1+2∠2=180°求解即可．
【详解】
解：∵∠1+2∠2=180°，，
∴∠2=70°．
故答案为：70．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，角的和差计算，由图得出∠1+2∠2=180°是解答本题的关键．
十四、填空题
14．或
【详解】
【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.
【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1
解析：或
【详解】
【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.
【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1，
∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，
∴有如下三种情况：
①2x+1=2，x=，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，，}=2，成立；
②2x+1=-x+3，x=，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，，}=2，不成立；
③2x+1=5x，x=，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，，}=，成立，
∴x=或，
故答案为或.
【点睛】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解．
十五、填空题
15．（4，0）．
【分析】
根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可．
【详解】
∵点P（m+3，m-1）在x轴上，
∴m-1=0，
解得m=1，
所以，m+3=1+3=4，
所以，点P的坐
解析：（4，0）．
【分析】
根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可．
【详解】
∵点P（m+3，m-1）在x轴上，
∴m-1=0，
解得m=1，
所以，m+3=1+3=4，
所以，点P的坐标为（4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
十六、填空题
16．（2，2）
【分析】
由格点确定点A、B、C的坐标，从而得出AB、BC的长度，从而可找出爬行一圈的长度，再根据2020＝126×16＋4，即可得出当蚂蚁爬了2020个单位时，它所处位置的坐标．
【详
解析：（2，2）
【分析】
由格点确定点A、B、C的坐标，从而得出AB、BC的长度，从而可找出爬行一圈的长度，再根据2020＝126×16＋4，即可得出当蚂蚁爬了2020个单位时，它所处位置的坐标．
【详解】
解：∵A点坐标为（−2，2），B点坐标为（3，2），C点坐标为（3，−1），
∴AB＝3−（−2）＝5，BC＝2−（−1）＝3，
∴从A→B→C→D→A→B→…一圈的长度为2（AB＋BC）＝16．
∵2020＝126×16＋4，
∴当蚂蚁爬了2020个单位时，它所处位置在点A右边4个单位长度处，即（2，2）．
故答案为：（2，2）．
【点睛】
本题考查了规律型中点的坐标以及矩形的性质，根据蚂蚁的运动规律找出蚂蚁每运动16个单位长度是一圈．
十七、解答题
17．（1）；（2）
【分析】
（1）根据算术平方根，立方根的求法结合实数混合运算法则计算即可；
（2）先根据绝对值的意义化简绝对值，然后根据算术平方根的求法以及实数混合运算法则计算即可．
【详解】
解：
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）根据算术平方根，立方根的求法结合实数混合运算法则计算即可；
（2）先根据绝对值的意义化简绝对值，然后根据算术平方根的求法以及实数混合运算法则计算即可．
【详解】
解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，算术平方根以及立方根的求法，绝对值等知识点，题目比较基础，熟练掌握基础知识点是关键．
十八、解答题
18．（1）；（2）
【分析】
（1）先移项，然后运用直接开平方法，即可求出的值；
（2）方程两边同时除以8，然后计算立方根，即可得到答案．
【详解】
解：（1）
∴，
∴，
∴；
（2），
∴，
∴，
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）先移项，然后运用直接开平方法，即可求出的值；
（2）方程两边同时除以8，然后计算立方根，即可得到答案．
【详解】
解：（1）
∴，
∴，
∴；
（2），
∴，
∴，
∴；
【点睛】
本题考查了直接开平方法、开立方根法求方程的解，解题的关键是熟练掌握直接开平方法、开立方根法进行解题．
十九、解答题
19．见解析
【分析】
根据平行线的判定和性质定理以及对顶角相等即可得到结论．
【详解】
解：证明：∵∠AOB=80°，
∴∠COD=∠AOB=80°（对顶角相等）．
∵BC∥EF（已知），
∴∠COD+
解析：见解析
【分析】
根据平行线的判定和性质定理以及对顶角相等即可得到结论．
【详解】
解：证明：∵∠AOB=80°，
∴∠COD=∠AOB=80°（对顶角相等）．
∵BC∥EF（已知），
∴∠COD+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠1=100°．
∵∠1+∠C=160°（已知），
∴∠C=160°-∠1=60°．
又∵∠B=60°，
∴∠B=∠C．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了对顶角的定义．
二十、解答题
20．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据题中新定义直接将m的值代入即可得出答案；
（2）根据题中新定义列出关于、的二元一次方程组求解即可得出答案；
（3）根据题中新定义可得出点B的坐标，再根据
解析：（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据题中新定义直接将m的值代入即可得出答案；
（2）根据题中新定义列出关于、的二元一次方程组求解即可得出答案；
（3）根据题中新定义可得出点B的坐标，再根据列方程求解即可得出答案．
【详解】
解：（1）点(2，0)的“2系置换点”的坐标为，即；
（2）由题意得：

解得：
点A的坐标为：；
（3）
点为
即点B坐标为
，

为常数，且
．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法、绝对值方程，理解“系置换点”的定义并能运用是本题的关键．
二十一、解答题
21．（1）；（2）．
【分析】
（1）直接利用估算无理数的大小的方法分别得出答案；
（2）根据平方根和立方根的定义以及（1）结论，代入解答即可．
【详解】
（1）∵即，
∴的整数部分为3，小数部分为，
解析：（1）；（2）．
【分析】
（1）直接利用估算无理数的大小的方法分别得出答案；
（2）根据平方根和立方根的定义以及（1）结论，代入解答即可．
【详解】
（1）∵即，
∴的整数部分为3，小数部分为，
∴的小数部分为；
（2）∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，
∴，，，
∴，，，
∴，
的平方根是．
【点睛】
本题考查了立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
二十二、解答题
22．（1）4米 （2）见解析
【分析】
（1）根据正方形边长与面积间的关系求解即可；
（2）设长方形的长宽分别为米、米，由其面积可得x值，比较长方形的长和宽与正方形边长的大小可得结论.
【详解】
解
解析：（1）4米 （2）见解析
【分析】
（1）根据正方形边长与面积间的关系求解即可；
（2）设长方形的长宽分别为米、米，由其面积可得x值，比较长方形的长和宽与正方形边长的大小可得结论.
【详解】
解：（1）正方形的面积是16平方米，
正方形钢板的边长是米；
（2）设长方形的长宽分别为米、米，
则，
，
，
，，
长方形长是米，而正方形的边长为4米，所以李师傅不能办到.
【点睛】
本题考查了算术平方根的实际应用，灵活的利用算术平方根表示正方形和长方形的边长是解题的关键.
二十三、解答题
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）40°
【分析】
（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；
（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）40°
【分析】
（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；
（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【详解】
证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，
∴∠AFE＝∠AGH，
∴EF∥GH，
∴∠FEH+∠H＝180°，
∵FE⊥HE，
∴∠FEH＝90°，
∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，
∴HG⊥HE；
（2）过点M作MQ∥AB，

∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
过点H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∵GM平分∠HGB，
∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH，
∵EM平分∠HED，
∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED，
∵MQ∥AB，
∴∠BGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，
∵HP∥AB，
∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），
∴∠GHE＝∠2GME；
（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，

由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，
由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣10x，
∵FK平分∠AFE，
∴∠AFK＝∠KFE＝ ∠AFE，
即，
解得：x＝5°，
∴∠BGH＝10x＝50°，
∵HP∥AB，HP∥CD，
∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，
∵∠GHE＝90°，
∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，
∴∠HED＝40°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线是解题的关键．
二十四、解答题
24．（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析
【分析】
（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．
（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠N
解析：（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析
【分析】
（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．
（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．
（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．
【详解】
解：（1）如图，作CP//a，

∵a//b，CP//a，
∴CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，
∴∠BCP=180°-∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，
∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．
（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：
如图，作CP//a，则CP//a//b，

∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，
∵∠NEF+∠CEF=180°，
∴∠BCP=∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+∠NEF=90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，

∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,
∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，
∴∠GOP=135°-∠POQ，
∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．
如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，

∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，
∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．
【点睛】
本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．
二十五、解答题
25．∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α – β，理由见解析.
【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠C
解析：∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α – β，理由见解析.
【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【问题探究】解：∠DPC=α+β
如图，

过P作PH∥DF
∵DF∥CE,
∴∠PCE=∠1=α， ∠PDF=∠2
∵∠DPC=∠2+∠1=α+β
【问题迁移】（1）70

（图1） （ 图2）
(2) 如图1，∠DPC=β -α
∵DF∥CE,
∴∠PCE=∠1=β，
∵∠DPC=∠1-∠FDP=∠1-α．
∴∠DPC=β -α
如图2，∠DPC= α -β
∵DF∥CE,
∴∠PDF=∠1=α
∵∠DPC=∠1-∠ACE=∠1-β．
∴∠DPC=α - β