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高等院校本科数学课程 空间解析几何 大 学 数 学（一一）第一讲第一讲第一讲第一讲 向量向量的加法向量向量的加法向量向量的加法向量向量的加法数量乘向量数量乘向量数量乘向量数量乘向量脚本编写：教案制作：月黑雁飞高，单于夜遁逃。欲将轻骑逐，大雪满弓刀。塞下曲唐卢纶北方大雪时，群雁早南归。月黑天高处，怎得见雁飞。教是为了不教,学然后会自学.学会思考学会思考尝试研究性的学习方法：尝试研究性的学习方法：提出问题、研究问题、解决问题提出问题、研究问题、解决问题注重持续性学习：注重持续性学习：有计划地安排学习有计划地安排学习借鉴周围同学的学习方法借鉴周围同学的学习方法学习遇到困难怎么办？学习遇到困难怎么办？定义定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量，或称或称矢量矢量.向量向量(矢量矢量)既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量的几何表示：向量的几何表示：1.11.1 向量的概念向量的概念|向量的模长：向量的模长：向量的大小向量的大小.或或或或两类量两类量:数量数量(标量标量):可用一个数值来描述的可用一个数值来描述的量量;有向线段有向线段有向线段的方向表示有向线段的方向表示矢矢量的方向量的方向.有向线段的长度表示有向线段的长度表示矢矢量的大小量的大小,模长为1的向量称为单位向量.模长为0的向量称为零向量，它的方向可以看作是任意的.特别特别:|向量的模长：向量的模长：向量的大小向量的大小.或或非负性3.自由向量自由向量自自由由向向量量:只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.定义定义1.1.21.1.2 如果两个向量的模长相等且方向如果两个向量的模长相等且方向相同，那么叫做相同，那么叫做相等向量相等向量.记为记为所有的零矢量都相等所有的零矢量都相等.定义定义1.1.31.1.3 两个模长相等，方向相反的矢量两个模长相等，方向相反的矢量叫做互为叫做互为反向量反向量.定义定义1.1.21.1.2 如果两个向量的模长相等且方向如果两个向量的模长相等且方向相同，那么叫做相同，那么叫做相等向量相等向量.记为记为零矢量与任何共线的矢量组共线零矢量与任何共线的矢量组共线.定义定义1.1.41.1.4 平行于同一直线的一组矢量平行于同一直线的一组矢量叫做叫做共线矢量共线矢量.定义定义1.1.5 1.1.5 平行于同一平面的一组矢量平行于同一平面的一组矢量叫做叫做共面矢量共面矢量.零矢量与任何共面的矢量组共面零矢量与任何共面的矢量组共面.1.21.2、向量的加法、向量的加法OAB这种求两个向量和的方法叫这种求两个向量和的方法叫三角形法则三角形法则.三角不等式OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2）定理定理1.2.11.2.1 如果把两个向量如果把两个向量 为邻边为邻边组成一个平行四边形组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量，那么对角线向量 （3 3）结合律：）结合律：定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2）OA1A2A3A4An-1An 这种求和的方法叫做多边形法则.OAB三角不等式向量减法向量减法三角不等式（a）平行四边形法则平行四边形法则.将 之一平移,使起点重合,作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,为 （b）三角形）三角形法则法则.将 之一平移,使起点重合,由 的终点向 的终点作一向量,即为 ABC例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证与与 平行且相等平行且相等,结论得证结论得证.同理可得，同理可得，平行且相等平行且相等,1.3 1.3 数量乘向量数量乘向量按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模长的上式表明：一个非零向量除以它的模长的结果是一个与原向量同方向的单位向量结果是一个与原向量同方向的单位向量.两个向量的平行关系两个向量的平行关系定理定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）第一分配律：）第一分配律：定理定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）第一分配律：）第一分配律：（3 3）第二分配律：）第二分配律：简要证明：时，例例1 证明证明:例例1.设设P,Q分别是分别是 ABC的的BC,AC边的中点边的中点,AP与与BQ交于点交于点M.证明证明:A AB BC CMMAM=AP.2 23 3P PQ QA AB BC CS ST T由条件可知由条件可知:BC=2BP,AC=2AQ.往证点往证点S与点与点T重合重合,即即AS=AT.P PQ Q设设AS=AP,BT=BQ,2 23 32 23 3例1 设 是 的中线,求证:例2 用向量法证明:联结三角形两边中点的线段平行与第三边且等于第三边的一半.作业 P 951.(1)(2)4.2.(1)(2)3.高等院校本科数学课程 空间解析几何 大 学 数 学（一一）第二讲第二讲第二讲第二讲 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解 脚本编写：教案制作：1.4 1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解平行四边形法则 例例1 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.ABCDEFP1e1e2e3连接连接AF，因为，因为AP1是是AEF AEF 的中线，所以有的中线，所以有又因为又因为AF是是ACD ACD 的中线，所以又有的中线，所以又有BCDEFP1e1e2e3A例例3 3 试用向量方法证明：空间四边形相邻各试用向量方法证明：空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形边中点的连线构成平行四边形.证证:只要证只要证 EFGH例3 设试证三点共线的充要条件是存在不全为零的实数使得且作业 P956.7.10.12.高等院校本科数学课程 空间解析几何 大 学 数 学（一一）第三讲第三讲第三讲第三讲 标架与坐标标架与坐标标架与坐标标架与坐标 向量在轴上的射影向量在轴上的射影向量在轴上的射影向量在轴上的射影 脚本编写：教案制作：1.5 标架与坐标横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点二、点的直角坐标二、点的直角坐标 (称为称为点点 M 的坐标的坐标)xyz坐标轴坐标轴 :坐标面坐标面:在各卦限中点的坐标的符号在各卦限中点的坐标的符号?二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离 因为|M1M2|2=|M1Q|2+|M2Q|2=|M1P|2+|PQ|2+|M2Q|2，M1所以|M2Q|=|z2z1|。|PQ|=|y2y1|，设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，求两点间的距离d。|M1P|=|x2x1|，作一个以 M1和 M2 为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面。O x y z M2x2x1 y1 y2PQz1z2注意：称为向量称为向量 的的坐标分解式坐标分解式.xyz显然，显然，向量的坐标向量的坐标：向径：向径：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：M(x,y,z)起点在坐标原点的向量起点在坐标原点的向量.(3).运算性质设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则 a b=(ax bx,ay by,az bz)证明:a+b=(ax i+ay j+az k)+(bxi+by j+bz k)=(ax i+bxi)+(ay j+by j)+(az k+bz k)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)四、利用坐标作向量的线性运算向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式特殊地：特殊地：定义定义 称称 是向量是向量 在仿射在仿射坐标系坐标系 下的下的坐标坐标.(4)两向量平行的充要条件.设非零向量 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),因此ax=bx,ay=by,az=bz,于是注:在(*)式中,规定若某个分母为零相应的分子也为零.a/b(*)a/b a=b则(为常数)例如：(4,0,6)/(2,0,3)即(ax,ay,az)=(bx,by,bz),解解设设为直线上的点，为直线上的点，由题意知：由题意知：由题意知：由题意知：四四.向量在轴上的投影向量在轴上的投影1.点在轴上投影点在轴上投影设有空间一点 A 及轴 u,过 A 作 u 轴的垂直平面,平面 与 u 轴的交点A 叫做点 A 在轴 u 上的投影.AAu2.向量在轴上的投影向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A 和B.定义定义1.3:BBAAu向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.称有向线段A B 为如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，则称 x 为向量 AB 在轴u上的投影，记作则向量 AB 的投影向量 AB 有：BBAAue3.两向量的夹角两向量的夹角设有非零向量(起点同).规定：正向间位于0到之间的那个夹角为 的夹角,记为 或(1)若 同向，则(2)若 反向，则(3)若 不平行，则说明：说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；BBAAue定理定理1.2.(投影定理)设向量AB与轴u的夹角为则 ProjuAB=|AB|cos BBAAuB1BBAAue定定理理1.3 两个向量的和在轴u上的投影等于两上向量在该轴上的投影的和。推论推论:BBAAuCC即即定定理理1.4:实数与向量 的乘积在轴u上的投影，等于乘以向量 在该轴上的投影。定理定理1.2.(投影定理)设向量AB与轴u的夹角为则 ProjuAB=|AB|cos zijkMoxyCABzyxN 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影作业 P9513.14.15 高等院校本科数学课程 空间解析几何 大 学 数 学（一一）第四讲第四讲第四讲第四讲 数量积与向量积数量积与向量积数量积与向量积数量积与向量积脚本编写：教案制作：启示启示:实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果是一个数量.1.7 两向量的数量积M1M2数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模长两向量的数量积等于其中一个向量的模长和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.定义定义关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证证证数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：（2 2）分配律）分配律：（3 3）若）若 为数为数：若若 、为数为数：（2 2）分配律）分配律：（1 1）交换律）交换律：例.用向量法证明余弦定理.ABC故故证明证明:如图所示，如图所示，设设数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式例如两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为：由此可知两向量垂直的充要条件为：解解例例1 1解例3证证 例 证明三角形的三条高交于一点。ABCO以上两式相加，可得 。所以 中BC边上的高通过O点。这就证明了三高相交于一点。证明:设 边AB,CA上的高交于O点，以O为始点，以A,B,C为终点的向量分别记为 。zijkMoxyCABzyxN由于：从而：此即向量此即向量模的坐标表示模的坐标表示.为空间两点为空间两点.空间两点间距离公式空间两点间距离公式解解原结论成立原结论成立.在在 z 轴上求与两点轴上求与两点 A(4,1,7)和和B(3,5,2)等距离的点等距离的点.设该点为设该点为M(0,0,z),由题设由题设 ,即即解得解得即所求点为即所求点为例例4 4解解 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为称为方向角方向角.由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示方向余弦通常用来表示向量的方向向量的方向.设设故有 ax=|a|cos ay=|a|cos az=|a|cos三、向量的模长与方向余弦的坐标表示式三、向量的模长与方向余弦的坐标表示式.1.方方向向角角:非零向量a 与x,y,z 轴正向夹角,称为a 的方向角.2.方向方向余弦余弦:方向角的余弦 cos,cos,cos,称为方向余弦.3.向量的模与方向余弦的坐标表达式向量的模与方向余弦的坐标表达式有 ax=|a|cos ay=|a|cos az=|a|cosayzx0设a=(ax,ay,az)又：ax=|a|cos ay=|a|cos az=|a|coscos2+cos2+cos2=1设e是与a同向的单位向量e=(cos,cos,cos)ayzx0例例2.1.已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1 M2的模,方向余弦和方向角.解:M1 M2=(1,1,)|M1 M2|=解解实例实例1.8 两向量的向量积定义定义向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”,“外积外积”.关于向量积的说明：关于向量积的说明：/证证/向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）（2）若若 为数：为数：引理引理ca将矢量将矢量a一投一转（转一投一转（转900），），证明证明 引入引入 证毕证毕(a+b)c=(a c)+(b c)c03.3.证明证明证明证明矢量积的分配律矢量积的分配律矢量积的分配律矢量积的分配律:两矢方向两矢方向:一致一致；a2|a2|=|a1|a2得得a2(a+b)c=(a c)+(b c)cbaa+b由矢量和的平行四边形法则，由矢量和的平行四边形法则，c03.3.证明证明证明证明矢量积的分配律矢量积的分配律矢量积的分配律矢量积的分配律:.将平行四边形一投一转将平行四边形一投一转(a+b)c=(a c)+(b c)cbaa+b(a+b)ca c由矢量和的平行四边形法则，由矢量和的平行四边形法则，得证得证c03.3.证明证明证明证明矢量积的分配律矢量积的分配律矢量积的分配律矢量积的分配律:.b c将平行四边形一投一转将平行四边形一投一转(a+b)c=(a c)+(b c)作业 P9622.(2)(3)29.30.32.33.高等院校本科数学课程 空间解析几何 大 学 数 学（一一）第五讲第五讲第五讲第五讲 向量的混合积向量的混合积向量的混合积向量的混合积脚本编写：教案制作：向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：分配律：（3）若若 为数：为数：关于向量积的说明：关于向量积的说明：/向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式o关于向量积的说明：关于向量积的说明：ijk设设o向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积向量积还可用还可用行列式表示行列式表示设设向量积的助记符向量积的助记符-行列式表示行列式表示:向量积模长的几何意义向量积模长的几何意义向量积的应用：向量积的应用：（2）方向）方向.（1）模）模;例例1解解例例3.1求以 =(2,1,1),=(1,1,2)为两边的平行四边形的面积.解：解：S|.S=而S=|=i5j 3k=(1,5,3),=|.S例例3.1求以 =(2,1,1),=(1,1,2)为两边的平行四边形的面积.例例4.已知三点角形 ABC 的面积.解解:如图所示,求三解解解解三角形三角形ABC的面积为的面积为2.用向量方法证明正弦定理:证证:由三角形面积公式所以因定义定义设设1.9 向量的混合积解解设 向 量 (ax,ay,az),则有=(cx,cy,cz),(bx,by,bz),记(3.9)式(3.9)称为混合积()的坐标表示。设向量(ax,ay,az),=(cx,cy,cz),(bx,by,bz),bc a baS=|a b|h4.4.混合混合积的几何意义积的几何意义h ac a bb4.4.混合混合积的几何意义积的几何意义.h ac a bb4.4.混合混合积的几何意义积的几何意义.其混合积其混合积 abc=0三矢三矢 a,b,c共面共面因此，因此，（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：关于混合积的说明：由几何意义可证bca解解例例1bca解解的绝对值的绝对值.例例7.证明四点共面.解解:因故 A,B,C,D 四点共面.复合积复合积三个向量三个向量其中两个向量先做向量积，得到一个其中两个向量先做向量积，得到一个向量再与另一个向量作向量积，称为这三个向量的向量再与另一个向量作向量积，称为这三个向量的复合积复合积或或注：注：叫叫二重向量积二重向量积或或双叉乘双叉乘.其中：向量的数量积向量的数量积、向量积的、向量积的思想思想从哪里来？从哪里来？Hamilton四元数:其中：ijk向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（结果是一个数量）内容小结内容小结内容小结内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:混合积:2.向量关系:（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）三维向量空间直角坐标系空间中点(x,y,z)xi yj zk一种内积向量间夹角方向余弦与方向角垂直关系数量积 性质分配律交换律平行关系平面三角形面积计算平行四边形面积计算 =0|向量积 基表示平行六面体体积消去律作业 P9736.(2)37.48.49.47.