湖南省益阳六中2015-2016学年高一数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年湖南省益阳六中高一（上）期中数学试卷

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁UB={4，5，6}，则集合A∩B=( )
A．{1，2} B．{5} C．{1，2，3} D．{3，4，6}

2．下列四组函数中，为同一函数的一组是( )
A．f（x）=1与g（x）=x0 B．f（x）=与g（x）=x
C．f（x）=|﹣x|与g（x）= D．f（x）=与g（x）=x+1

3．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是( )
A．（1，2） B．（2，3） C．（1，） D．（e，+∞）

4．设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么( )
A．=+ B．=+ C．=+ D．=+

5．已知3a=2，那么log38﹣2log36用a表示是( )
A．a﹣2 B．5a﹣2 C．3a﹣（1+a）2 D．3a﹣a2

6．已知an=2，amn=16，则m的值为( )
A．3 B．4 C．a3 D．a6

7．已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则f（4）的值为( )
A．16 B．2 C． D．

8．A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，C={x|x=4k+1，k∈Z}，又a∈A，b∈B，则( )
A．a+b∈A B．a+b∈B
C．a+b∈C D．a+b∈A，B，C中的任一个

9．已知集A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，满足A⊊B，则( )
A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤2

10．设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
A． B． C． D．

11．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是( )
A．f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2） B．f（π）＞f（﹣2）＞f（﹣3） C．f（π）＜f（﹣3）＜f（﹣2） D．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）

12．若函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，则( )
A．函数f[g（x）]是奇函数 B．函数g[f（x）]是奇函数
C．函数f（x）•g（x）是奇函数 D．函数f（x）+g（x）是奇函数

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．函数y=ax﹣3+3恒过定点__________．

14．已知f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x（x+1）+2，则当x＞0时，f（x）=__________．

15．集合P={x|x2﹣3x+2=0}，Q={x|mx﹣1=0}，若P⊇Q，则实数m的值是__________．

16．设f（x）=ax5+bx3+cx﹣5（a，b，c是常数）且f（﹣7）=7，则f（7）=__________．

三.解答题（共70分）
17．判断下列各函数的奇偶性
（1）f（x）=|x+2|+|x﹣2|
（2）．

18．已知数集，数集Q={0，a+b，b2}，且P=Q，求a，b的值．

19．已知集合A={x|ax2+2x+1=0，x∈R}，a为实数．
（1）若A是空集，求a的取值范围
（2）若A是单元素集，求a的值．

20．已知，求下列各式的值：
（1）a+a﹣1；
（2）a2+a﹣2．

21．（13分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

22．（13分）设是R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判定f（x）在R上的单调性．

2015-2016学年湖南省益阳六中高一（上）期中数学试卷

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁UB={4，5，6}，则集合A∩B=( )
A．{1，2} B．{5} C．{1，2，3} D．{3，4，6}
【考点】交集及其运算．
【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5，6}，CUB={4，5，6}，可以求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，
又∵∁UB={4，5，6}，
∴B={1，2，3}，
∵A={1，2，5}，
∴A∩B={1，2}，
故选：A．
【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．

2．下列四组函数中，为同一函数的一组是( )
A．f（x）=1与g（x）=x0 B．f（x）=与g（x）=x
C．f（x）=|﹣x|与g（x）= D．f（x）=与g（x）=x+1
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
【解答】解：对于A，函数f（x）=1（x∈R），与函数g（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B，函数f（x）==|x|（x∈R），与函数g（x）=x（x∈R）的对应关系不同，所以不是同一函数；
对于C，函数f（x）=|﹣x|=|x|（x∈R），与函数g（x）==|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；
对于D，函数f（x）==x+1（x≠1），与函数g（x）=x+1（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数．
故选：C．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．

3．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是( )
A．（1，2） B．（2，3） C．（1，） D．（e，+∞）
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】直接通过零点存在性定理，结合定义域选择适当的数据进行逐一验证，并逐步缩小从而获得最佳解答．
【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．
又∵f（2）﹣ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0
∴f（2）•f（3）＜0，
∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3）．
故选：B．
【点评】本题考查的是零点存在的大致区间问题．在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、函数零点存在性定理的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．

4．设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么( )
A．=+ B．=+ C．=+ D．=+
【考点】指数函数综合题．
【专题】计算题．
【分析】利用与对数定义求出a、b、c代入到四个答案中判断出正确的即可．
【解答】解：由a，b，c都是正数，且3a=4b=6c=M，则a=log3M，b=log4M，c=log6M
代入到B中，左边===，
而右边==+==，
左边等于右边，B正确；
代入到A、C、D中不相等．
故选B．
【点评】考查学生利用对数定义解题的能力，以及换底公式的灵活运用能力．

5．已知3a=2，那么log38﹣2log36用a表示是( )
A．a﹣2 B．5a﹣2 C．3a﹣（1+a）2 D．3a﹣a2
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先表示出a=，结合对数的运算性质，从而得到答案．
【解答】解：∵3a=2，∴a=，
∴﹣2=3﹣2（+1）=3a﹣2（a+1）=a﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查了导数的运算，是一道基础题．

6．已知an=2，amn=16，则m的值为( )
A．3 B．4 C．a3 D．a6
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】根据指数幂的性质得（an）m=2m=16，解出即可．
【解答】解：∵（an）m=2m=16，
∴m=4，
故选：B．
【点评】本题考查了指数幂的化简问题，是一道基础题．

7．已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则f（4）的值为( )
A．16 B．2 C． D．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值即可．
【解答】解：设幂函数为y=xα，
∵幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），
∴=2α，
解得α=．y=x．
f（4）==．
故选：C．
【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，基本知识的考查．

8．A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，C={x|x=4k+1，k∈Z}，又a∈A，b∈B，则( )
A．a+b∈A B．a+b∈B
C．a+b∈C D．a+b∈A，B，C中的任一个
【考点】元素与集合关系的判断．
【专题】规律型．
【分析】利用集合元素和集合之间的关系，表示出a，b，然后进行判断即可．
【解答】解：∵a∈A，b∈B，∴设a=2k1，k1∈Z，b=2k2+1，k2∈Z，
则a+b=2k1+2k2+1=2（k1+k2）+1∈B．
故选B．
【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的判断，比较基础．

9．已知集A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，满足A⊊B，则( )
A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤2
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．
【分析】根据真子集的定义、以及A、B两个集合的范围，求出实数a的取值范围．
【解答】解：由于 集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，且满足A⊊B，
∴a≥2，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合间的关系，真子集的定义，属于基础题．

10．设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
A． B． C． D．
【考点】函数的概念及其构成要素．
【专题】计算题．
【分析】有函数的定义，集合M={x|0≤x≤2}中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应，结合图象得出结论．
【解答】解：从集合M到集合能构成函数关系时，对于集合M={x|0≤x≤2}中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应．
图象A不满足条件，因为当1＜x≤2时，N中没有y值与之对应．
图象B不满足条件，因为当x=2时，N中没有y值与之对应．
图象C不满足条件，因为对于集合M={x|0＜x≤2}中的每一个x值，在集合N中有2个y值与之对应，不满足函数的定义．
只有D中的图象满足对于集合M={x|0≤x≤2}中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应．
故选D．
【点评】本题主要考查函数的定义，函数的图象特征，属于基础题．

11．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是( )
A．f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2） B．f（π）＞f（﹣2）＞f（﹣3） C．f（π）＜f（﹣3）＜f（﹣2） D．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）
【考点】偶函数；函数单调性的性质．
【专题】计算题．
【分析】由偶函数的性质，知若x∈[0，+∞）时f（x）是增函数则x∈（﹣∞，0）时f（x）是减函数，此函数的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，故比较三式大小的问题，转化成比较三式中自变量﹣2，﹣3，π的绝对值大小的问题．
【解答】解：由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞）时f（x）是增函数则x∈（﹣∞，0）时f（x）是减函数，
故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，
∵|﹣2|＜|﹣3|＜π
∴f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2）
故选A．
【点评】本题考点是奇偶性与单调性的综合，对于偶函数，在对称的区间上其单调性相反，且自变量相反时函数值相同，将问题转化为比较自变量的绝对值的大小，做题时要注意此题转化的技巧．

12．若函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，则( )
A．函数f[g（x）]是奇函数 B．函数g[f（x）]是奇函数
C．函数f（x）•g（x）是奇函数 D．函数f（x）+g（x）是奇函数
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题．
【分析】令h（x）=f（x）．g（x），由已知可知f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），然后检验h（﹣x）与h（x）的关系即可判断
【解答】解：令h（x）=f（x）．g（x）
∵函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数
∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）
∴h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）．g（x）=﹣h（x）
∴h（x）=f（x）．g（x）是奇函数
故选C
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的性质的简单应用，属于基础试题

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．函数y=ax﹣3+3恒过定点（3，4）．
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】转化思想．
【分析】利用函数图象平移，找出指数函数的特殊点定点，平移后的图象的定点容易确定．
【解答】解：因为函数y=ax恒过（0，1），
而函数y=ax﹣3+3可以看作是函数y=ax向右平移3个单位，图象向上平移3个单位得到的，
所以y=ax﹣3+3恒过定点 （3，4）
故答案为：（3，4）
【点评】本题是基础题，利用函数图象的平移，确定函数图象过定点，是解决这类问题的常用方法，牢记基本函数的特殊性是解好题目的关键．

14．已知f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x（x+1）+2，则当x＞0时，f（x）=x（1﹣x）﹣2．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】由f（x）为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，f（x）=﹣f（﹣x）得到x＞0时，f（x）的解析式，综合可得答案．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x（x+1）+2，
∴当x＞0时，﹣x＜0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x（﹣x+1）+2]=x（1﹣x）﹣2，
故答案为：x（1﹣x）﹣2．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．

15．集合P={x|x2﹣3x+2=0}，Q={x|mx﹣1=0}，若P⊇Q，则实数m的值是{0，，1}．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；集合．
【分析】先解出集合P={2，1}，然后便讨论m：m=0时显然可以，m≠0时，要满足Q⊆P，显然=2或1，解出m，最后便可写出实数m的取值的集合．
【解答】解：P={2，1}，Q={x|mx=1}；
①m=0时，Q=∅，满足Q⊆P；
②m≠0时，要使Q⊆P，则=2或1；
∴m=或1
∴实数m的取值集合为{0，，1}．
故答案为：{0，，1}．
【点评】考查描述法表示集合，列举法表示集合，解一元二次方程，以及子集的定义，不要漏了m=0的情况．

16．设f（x）=ax5+bx3+cx﹣5（a，b，c是常数）且f（﹣7）=7，则f（7）=﹣17．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】根据已知可得f（x）+f（﹣x）=﹣10，结合f（﹣7）=7，可得答案．
【解答】解：∵f（x）=ax5+bx3+cx﹣5，
∴f（﹣x）=﹣ax5﹣bx3﹣cx﹣5，
∴f（x）+f（﹣x）=﹣10，
∵f（﹣7）=7，
∴f（7）=﹣17，
故答案为：﹣17．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．

三.解答题（共70分）
17．判断下列各函数的奇偶性
（1）f（x）=|x+2|+|x﹣2|
（2）．
【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】计算题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）（2）先求函数的定义域，再判定f（﹣x）与±f（x）的关系，即可得出．
【解答】解：（1）其定义域为R，关于原点对称，又f（﹣x）=|﹣x+2|+|﹣x﹣2|=|x﹣2|+|x+2|=f（x），因此函数f（x）是偶函数．
（2）由，解得x=±1，可得函数的定义域为{﹣1，1}．∴f（x）=0，因此函数f（x）既是奇函数又是偶函数．
【点评】本题考查了函数的奇偶性的判定方法、函数的定义域求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．已知数集，数集Q={0，a+b，b2}，且P=Q，求a，b的值．
【考点】集合的相等．
【专题】计算题；方程思想；定义法；集合．
【分析】由集合相等的概念，利用集合中元素的互异性和无序性能求出a，b的值．
【解答】解：∵数集，数集Q={0，a+b，b2}，且P=Q，
∴，∴a=0，b=±1，
当a=0，b=1时，Q={0，1，1}，不成立，
当a=0，b=﹣1时，P={1，0，﹣1}，Q={0，﹣1，1}，成立，
∴a=0，b=﹣1．
【点评】本题考查集合中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合相等的概念的合理运用．

19．已知集合A={x|ax2+2x+1=0，x∈R}，a为实数．
（1）若A是空集，求a的取值范围
（2）若A是单元素集，求a的值．
【考点】集合的表示法；函数的表示方法．
【专题】集合思想；综合法；函数的性质及应用；集合．
【分析】（1）解集是空集，即方程无解，所以判别式小于零；（2）分a=0与a≠0两种情况讨论即可．
【解答】解（1）若A=Φ，则只需ax2+2x+1=0无实数解，显然a≠0，所以只需△=4﹣4a＜0，即a＞1即可．
（2）当a=0时，原方程化为2x+1=0解得x=﹣；当a≠0时，只需△=4﹣4a=0，即a=1，故所求a的值为0或1．
【点评】本题以集合为载体，考查了一元二次方程的解得个数的判断问题，要注意对最高次数项是否为零的讨论．

20．已知，求下列各式的值：
（1）a+a﹣1；
（2）a2+a﹣2．
【考点】有理数指数幂的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）由，知=a+a﹣1+2=9，由此能求出a+a﹣1．
（2）由a+a﹣1=7，知（a+a﹣1）2=a2+a﹣2+2=49，由此能求出a2+a﹣2．
【解答】解：（1）∵，
∴=a+a﹣1+2=9，
∴a+a﹣1=7；
（2）∵a+a﹣1=7，
∴（a+a﹣1）2=a2+a﹣2+2=49，
∴a2+a﹣2=47．
【点评】本题考查有理数指数幂的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

21．（13分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【考点】根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；
（Ⅱ）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论．
【解答】解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，
未租出的车辆数为，
所以这时租出了88辆车．
（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，
则租赁公司的月收益为，
整理得．
所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．
【点评】本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究．

22．（13分）设是R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判定f（x）在R上的单调性．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）先由函数是奇函数，利用待定系数法求解．
（2）由（1）求得函数，再用单调性定义来判断其单调性，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．
【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数．
∴f（﹣x）=﹣f（x）

∴1﹣a•2=a﹣2x
∴a=1

（2）设x1＜x2，则2x1＜2x2
f（x1）﹣f（x2）=
所以f（x）在R上是增函数．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，这类问题往往用到待定系数法求参数的值．还考查了函数单调性的判断与证明，一般用定义法或导数．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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