大学数学应用基础——高等数学中册湖南教育出版社.ppt

湖南教育出版社湖南教育出版社大学数学应用基础 高等数学(中册)湖南教育出版社湖南教育出版社1编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社第六章 向量代数与空间解析几何6.1 向量及其线性运算6.2 向量的向量积6.3 平面与直线6.4 曲面与曲线湖南教育出版社湖南教育出版社下页下页2编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社6.1向量及其线性运算向量及其线性运算1.空间直角坐标系空间直角坐标系2.空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算3.向量的坐标表示向量的坐标表示上页上页下页下页首页首页3编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社6.1向量及其线性运算向量及其线性运算1.空间直角坐标系空间直角坐标系通常规定通常规定x轴，轴，y轴，轴，z轴的正向要遵循轴的正向要遵循右手法则右手法则.横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴坐标原点坐标原点上页上页下页下页首页首页4编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社面面面面面面空间直角坐标系共有八个空间直角坐标系共有八个卦限卦限.6.1向量及其线性运算向量及其线性运算上页上页下页下页首页首页5编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点6.1向量及其线性运算向量及其线性运算上页上页下页下页首页首页6编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社解解 根据坐标与点的对应关系，描出各点如下图所示根据坐标与点的对应关系，描出各点如下图所示.例例1 求空间直角坐标系中，标出下列各点的坐标：求空间直角坐标系中，标出下列各点的坐标：A(1,2,3),B(0,1,1),C(-1,0,0).6.1向量及其线性运算向量及其线性运算上页上页下页下页首页首页7编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社空间两点的距离公式空间两点的距离公式长方体的对角线长的平方等于三条棱长方体的对角线长的平方等于三条棱长的平方和，长的平方和，则：则：所以点所以点间的距离为间的距离为由图可知，该长方体的各棱长分别为：由图可知，该长方体的各棱长分别为：6.1向量及其线性运算向量及其线性运算上页上页下页下页首页首页8编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例2 求证：以求证：以的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形.三点为顶点三点为顶点证证 因为因为所以所以故三角形故三角形为等腰三角形为等腰三角形.6.1向量及其线性运算向量及其线性运算上页上页下页下页首页首页9编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例3 一动点一动点M(x,y,z)到原点到原点O(0,0,0)的距离为定值的距离为定值1，求动点的，求动点的轨迹方程轨迹方程.解解 因为因为|MO|=1，所以根据两点间的距离公式，得，所以根据两点间的距离公式，得化简，得所求轨迹方程为化简，得所求轨迹方程为6.1向量及其线性运算向量及其线性运算上页上页下页下页首页首页10编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社2.空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算6.1向量及其线性运算向量及其线性运算向量：既有大小又有方向的量.向量表示：或或以以M为起点，为起点，N为终点的有向线段为终点的有向线段.向量的模：向量的大小向量的大小.或或零向量：模长为模长为0的向量的向量.单位向量：模长为模长为1的向量的向量.相等向量：模相等且方向相同的向量模相等且方向相同的向量.上页上页下页下页首页首页11编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社 共线向量共线向量(平行向量平行向量):方向相同或相反的两个向量互相平行或方向相同或相反的两个向量互相平行或 重合重合.a/b 零向量与任何向量都平行零向量与任何向量都平行.向量向量a与与b垂直垂直:约定零向量与任何向量都垂直约定零向量与任何向量都垂直.空间向量的加法、减法、与数乘统称空间向量的加法、减法、与数乘统称向量的线性运算向量的线性运算.6.1向量及其线性运算向量及其线性运算上页上页下页下页首页首页12编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社 将向量将向量a与与b的起点放在一起的起点放在一起,以向量以向量a和和b为邻边为平为邻边为平行四边形行四边形,则从起点到对角顶点的向量称为则从起点到对角顶点的向量称为a与与b的和向量的和向量,记作记作a+b.这种求向量和的方法称为向量加法的这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则平行四边形法则.向量可以平移，若把向量可以平移，若把b的起点放到向量的起点放到向量a的终点上，的终点上，则自则自a的起点到向量的起点到向量b的终点的向量亦为的终点的向量亦为a+b向量向量.这种求这种求向量的方法称为向量加法的向量的方法称为向量加法的三角形法则三角形法则.定义定义16.1向量及其线性运算向量及其线性运算上页上页下页下页首页首页13编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社向量向量a与与-b的和称为的和称为a与与b的差的差,记作记作a-b.6.1向量及其线性运算向量及其线性运算负向量负向量:与与a的模相同而方向相反的向量的模相同而方向相反的向量.向量的减法向量的减法:把把a与与b的起点放在一起的起点放在一起,a-b即是以即是以b的终点的终点 为起点，以为起点，以a的终点为终点的向量的终点为终点的向量.上页上页下页下页首页首页14编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社空间向量的加法、减法与数乘满足以下运算性质：空间向量的加法、减法与数乘满足以下运算性质：（1）交换律）交换律定义定义2（2）结合律）结合律（3）分配律）分配律6.1向量及其线性运算向量及其线性运算定理定理向量向量b与非向量与非向量a平行的充要条件是存在实数平行的充要条件是存在实数使得使得上页上页下页下页首页首页15编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社3.向量的坐标表示向量的坐标表示于是，由向量加法，有于是，由向量加法，有点点M在在Ox,Oy,Oz轴上的投影轴上的投影依次为依次为P,Q,R.如果点如果点M的的坐标为坐标为(x,y,z),则则6.1向量及其线性运算向量及其线性运算上页上页下页下页首页首页16编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社向量向量a有序数组有序数组6.1向量及其线性运算向量及其线性运算a=(x,y,z)称为向量称为向量a的的坐标表达式坐标表达式，数数x,y,z称为称为向量向量a的坐标的坐标，向量向量xi,yj,zk分别称为向量分别称为向量a在在x轴轴,y轴轴,z轴的轴的分向量分向量.设设则则 上页上页下页下页首页首页17编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社6.1向量及其线性运算向量及其线性运算上页上页下页下页首页首页18编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例4 已知已知和和，求向量，求向量的模及与的模及与方向相同的单位向量方向相同的单位向量.解解 因为向量的坐标为因为向量的坐标为所以，向量的模为所以，向量的模为与与方向相同的单位向量为方向相同的单位向量为6.1向量及其线性运算向量及其线性运算上页上页下页下页首页首页19编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例5 设向量设向量解解 (1)由由a/b的充要条件，得的充要条件，得，问数，问数 为何值时，为何值时，(1)a与与b平行；平行；(2)a与与b垂直垂直.(2)由由的充要条件，得的充要条件，得可取任意值可取任意值.6.1向量及其线性运算向量及其线性运算上页上页下页下页首页首页20编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例6 已知三点已知三点A(-1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5),求求因为因为 解解 作向量作向量 则则 与与的夹角就是的夹角就是所以所以6.1向量及其线性运算向量及其线性运算上页上页下页下页首页首页21编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社实例实例6.2 向量的向量积向量的向量积设设O为一根杠杆的支点，有一力为一根杠杆的支点，有一力F作用于这杠杆上作用于这杠杆上点点A处，力处，力F对支点对支点O的力矩是一向量的力矩是一向量M，它的模，它的模M的方向垂直于的方向垂直于F和和 ,且且 ,F,M构成右手系构成右手系.上页上页下页下页首页首页22编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社定义定义两个向量两个向量a和和b的的向量积向量积(又称又称叉积叉积或或外积外积)记作记作它是满足下述条件的向量：它是满足下述条件的向量：构成右手系构成右手系.6.2 向量的向量积向量的向量积（1）向量）向量的模的模（2）向量）向量与与a和和b都垂直都垂直,且且a,b,的方向的方向上页上页下页下页首页首页23编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社向量积有以下运算律：向量积有以下运算律：（1）反交换律）反交换律（2）结合律）结合律（3）分配律）分配律6.2 向量的向量积向量的向量积上页上页下页下页首页首页24编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例1 设设a,b是两个向量，且是两个向量，且b=3a，试证：，试证：证证 （1）如果）如果a=0，则，则所以所以于是于是 所以所以（2）如果）如果则则b=3a与与a平行，所以平行，所以=0,6.2 向量的向量积向量的向量积 两个非零向量平行的充要条件是它们的向量两个非零向量平行的充要条件是它们的向量积为零向量积为零向量.定理定理上页上页下页下页首页首页25编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例2 设设m,n是互相垂直的单位向量，是互相垂直的单位向量，a=m-n,b=m+n,求求解解6.2 向量的向量积向量的向量积上页上页下页下页首页首页26编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社设向量设向量6.2 向量的向量积向量的向量积向量积的坐标表示式上页上页下页下页首页首页27编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社为了记忆，它可写成下面的形式：为了记忆，它可写成下面的形式：其中其中上述三式的左端都称为上述三式的左端都称为二阶行列式二阶行列式，它的值等于对角线两，它的值等于对角线两 数之积的差数之积的差.6.2 向量的向量积向量的向量积上页上页下页下页首页首页28编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例3 设设a=(1,0,2),b=(-1,1,2),求求解解 及及6.2 向量的向量积向量的向量积上页上页下页下页首页首页29编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例4 求同时垂直于求同时垂直于x轴与向量轴与向量a=(3,6,8)的单位向量的单位向量.所以，所求单位向量为所以，所求单位向量为解解 取与取与x轴同向的单位向量轴同向的单位向量i=(1,0,0),则同时垂直于则同时垂直于a与与i的的 单位向量就是与单位向量就是与ai的平行的单位向量的平行的单位向量.或或6.2 向量的向量积向量的向量积上页上页下页下页首页首页30编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例5 已知三点已知三点A(1,1,1),B(2,0,-1),C(-1,1,2),求三角形求三角形ABC的面积的面积.解解 三角形三角形ABC的面积等于以向量的面积等于以向量为边的平行为边的平行形面积的一半，根据向量积模的几何意义，得形面积的一半，根据向量积模的几何意义，得6.2 向量的向量积向量的向量积上页上页下页下页首页首页31编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社6.3 平面与直线平面与直线1.平面平面2.直线直线3.平面、直线间的夹角平面、直线间的夹角4.点到平面的距离点到平面的距离上页上页下页下页首页首页32编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社平面的平面的的方程的方程6.3 平面与直线平面与直线(1)平面的点法式方程平面的点法式方程如果一个非零向量如果一个非零向量n垂直于一个平面垂直于一个平面,则称则称n为平为平面面 的法向量的法向量.平面的法向量常记作平面的法向量常记作n=(A,B,C).1.平面平面定义定义1M(x,y,z)上页上页下页下页首页首页33编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例1 已知平面已知平面过点过点，且垂直于，且垂直于的连线，求平面的连线，求平面的方程的方程.解解 取平面的法线向量为取平面的法线向量为由平面的点法式方程，得所求平面的方程为由平面的点法式方程，得所求平面的方程为2(x-2)+(y+1)-(z-3)=0,即即 2x+y-z=0.6.3 平面与直线平面与直线上页上页下页下页首页首页34编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社都在平面上，都在平面上，例例2 求过点求过点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)的平面方程的平面方程.解解 由于由于A,B,C三点都在平面上，所以向量三点都在平面上，所以向量因此向量因此向量垂直于平面，故可取它作为平面的法向量垂直于平面，故可取它作为平面的法向量.因此，过点因此，过点A(1,0,0)，且以，且以n=i+j+k为法向量的平面方程为为法向量的平面方程为 即即 x+y+z=1.6.3 平面与直线平面与直线上页上页下页下页首页首页35编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社6.3 平面与直线平面与直线(2)平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程由平面的点法式方程上页上页下页下页首页首页36编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.6.3 平面与直线平面与直线上页上页下页下页首页首页37编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例3 作出下列平面作出下列平面.(1)x=2;(2)z=3;(3)x+y=2;解解 (1)x=2表示过点表示过点(2,0,0)且平行于且平行于yOz面的平面面的平面.(2)z=3表示过点表示过点(0,0,3)且平行于且平行于xOy面的平面面的平面.6.3 平面与直线平面与直线上页上页下页下页首页首页38编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社(3)x+y=2表示过点表示过点(2,0,0),(0,2,0)且与且与z轴平行的平面轴平行的平面.表示过三点表示过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,4)的平面的平面.6.3 平面与直线平面与直线上页上页下页下页首页首页39编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例4 求过求过x轴和点轴和点M(2,-2,3)的平面方程的平面方程.解解 因为平面过因为平面过x轴，所以设平面的方程为轴，所以设平面的方程为 By+Cz=0.将点将点M(2,-2,3)代入上式，得代入上式，得 -2B+3C=0.解得解得将将代入方程代入方程By+Cz=0中，得中，得因为因为，故所求平面方程为，故所求平面方程为或或 3y+2z=0.6.3 平面与直线平面与直线上页上页下页下页首页首页40编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例5 设平面过点设平面过点P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)(abc 0)，解解 设平面的方程为设平面的方程为 Ax+By+Cz+D=0.6.3 平面与直线平面与直线将三点坐标代入得将三点坐标代入得求它的方程求它的方程.上页上页下页下页首页首页41编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程6.3 平面与直线平面与直线整理得整理得上页上页下页下页首页首页42编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社2.直线直线(1)直线的一般方程直线的一般方程设空间一直线为设空间一直线为l,为交于为交于l的两个平面，方程为的两个平面，方程为直线的一般方程直线的一般方程6.3 平面与直线平面与直线上页上页下页下页首页首页43编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社 如果一个非零向量如果一个非零向量s平行于一条直线平行于一条直线l，则称，则称s为直为直线线l的的方向向量方向向量.定义定义2直线直线l的的点向式方程点向式方程6.3 平面与直线平面与直线直线的一组直线的一组方向数方向数上页上页下页下页首页首页44编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社令令6.3 平面与直线平面与直线直线的参数方程直线的参数方程参数参数上页上页下页下页首页首页45编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例6 求过点求过点(1,-1,2)且垂直于平面且垂直于平面3x+2y-z+5=0的直线方程的直线方程.解解 与平面的法向量与平面的法向量n=(3,2,-1),可取可取n作为直线的方向向量作为直线的方向向量.于是由点向式方程，得所求直线的方程为于是由点向式方程，得所求直线的方程为6.3 平面与直线平面与直线例例7 求过点求过点A(2,1,-1)和和B(0,3,4)的直线方程的直线方程.解解 上页上页下页下页首页首页46编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例8把直线把直线l的一般方程的一般方程化为点法式方程化为点法式方程和参数方程和参数方程.解解先在直线先在直线l上找一点，令上找一点，令z=0，得，得为直线为直线l上的一点上的一点.6.3 平面与直线平面与直线上页上页下页下页首页首页47编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社所以，直线所以，直线l的点法式方程为的点法式方程为参数方程为参数方程为6.3 平面与直线平面与直线上页上页下页下页首页首页48编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社6.3 平面与直线平面与直线3.平面、直线间的夹角平面、直线间的夹角定义定义3两平面发向量的夹角中的锐角，称为两平面的夹角两平面发向量的夹角中的锐角，称为两平面的夹角.两平面的夹角公式两平面的夹角公式 上页上页下页下页首页首页49编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社(1)(2)例例9 求两平面求两平面x-2y+z+1=0和和2x-y-z-2=0的夹角的夹角.解解所以，两平面的夹角所以，两平面的夹角6.3 平面与直线平面与直线两平面位置特征：上页上页下页下页首页首页50编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社定义定义4 两直线方向向量的夹角中的锐角，称为两直线的夹角两直线方向向量的夹角中的锐角，称为两直线的夹角.设两直线的夹角为设两直线的夹角为两直线的夹角公式两直线的夹角公式6.3 平面与直线平面与直线上页上页下页下页首页首页51编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社 根据向量平行、垂直的条件，可推出下述结论：根据向量平行、垂直的条件，可推出下述结论：例例10 试证直线试证直线与直线与直线垂直垂直.证证3(-2)+25+1(-4)=06.3 平面与直线平面与直线上页上页下页下页首页首页52编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社 直线与其在平面内的投影之间的夹角的锐角，叫直线与其在平面内的投影之间的夹角的锐角，叫做直线与平面的夹角做直线与平面的夹角.定义定义5直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式6.3 平面与直线平面与直线上页上页下页下页首页首页53编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社根据向量平行、垂直的条件，可推出下述结论：根据向量平行、垂直的条件，可推出下述结论：例例11 求直线求直线与平面与平面x-y+2z-3=0的夹角的夹角.解解 直线的方向向量为直线的方向向量为s=(2,1,1),平面的法向量为平面的法向量为n=(1,-1,2).所以，所求夹角为所以，所求夹角为6.3 平面与直线平面与直线上页上页下页下页首页首页54编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社6.3 平面与直线平面与直线4.点到平面的距离点到平面的距离上页上页下页下页首页首页55编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社6.3 平面与直线平面与直线点到平面的距离公式为点到平面的距离公式为 例例12 求点求点(3,1,-2)到平面到平面3x-5y+4z-1=0的距离的距离.解解 根据点到平面的距离公式，得根据点到平面的距离公式，得上页上页下页下页首页首页56编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社6.4 曲面与曲线曲面与曲线1.曲面方程的概念曲面方程的概念2.旋转曲面旋转曲面3.柱面柱面4.二次曲面二次曲面5.曲线曲线上页上页下页下页首页首页57编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社1.曲面方程的概念曲面方程的概念如果曲面如果曲面S与三元方程与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系：有如下关系：6.4 曲面与曲线曲面与曲线定义定义1(1)曲面曲面S上任意一点的坐标都满足方程上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0；(2)(2)不在曲面不在曲面S上的点的坐标都不满足上的点的坐标都不满足F(x,y,z)=0，则称方程，则称方程(3)F(x,y,z)=0为为曲面曲面S的方程的方程，而曲面，而曲面S称为方程称为方程F(x,y,z)=0的的图图(4)形形.上页上页下页下页首页首页58编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例1 求球心在点求球心在点，半径为，半径为R的球面方程的球面方程.解解 设设M(x,y,z)是球面上任意一点，是球面上任意一点，则根据两点间的距离公式，则根据两点间的距离公式，得整理，得特别地，当球心在原点O(0,0,0)时，球面方程为6.4 曲面与曲线曲面与曲线上页上页下页下页首页首页59编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社的球面的球面.例例2方程方程解解 把原方程配方，得把原方程配方，得表示怎样的曲面？表示怎样的曲面？所以，它表示球心在点所以，它表示球心在点(2,0,-1),半径为半径为6.4 曲面与曲线曲面与曲线上页上页下页下页首页首页60编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社2.旋转曲面旋转曲面6.4 曲面与曲线曲面与曲线 一条平面曲线一条平面曲线C绕同一平面上的定直线绕同一平面上的定直线l旋转所形成旋转所形成的曲面称为的曲面称为旋转曲面旋转曲面.这条定直线这条定直线l叫作叫作旋转曲面的旋转轴旋转曲面的旋转轴，平面曲线平面曲线C叫作叫作旋转曲面的母线旋转曲面的母线.定义定义2 都在垂直于都在垂直于z轴的平面上，轴的平面上，(2)(1)上页上页下页下页首页首页61编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社到到z轴的距离，轴的距离，又点又点M到到z轴的距离等于点轴的距离等于点(3)将将(2)和和(3)代入代入(1)，得，得6.4 曲面与曲线曲面与曲线类似地，曲线类似地，曲线C绕绕y轴旋转而成的旋转曲面的方程为轴旋转而成的旋转曲面的方程为上页上页下页下页首页首页62编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例3 求求xOy面上的椭圆面上的椭圆 绕绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程轴旋转而成的旋转曲面的方程.解解 因为因为z轴是旋转轴，所以在方程轴是旋转轴，所以在方程以以中，保持中，保持z不变，不变，代代y，得，得即所求的旋转曲面的方程为即所求的旋转曲面的方程为6.4 曲面与曲线曲面与曲线旋转椭球面旋转椭球面 上页上页下页下页首页首页63编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例4 求求xOy面上的抛物线面上的抛物线绕绕y轴旋转而成的旋转轴旋转而成的旋转曲面的方程曲面的方程.解解 因为因为y轴是旋转轴，所以在方程轴是旋转轴，所以在方程中保持中保持y不变，以不变，以代代x，得所求曲面方程为，得所求曲面方程为6.4 曲面与曲线曲面与曲线旋转抛物面旋转抛物面 上页上页下页下页首页首页64编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例5 求求yOz面上的直线面上的直线z=ky(k0)绕绕z轴旋转一周而成的旋转轴旋转一周而成的旋转 曲面方程曲面方程.解解 因为因为z轴是旋转轴，所以在方程轴是旋转轴，所以在方程z=ky中保持中保持z不变，以不变，以代代y，得所求旋转曲面的方程为，得所求旋转曲面的方程为对上式平方，得对上式平方，得6.4 曲面与曲线曲面与曲线圆锥曲面圆锥曲面 上页上页下页下页首页首页65编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社凡是过凡是过xOy平面内圆平面内圆 且平行于且平行于z轴的直线轴的直线3.柱面柱面例例6 方程方程在空间表示怎样的曲面？在空间表示怎样的曲面？解解 方程方程在在xOy平面上表示一个圆平面上表示一个圆.上一点上一点都在方程都在方程 所表示的空间图形上所表示的空间图形上.方程方程所表示的空间图形可看作是所表示的空间图形可看作是由平行于由平行于z轴的一条直线沿轴的一条直线沿xOy平面内的圆移动而成的平面内的圆移动而成的曲面，称为曲面，称为圆柱面圆柱面.6.4 曲面与曲线曲面与曲线上页上页下页下页首页首页66编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社 一动直线一动直线L沿定曲线沿定曲线C移动，且始终与定直线移动，且始终与定直线l平行，平行，则称动直线则称动直线L的轨迹为的轨迹为柱面柱面.定曲线定曲线C叫作叫作柱面的准线柱面的准线，动直线，动直线L叫作叫作柱面的母线柱面的母线.定义定义3 6.4 曲面与曲线曲面与曲线上页上页下页下页首页首页67编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社例例7 下列方程各表示何种曲面：下列方程各表示何种曲面：解解6.4 曲面与曲线曲面与曲线椭圆柱面椭圆柱面 双曲柱面双曲柱面 抛物柱面抛物柱面(1)(3)(2)上页上页下页下页首页首页68编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社 在空间直角坐标系中，三元二次方程表示的在空间直角坐标系中，三元二次方程表示的曲面称为曲面称为二次曲面二次曲面.4.二次曲面二次曲面定义定义4(1)椭球面椭球面 6.4 曲面与曲线曲面与曲线相应地，三元一次方程称为相应地，三元一次方程称为一次曲面一次曲面.上页上页下页下页首页首页69编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社6.4 曲面与曲线曲面与曲线(2)椭圆抛物面椭圆抛物面 zxyoxyzo上页上页下页下页首页首页70编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社6.4 曲面与曲线曲面与曲线5.曲线曲线空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足不在曲线上的点不能同时满足两个方程两个方程.特点：特点：（1）空间曲线的方程）空间曲线的方程上页上页下页下页首页首页71编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社6.4 曲面与曲线曲面与曲线例如例如曲线的参数方程曲线的参数方程上页上页下页下页首页首页72编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社6.4 曲面与曲线曲面与曲线例例8 设一动点设一动点M在圆柱面在圆柱面上以角速度上以角速度绕绕z轴旋转，轴旋转，同时又以线速度同时又以线速度v沿平行于沿平行于z轴的正方向上升轴的正方向上升(都是常数都是常数)，则，则点点M的几何轨迹叫作螺旋线，试建立其参数方程的几何轨迹叫作螺旋线，试建立其参数方程.取时间取时间t为参数，动点从为参数，动点从A(a,0,0)点出点出发，经过发，经过t时间时间,运动到运动到M(x,y,z)处处.解解上页上页下页下页首页首页73编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社过过 上每一点作平面的垂线，则这些垂线形成了一上每一点作平面的垂线，则这些垂线形成了一个以为准线且母线平行于个以为准线且母线平行于z轴的柱面，这个柱面称为轴的柱面，这个柱面称为曲线曲线 在面上的投影柱面在面上的投影柱面.6.4 曲面与曲线曲面与曲线(2)空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影投影柱面与投影柱面与xoy面的交线称为曲线在面的交线称为曲线在xoy面上的面上的投影投影曲线曲线(投影投影).曲线曲线 关于关于xOy面，面，yOz面，面，zOx面的投影方程为面的投影方程为上页上页下页下页首页首页74编辑ppt湖南教育出版社湖南教育出版社6.4 曲面与曲线曲面与曲线例例9 求曲线求曲线关于关于xOy面的投影方程，面的投影方程，并判断投影曲线的类型并判断投影曲线的类型.解解所以，曲线关于所以，曲线关于xOy面的投影方程为面的投影方程为上页上页下页下页首页首页75编辑ppt