1、人教版八年级上学期压轴题强化数学检测试卷(一)2已知ABC是等边三角形,ADE的顶点D在边BC上(1)如图1,若ADDE,AED60,求ACE的度数;(2)如图2,若点D为BC的中点,AEAC,EAC90,连CE,求证:CE2BF;(3)如图3,若点D为BC的一动点,AED90,ADE30,已知ABC的面积为4,当点D在BC上运动时,ABE的面积是否发生变化?若不变,请求出其面积;若变化请说明理由2如图1,在平面直角坐标系中,直线AB分别交y轴、x轴于点A(0,a),点B(b,0),且a、b满足a2-4a+4+0(1)求a,b的值;(2)以AB为边作RtABC,点C在直线AB的右侧,且ACB4
2、5,求点C的坐标;(3)若(2)的点C在第四象限(如图2),AC与 x轴交于点D,BC与y轴交于点E,连接 DE,过点C作CFBC交x轴于点F求证:CF=BC;直接写出点C到DE的距离3如图,ABC 中,AB=AC=BC,BDC=120且BD=DC,现以D为顶点作一个60角,使角两边分别交AB,AC边所在直线于M,N两点,连接MN,探究线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明(1)如图1,若MDN的两边分别交AB,AC边于M,N两点猜想:BM+NC=MN延长AC到点E,使CE=BM,连接DE,再证明两次三角形全等可证请你按照该思路写出完整的证明过程;(2)如图2,若点M、N分别是AB、CA的
3、延长线上的一点,其它条件不变,再探究线段BM,MN,NC之间的关系,请直接写出你的猜想(不用证明)4以点为顶点作等腰,等腰,其中,如图1所示放置,使得一直角边重合,连接、(1)试判断、的数量关系,并说明理由;(2)延长交于点试求的度数;(3)把两个等腰直角三角形按如图2放置,(1)、(2)中的结论是否仍成立?请说明理由5如图,在平面直角坐标系中,点A(0,3),B(,0),AB =6,作DBO=ABO,点H为y轴上的点,CAH=BAO,BD交y轴于点E,直线DO交AC于点C(1)证明:ABE为等边三角形;(2)若CDAB于点F,求线段CD的长;(3)动点P从A出发,沿AOB路线运动,速度为1个
4、单位长度每秒,到B点处停止运动;动点Q从B出发,沿BOA路线运动,速度为2个单位长度每秒,到A点处停止运动两点同时开始运动,都要到达相应的终点才能停止在某时刻,作PMCD于点M,QNCD于点N问两动点运动多长时间时OPM与OQN全等?6在等腰三角形ABC中,ABAC,点D是AC上一动点,在BD的延长线上取一点E满足:AEAB;AF平分CAE交BE于点F(1)如图1,连CF,求证:ACFAEF(2)如图2,当ABC60时,线段AF,EF,BF之间存在某种数量关系,写出你的结论并加以证明(3)如图3,当ACB45时,且AEBC,若EF3,请直接写出线段BD的长是 (只填写结果)7如图,等边中,点在
5、上,延长到,使,连,过点作与点(1)如图1,若点是中点,求证:;(2)如图2,若点是边上任意一点,的结论是否仍成立?请证明你的结论;(3)如图3,若点是延长线上任意一点,其他条件不变,的结论是否仍成立?画出图并证明你的结论8背景角的平分线是常见的几何模型,利用轴对称构造三角形全等可解决有关问题问题在四边形ABDE中,C是BD边的中点(1)如图1,若AC平分BAE,ACE90,则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为_;(直接写出答案)(2)如图2,AC平分BAE,EC平分AED,若ACE120,则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系?写出结论并证明;(3)如图3,若ACE12
6、0,AB4,DE9,BD12,则AE的最大值是_(直接写出答案)【参考答案】2(1)60;(2)见解析;(3)不变,【分析】(1)由题意,先证ADE是等边三角形,再证BADCAE,得ACE=B=60;(2)由题意,先求出BEC=30,然后求出CF解析:(1)60;(2)见解析;(3)不变,【分析】(1)由题意,先证ADE是等边三角形,再证BADCAE,得ACE=B=60;(2)由题意,先求出BEC=30,然后求出CFE=90,利用直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半,即可得证;(3)延长AE至F,使EF=AE,连DF、CF,先证明ADF是等边三角形,然后证明EGFEHA,结合HG是定值
7、,即可得到答案【详解】解:(1)根据题意,ADDE,AED60,ADE是等边三角形,AD=AE,DAE=60,AB=AC,BAC=60,即,BADCAE,ACE=B=60;(2)连CF,如图:AB=AC=AE,AEB=ABE,BAC=60,EAC=90,BAE=150,AEB=ABE=15;ACE是等腰直角三角形,AEC=45,BEC=30,EBC=45,AD垂直平分BC,点F在AD上,CF=BF,FCB=EBC=45,CFE=90,在直角CEF中,CFE=90,CEF=30,CE=2CF=2BF;(3)延长AE至F,使EF=AE,连DF、CF,如图:AED90,EF=AE,DE是中线,也是高
8、,ADF是等腰三角形,ADE30,DAE=60,ADF是等边三角形;由(1)同理可求ACF=ABC=60,ACF=BAC=60,CFAB,过E作EGCF于G,延长GE交BA的延长线于点H,易证EGFEHA,EH=EG=HG,HG是两平行线之间的距离,是定值,SABESABC;【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,垂直平分线的性质,全等三角形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确的作出辅助线,从而进行解题3(1)a2,b-1;(2)满足条件的点C(2,1)或(1,-1);(3)证明见解析;1【分析】(1)可得(a2)2+0,由
9、非负数的性质可得出答案;(2)分两种情况:BAC=9解析:(1)a2,b-1;(2)满足条件的点C(2,1)或(1,-1);(3)证明见解析;1【分析】(1)可得(a2)2+0,由非负数的性质可得出答案;(2)分两种情况:BAC=90或ABC=90,根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质可求出点C的坐标;(3)如图3,过点C作CLy轴于点L,则CL=1=BO,根据AAS可证明BOECLE,得出BE=CE,根据ASA可证明ABEBCF,得出BE=CF,则结论得证;如图4,过点C作CKED于点K,过点C作CHDF于点H,根据SAS可证明CDECDF,可得BAE=CBF,由角平分线的性质可得CK
10、=CH=1【详解】(1)a24a+4+0,(a2)2+0,(a-2)20,0,a-2=0,2b+2=0,a=2,b=-1;(2)由(1)知a=2,b=-1,A(0,2),B(-1,0),OA=2,OB=1,ABC是直角三角形,且ACB=45,只有BAC=90或ABC=90,、当BAC=90时,如图1,ACB=ABC=45,AB=CB,过点C作CGOA于G,CAG+ACG=90,BAO+CAG=90,BAO=ACG,在AOB和BCP中, ,AOBCGA(AAS),CG=OA=2,AG=OB=1,OG=OA-AG=1,C(2,1),、当ABC=90时,如图2,同的方法得,C(1,-1);即:满足条
11、件的点C(2,1)或(1,-1)(3)如图3,由(2)知点C(1,-1),过点C作CLy轴于点L,则CL=1=BO,在BOE和CLE中,BOECLE(AAS),BE=CE,ABC=90,BAO+BEA=90,BOE=90,CBF+BEA=90,BAE=CBF,在ABE和BCF中,ABEBCF(ASA),BE=CF,CFBC;点C到DE的距离为1如图4,过点C作CKED于点K,过点C作CHDF于点H,由知BE=CF,BE=BC,CE=CF,ACB=45,BCF=90,ECD=DCF,DC=DC,CDECDF(SAS),BAE=CBF,CK=CH=1【点睛】此题考查三角形综合题,非负数的性质,等腰
12、直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,坐标与图形的性质,等腰三角形的性质,点到直线的距离,角平分线的性质,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题4(1)过程见解析;(2)MN= NCBM【分析】(1)延长AC至E,使得CE=BM并连接DE,根据BDC为等腰三角形,ABC为等边三角形,可以证得MBDECD,可得MD=DE,B解析:(1)过程见解析;(2)MN= NCBM【分析】(1)延长AC至E,使得CE=BM并连接DE,根据BDC为等腰三角形,ABC为等边三角形,可以证得MBDECD,可得MD=DE,BDM=CDE,再根据MDN =60,BDC=120,可证MDN =
13、NDE=60,得出DMNDEN,进而得到MN=BM+NC(2)在CA上截取CE=BM,利用(1)中的证明方法,先证BMDCED(SAS),再证MDNEDN(SAS),即可得出结论【详解】解:(1)如图示,延长AC至E,使得CE=BM,并连接DEBDC为等腰三角形,ABC为等边三角形,BD=CD,DBC=DCB,MBC=ACB=60,又BD=DC,且BDC=120,DBC=DCB=30ABC+DBC=ACB+DCB=60+30=90,MBD=ECD=90,在MBD与ECD中, ,MBDECD(SAS),MD=DE,BDM=CDEMDN =60,BDC=120,CDE+NDC =BDM+NDC=1
14、20-60=60,即:MDN =NDE=60,在DMN与DEN中, ,DMNDEN(SAS),MN=NE=CE+NC=BM+NC(2)如图中,结论:MN=NCBM理由:在CA上截取CE=BMABC是正三角形,ACB=ABC=60,又BD=CD,BDC=120,BCD=CBD=30,MBD=DCE=90,在BMD和CED中 ,BMDCED(SAS),DM= DE,BDM=CDEMDN =60,BDC=120,NDE=BDC-(BDN+CDE)=BDC-(BDN+BDM)=BDC-MDN=120-60=60,即:MDN =NDE=60,在MDN和EDN中 ,MDNEDN(SAS),MN =NE=N
15、CCE=NCBM【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题5(1)BD=CE,理由见解析;(2)90;(3)成立,理由见解析.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC,BAD=EAC=90,AD=AE,利用“SAS”可证明ADB解析:(1)BD=CE,理由见解析;(2)90;(3)成立,理由见解析.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC,BAD=EAC=90,AD=AE,利用“SAS”可证明ADBAEC,则BD=CE;(2)由ADBAEC得到ACE=DBA,利用三角形内角和
16、定理可得到BFC=180-ACE-CDF=180-DBA-BDA=DAB=90;(3)与(1)一样可证明ADBAEC,得到BD=CE,ACE=DBA,利用三角形内角和定理得到BFC=DAB=90【详解】(1)ABC、ADE是等腰直角三角形,AB=AC,BAD=EAC=90,AD=AE,在ADB和AEC中,ADBAEC(SAS),BD=CE;(2)ADBAEC,ACE=ABD,而在CDF中,BFC=180-ACE-CDF,又CDF=BDA,BFC=180-DBA-BDA=DAB=90;(3)BD=CE成立,且两线段所在直线互相垂直,即BFC=90理由如下:ABC、ADE是等腰直角三角形,AB=A
17、C,AD=AE,BAC=EAD=90,BAC+CAD=EAD+CAD,BAD=CAE,在ADB和AEC中,ADBAEC(SAS),BD=CE,ACE=DBA,BFC=DAB=90【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质.判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”,熟知判定方法并根据题目条件选择合适的方法进行解答6(1)详见解析;(2)CD=;(3)当两动点运动时间为、6秒时,OPM与OQN全等.【分析】(1)先证AOBEOB得到AE=BE=AB,从而可以得出结论;(2)由(1)知ABE解析:(1)详见解析;(2)CD=;(3)当两动点运动时间为、6秒时,OPM与OQN全
18、等.【分析】(1)先证AOBEOB得到AE=BE=AB,从而可以得出结论;(2)由(1)知ABE=BEA=EAB=60,进而得出AOF=30,利用含30角的直角三角形的性质得到AF、OF的长再证明ACF=AOF=30,D=30,同理得出CF、DF的长,进而可得出结论(3)设运动的时间为t秒然后分四种情况讨论:当点P、Q分别在y轴、x轴上时,;当点P、Q都在y轴上时,;当点P在x轴上,Q在y轴且二者都没有提前停止时,;当点P在x轴上,Q在y轴且点Q提前停止时,列方程求解即可【详解】(1)在AOB与EOB中,AOB=EOB,OB=OB,EBO=ABO,AOBEOB (ASA),AO=EO=3,BE
19、=AB=6,AE=BE=AB=6,ABE为等边三角形(2)由(1)知ABE=BEA=EAB=60CDAB,AOF=30,AF=在RtAOF中,OF=CAH=BAO =60,CAF =60,ACF=AOF=30,AO=AC又CDAB,CF=AB=6,AF=,BF=在RtBDF中,DBF =60,D=30,BD=由勾股定理得:DF=,CD=(3)设运动的时间为t秒当点P、Q分别在y轴、x轴上时,PO=QO得:,解得:(秒);当点P、Q都在y轴上时,PO=QO得:,解得(秒);当点P在x轴上,Q在y轴且二者都没有提前停止时,则PO=QO,得:,解得:,不合题意,舍去当点P在x轴上,Q在y轴且点Q提前
20、停止时,有,解得:(秒)综上所述:当两动点运动时间为、6秒时,OPM与OQN全等【点睛】本题考查了全等三角形的判定、含30角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质,坐标与图形的性质正确分类讨论是解题的关键7(1)证明见解析(2),证明见解析(3)6【分析】(1)由角平分线的定义可知,再根据等量代换得出AC =AE,由此可直接利用“SAS”证明;(2)在BE上截取BM=CF,连接AM由解析:(1)证明见解析(2),证明见解析(3)6【分析】(1)由角平分线的定义可知,再根据等量代换得出AC =AE,由此可直接利用“SAS”证明;(2)在BE上截取BM=CF,连接AM由所作辅助线易证,得出,由
21、题意易判断为等边三角形,即可求出,即说明为等边三角形,得出,由此即得出;(3)延长BA,CF交于点N由题意可知为等腰直角三角形,即,根据平行线的性质和等边对等角即得出BE为的角平分线,从而可求出,进而可求出由角平分线的性质可得出,从而可求出又易证,即得出(1)AF平分CAE,AB=AC,AB=AE,AC =AE又AF=AF,(2)证明:,如图,在BE上截取BM=CF,连接AM在和中,为等边三角形,即,为等边三角形,即AF,EF,BF之间存在的关系为:;(3)如图,延长BA,CF交于点N,为等腰直角三角形,AEBC,由(1)可知,即为的角平分线,即在和中,故答案为:6【点睛】本题为三角形综合题,
22、考查等边三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,三角形全等的判定和性质,角平分线的定义和性质,平行线的性质以及三角形内角和定理,综合性强,较难解题关键是学会添加常用的辅助线,构造全等三角形解决问题8(1)见解析;见解析(2)成立,见解析(3)成立,见解析【分析】(1)证明,推出,利用等腰三角形的性质,可得结论;(2) 仍然成立,过点D作DM/BC交AC于M,证明,可得结论解析:(1)见解析;见解析(2)成立,见解析(3)成立,见解析【分析】(1)证明,推出,利用等腰三角形的性质,可得结论;(2) 仍然成立,过点D作DM/BC交AC于M,证明,可得结论;(3)结论仍然成立,过点D作DM/
23、BC交AC于M,证明,可得结论(1)证明:如图为等边三角形,又为中点, , ,;,为等腰三角形,(2)仍然成立,理由如下:如图,过点D作DM/BC交AC于M为等边三角形,为等边三角形,在和中, ,而,(3)的结论仍然成立,理由如下:如图为所求作图作交的延长线于,易证为等边三角形,而,在和中,【点睛】本题属于三角形的综合题,考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,解题的关键是学会添加适当的辅助线,构造全等三角形解决问题9(1)AE=AB+DE(2)AE=AB+DE+BD(3)【分析】(1)在AE上取一点F,使AF=AB,及可以得出ACBACF,就可以得出BC=FC,ACB=ACF,就可以
24、得出解析:(1)AE=AB+DE(2)AE=AB+DE+BD(3)【分析】(1)在AE上取一点F,使AF=AB,及可以得出ACBACF,就可以得出BC=FC,ACB=ACF,就可以得出CEFCED就可以得出结论;(3)在AE上取点F,使AF=AB,连接CF,在AE上取点G,使EG=ED,连接CG可以求得CF=CG,CFG是等边三角形,就有FG=CG=BD,进而得出结论;(3)作B关于AC的对称点F,D关于EC的对称点G,连接AF,FC,CG,EG,FG根据两点之间线段最短解决问题即可(1)AE=AB+DE;理由:在AE上取一点F,使AF=AB,AC平分BAE,BAC=FAC在ACB和ACF中,
25、ACBACF(SAS),BC=FC,ACB=ACFC是BD边的中点BC=CD,CF=CDACE=90,ACB+DCE=90,ACF+ECF=90ECF=ECD在CEF和CED中,CEFCED(SAS),EF=EDAE=AF+EF,AE=AB+DE,故答案为:AE=AB+DE;(2)猜想:AE=AB+DE+BD证明:在AE上取点F,使AF=AB,连接CF,在AE上取点G,使EG=ED,连接CGC是BD边的中点,CB=CD=BDAC平分BAE,BAC=FAC在ACB和ACF中, ACBACF(SAS),CF=CB,BCA=FCA同理可证:CD=CG,DCE=GCECB=CD,CG=CFACE=12
26、0,BCA+DCE=180-120=60FCA+GCE=60FCG=60FGC是等边三角形FG=FC=BDAE=AF+EG+FGAE=AB+DE+BD(3)作B关于AC的对称点F,D关于EC的对称点G,连接AF,FC,CG,EG,FG,如图所示:C是BD边的中点,CB=CD=BD=,ACBACF(SAS),CF=CB=,BCA=FCA,同理可证:CD=CG=,DCE=GCE,CB=CD,CG=CF,ACE=120,BCA+DCE=180-120=60,FCA+GCE=60,FCG=60,FGC是等边三角形,FC=CG=FG=,AEAF+FG+EG,当A、F、G、E共线时AE的值最大,最大值为故答案为:【点睛】本题考查了四边形的综合题,角平分线的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,等边三角形的性质的运用,勾股定理的运用,解答时证明三角形全等是关键