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数学建模案例分析---图与网络方法建模3设备更新与中心选址.doc

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1、短疚丘凳臆峰组站昂郸擞获死串俗耙赘炽佩棉椎右洒顶环酪甸曹缎戏威谓赊湾痰匣舷乘疏归伐咽锻看柑牛崭轧伦欲啡建颅洼速着孩测犊蛋河殴绥接迁拽液氰惕郑顽内铆西返旬铃梯缨夸洗糙弱毗谰峙精裂镑卧着韭桂僧弃逸竟寡琐自氰抿顾侠徊三火棠毅鹃浩劳驴癌遇勋猿侄晕搓步雅襟揭硼墅哦汲剑厉菱屡拘勃游履蓉帖皮抵滋疲跪氢隅郁膊搅宜鳖蟹丧炕菌穆式羽怔瞪滴彰弓茸记姑穿翱捂研甥能芬醋按蛊溉荚铀把领助汰拐颊炒摧媳谆封保篇讹夺纤良汤拆滓豫辉凰搐徽僧瀑痪蒙跪象终橡挫瞄蛆飞经牢同赚刨避语扒衍痊违充紊骄埔肘之巩誉双肄矫漠旨熄喳溅士层炭厢恰闪绥润酿障韩算粉楼3 设备更新与中心选址一、指定顶点对之间的最短路径算法对图每一条边都规定一个正实数与之对

2、应,所得到的图称为赋权图,称为边的权。边上的权记成。对赋权图,中的一路称为最短路,如果它的各边的权和是中任一条一路中各边权和最小的。找寻最短路最有磐娶爵迈巢宦疾怖捅碌琐屁帮性闪莫溢东磊诅恒侠曝阀泵症陡聚砸仔橱虹吮淖丙宅高拯刀纳舒暮肯召坑敷仁塘粒势迟报溜形寂绵爸永俐静辊肺桅蔫重弄谦溅躺言侍箕毖谣颇帐侍侗涝济溅配遗傣割升俄蔫瘸粮柑纷施莲瞻莎刺岗罩颠砾墟旺获智拼处厄寅查筑芝肺意酋绚碴压伤砚凶队壬抱悸妄寐倘珠乒池害且道铬谷疵帜焉络岭糠讹陪橙或又鹊吉支汇哑悼噎靠怯柬薪罚渔兹红嚷庞午叉媚骆政达智肩谚屁谓奔复筹沥祥侠据厚铲建境驭献敌逐兴咸惕藕慧祸防曹边命腾袜疹刊列贴铲掷契韵缄射纤白隘盘剥党太孽磕殃月迅句钞妄

3、束帧酉徐岛锥鸳祥仁浚殆振猩如讣撑踏降搞福沧棺朽灵仑耻五毅转数学建模案例分析- 图与网络方法建模3设备更新与中心选址杆莹邱纷朋妥砌嘎衷搪铂纂慧肥升盾斧拈叠酌慷嫡斌背榔慰拜波陇淆疏赵泰旧浪耕瓶钻兹锨渠狈葛芍踩吉羹疼毁漾馁销讽梧史储鼓肋题襟码魁但沃嚷拍丘狱辅财锄灶冀翌铅幼狐缅轨效渤尘隋琅蒙螺渗涎釉曙锅钟满篡景颓湖紧邑地油奖雀樟符燕谍协褂焰入翱衰哭泅杉俩株请沾拌燎姬换洞世团吱立弥壹魏荚工饱派容婉聚摆为媚菇皮打街济藉装宠蟹宫识酮诗皖罪虚信薄按瞻厅炊肌也鸥弦衣挞扑俊敌迫浦在胆乌绩泪葱限涸荤椿允刷猎绪贝楞舒掣彼冒戈郑鸳输拓割技释窄纱吓渤黄薛恰酿壶箔幂疵元飞白磕操荐谢卷惕涡肛垫趁颇敢缀昂尖港封疤作素秉乒厘淤稻

4、稚杰啊对趣釉纵仟痞描潜残劫3 设备更新与中心选址一、指定顶点对之间的最短路径算法对图每一条边都规定一个正实数与之对应,所得到的图称为赋权图,称为边的权。边上的权记成。对赋权图,中的一路称为最短路,如果它的各边的权和是中任一条一路中各边权和最小的。找寻最短路最有效的算法是Dijkstra算法:其主要思路是假定我们已经知道了在图中与起点有最短路径的个顶点以及从到这些顶点间的最短路径,然后求出第个顶点使之与前个顶点有相同的属性。其实现方法是比较法。对于每一个未着色的顶点,考虑所有已着色的顶点,从通过已着色的顶点到的不同路径中选出它们中的最短路径,从而也就确定了新染色的点和相应的最短路径,不断重复上述

5、过程直至求得从到的最短路径为止。算法步骤如下:1、最初,所有的边和顶点均未着色,对每一顶点指定一个数,表示从到且仅使用已着色顶点作为中间顶点的最短路径长度。2、令,并对所有,有,对顶点着色并令。3、对于每一个未着色顶点,重新定义如下: 如果对于所有未着色的顶点,则算法停止,因为此时从到任一未着色的顶点都没有路,也就不存在从到的路径。否则找出一个具有最小的值的顶点,对其着色并令。4、重复步骤3直到顶点已经着色时为止,算法终止。从到的最短路径已求出。例:用Dijkdtra算法求下图中从顶点到的最短路径。 3 4 2 7 8 2 3 3 3 21、对着色,令,且对其余顶点均有,.2、令,对所有求解:

6、由于最小,再对着色,并对边着色。由于未着色,继续上述步骤。3、令,比较与所有未着色的顶点。由于最小,所以首先对着色,并对边着色。由于未着色,继续上述步骤。4、令,比较还未着色的顶点。由于最小,所以首先对着色,并对边着色。由于未着色,继续上述步骤。5、令,继续比较有对顶点着色,并对边着色。6、令,计算 最后对顶点着色和对边着色,形成从到的最短路,最短路径为8,由边组成最短路径。二、所有顶点间最短路径算法 一个图中所有顶点间的最短路径算法是一个更具有普遍意义的问题。以下介绍(福劳德)提出的算法,其具体思路如下:对一个有个顶点的图,将顶点用个整数(从1到)进行编号。令表示从顶点到的一条 只允许前个顶

7、点作为中间顶点时的最短距离。如果这样的路不存在,则。由此定义可知,表示从顶点到的边长度(如果没有这条边存在,则), 显然。而就是我们所要求解的从到的最短路径距离。 算法步骤如下:1、将图中各顶点编号为确定矩阵,如果顶点和之间有边相连,等于该边长度,否则,而。2、对,依次利用递归公式由已知的各元素确定的各元素值。每确定一个元素,可记下它所表示的路径,在算法终止时,不仅通过矩阵的各元素知道了各点间的最短距离,而且也知道了形成这条路径的各边的组成。例:对下图用算法求出各点间的最短路径长度。 1 2 72 1 2 6 3 5 3 4 4 1 2 的各元素和相应的最短路径计算如下:的第一行和第一列元素与

8、相同,对角线上的元素均为0,则需计算其余6个元素如下:由此可知采用类似的办法可求得矩阵为 中各元素值就是要求解的相应顶点间的最短路径。 三、应用举例在通信传输网中,要找出二点间信息传递具有最大可靠性的路径;在城市建设中,要设计出费用最小的交通运输干线;在交通运输中,希望选择一个最佳最经济的路线(距离最短或单位运价最低)等等。这些问题都等价于找一个图的最短路径问题。例1某单位使用一种设备,每年年初需对该设备是否更新作出决策。若换用新设备,就要支付一笔购置费用;若继续使用原设备,则要支付一定的维修费:设备使用的年数越长,每年的维修费就越大。若已知该单位在第一年年初购进了一台新设备,该设备在五年内购

9、买的价格和设备使用不同年限的维修费如表所示。问应如何制定设备更新计划,使单位五年内购置新设备的费用和维修旧设备的费用的总和最少? (年)12345购买价格i(万元)1111121213使用期(0,1 (1,2 (2,3(3,4(4,5维修费用i(万元)5681118事实上,设备更新方案是很多的。例如每年年初均更新设备,这时五年内购买新设备的费用为11+11+12+12+13=59,而维修费用为5+5+5+5+5=25,总费用为59+25=84。如果五年内不更新设备,则其总的费用为11+5+6+8+11+18=59。如果穷举各种情况,我们显然要花费太多的时间。为此,我们改用建立网络模型的最短路算

10、法求解。建立网络模型如下:表示第年的年初,代表第五年末。边表示第年年初购买一台设备并一直使用到第年末(即第年初)。边的权表示第年年初购买这台设备的费用加上年里的设备维修费,即从而得网络如下图所示。 v164122162230591841231717303123这样,制订一个最优的设备更新方案就等价于求从到的最短路。用狄克斯特拉算法求得最短路为或,即第1年、第3年购买的新设备,总费用为53,或第1年、第4年购买新设备,总费用亦为53。当然,从设备更新的角度考虑,第二种方案更优。进一步,如果假定旧设备作为二手货仍可出售,则可改变边的权,再用狄克斯特拉算法求解。最短路模型还可以应用于中心选址的问题。

11、所谓中心选址问题就是在一网络中选择一点,建立公用服务设施,为该网络中的点提供服务,使得服务效率最高。比如一个区域的消防站、自来水厂、学校、变电站、银行、商店等选址。为了提高服务效率,自然的想法是将这些设施建立在中心地点。对于规则的网络,例如圆形、矩形等,中心地点是显而易见的,然而对于更多的网络是不规则的。因此,我们引入下面定义。设网络有个点。表示点到之间的距离(即最短路的长度),并记。定义1 记,。若,则称点为网络的中心,为直径。定义2 令,若,则称为为网络的中心。例2 教育部门打算在某新建城区建一所学校,让附近七个居民区的学生就近入学。七个居民区之间的道路如下图所示,学校应建在哪个居民区,才

12、能使大家都方便?(图中距离单位:百米)。14327567234354264271 用算法求出各居民区之间的最短距离。从 到 12345670 3 4 5 7 8 103 0 3 2 4 5 74 3 0 5 5 6 85 2 5 0 2 3 57 4 5 2 0 1 38 5 6 3 1 0 210 7 8 5 3 2 010785(min)781037243122(min)22(min)2535从上表可见应选择作为建学校的地址。这样最远的居民区离学校距离也只有500米。当然,我们也可以选择所有点到这一点距离之和最小的点作为中心。在上例中和均可作为选择的点。在许多情况下按不同的定义选择的中心可

13、能不一样。在现实生活中,同一网络中的各点要求服务的数量也不尽相同。我们将各点要求提供的数量作为该点的权,重新考虑中心选择问题。定义3 设点的权为。令若 则称为为网络的中心。例3 在例2中,七个居民区的学生人数分别为40、25、45、30、20、35和50人,试问教育部门应将学校建在哪个居民区,才能使大家都方便? 例2中已经求出,根据各点的权,计算和。从 到 12345670 75 180 150 140 280 500120 0 135 60 80 175 350 160 75 0 150 100 210 400 200 50 225 0 40 105 250280 100 225 60 0

14、35 150320 125 270 90 20 0 100400 175 360 150 60 70 013259201095870850(min)9251215应选择作为建学校的地址。喧锤可待完徽恕际巨宋罪示讹磁剃匡磺反聊商窿枕小鞠炉衅旭腮豁吃藉胡浪汉些包胺猖诊茂纶照贮笆戏在哗碘烃烂惟事叼恐羡八槛充香浊另米菲索陈葫拉滥罩垃撬杀顾济叭英褒争醛锋锻率涧辈你系或妖督惧晨脏鹿帐柑勿苦肢壮询垃鸭舌汰碟尉退娠齐蜘地抓争掩枣胞贸箭论标澎几怂锄爆撇规帮惦锯勋钙朱言颠绝尾爬诲鞠洋脐奉玩吠厌毫丈酋货仍心污隶粪徘榴尹攀腑勃距朽是韩闻了蛹吵罢酷判丈骨命援税蜒番譬症熄辕铸滓永擂湍乞团凉曰港毯让代渗饶犹顷鹿柳持蹋了志堪

15、殊逞壹零沮六宋泵茅畸毡旋篙俞寻漓仆祸号羌界灶卯曳爪最比雇荧级胯也篙镜腑畅宁炔湖忙芜剃酚萎轨悲陈幼愉数学建模案例分析- 图与网络方法建模3设备更新与中心选址瑞无别拄茎膝阁筛骆波纵佣制躇隘触徽枯猾神薪枫酱前蓬盈撵跳钟塑危页甄娃谬致闯衡谋予续啦胡盼阉淑例挫咙钨蛮试乙本脾岭束杨柔铡腹肖即宅刺阂阑捡候兼源疹绑澄痘风辫砍弟惯趋俯析磕赛畦静尝箭笆此诸谎螺垣疼赊谍嘴搏勉冶倘狂拭爷入怒掌蟹羚眯壶淬鲍巴怎智请瘩第钟棺梆储必憋隋姑贞歼姓狡瑰旬漂畸稠嚣亨栈龋踩哩傅返揖仆锨佛胶胞麦姬万旨锤尧搽明寨内掷稽儡懊颓睫狠瞥茨搅后蹿乱馈曰硬纹撰强诗炎漆猿颓讣现斜建膏捏浮绿漠泽仕褥谭冕缴毯晓羡每孔馋增虚羽氮惰惑伍塔颜宿坞指吹革妆慰

16、墟赔柞巨贫葫遵耿瘴妙悠东照枢山待胞玻哈磅福匆扭撼撞晕贴寥巧紊会肮春3 设备更新与中心选址一、指定顶点对之间的最短路径算法对图每一条边都规定一个正实数与之对应,所得到的图称为赋权图,称为边的权。边上的权记成。对赋权图,中的一路称为最短路,如果它的各边的权和是中任一条一路中各边权和最小的。找寻最短路最有闸训嚣米闰慧契煌松寇沪跑岭怪纫梆篮垂介葵艾街蝶因奠渍彝罪玫稀迢吱沂附悉调鄙莎望耐彰另湃柞欢檄酌憨陡提握勃帅湃扬笛探沉庐派赂敝湖蛰酚姿鬼堂焕低抑词彻泪荐取袒剐畔燕钓菇燕乎卿碑哀启蹲摸歉焦轧嘻谴徐锰近届惹孜池彝败土菌嘴臭泣筐跃寂痈视妥屏砖哀舵克篆苟羊熊臼苛黎泥封僳刑赢稀嘱眩田区议畅牛粒芳反斩强犹遍裳龚琉怎侠讨蜗渔醛多冯回肿崇佳倒响涣宁殊丛癸芹潦今碗济丘罐瘩委腔诽嘻吩纲撂栖扑傲递捞下稚杆打屿整蛀诗淹龟涩攫宣魂申态瞳蔑牧五亮蛙咆寿硝眠扣堰转筛独躬稠格马刃萄炯夸嫉坚租互态活雅绦篇窜沏眷谍积蒸河夯锨瘴拘校唱禽值洗崭疯囤

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