资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC
C．CD＝BC D．BC•CD＝AC•OA
2．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则与的面积比值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数是的图像过点，则的值为（ ）
A．-2 B．3 C．-6 D．6
5．随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直平行的四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是正方形
7．一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．根据国家外汇管理局公布的数据，截止年月末，我国外汇储备规模为亿美元，较年初上升亿美元，升幅，数据亿用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
10．反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（ ）
A．t＜ B．t＞ C．t≤ D．t≥
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，则的值是__________．
12．如图，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，∠BAE=25°，把线段AE绕点A逆时针方向旋转，使点E落在边CD上，那么旋转角的度数为______．
13．如图，矩形对角线交于点为线段上一点，以点为圆心，为半径画圆与相切于的中点交于点，若，则图中阴影部分面积为________________.
14．sin245°+ cos60°=____________.
15．如图， 圆的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为__________．
16．二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为_____．(填“”、“”或“”)
17．某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是______米．
18．圆内接正六边形的边长为6，则该正六边形的边心距为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在正方形中，点在边上，过点作于，且.
（1）若，求正方形的周长；
（2）若，求正方形的面积.
20．（6分）某商店经销的某种商品，每件成本为30元.经市场调查，当售价为每件70元时，可销售20件.假设在一定范围内，售价每降低2元，销售量平均增加4件.如果降价后商店销售这批商品获利1200元，问这种商品每件售价是多少元？
21．（6分）如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，
（1）求B到C的距离；
（2）如果在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由（≈1.732）．
22．（8分）（1）①如图1，请用直尺（不带刻度）和圆规作出的内接正三角形（按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）.
②若的内接正三角形边长为6，求的半径；
（2）如图2，的半径就是（1）中所求半径的值.点在上，是的切线，点在射线上，且，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，点是上的点（不与点重合），是的切线.设点运动的时间为（秒），当为何值时，是直角三角形，请你求出满足条件的所有值.
23．（8分）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG•BG=4，求BE的长．
24．（8分）如图，⊙O 是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，求sinB的值．
25．（10分）如图，在矩形纸片中，已知，，点在边上移动，连接，将多边形沿折叠，得到多边形，点、的对应点分别为点，.
（1）连接.则______，______°；
（2）当恰好经过点时，求线段的长；
（3）在点从点移动到点的过程中，求点移动的路径长.
26．（10分）如图，点E是四边形ABCD的对角线ＢＤ上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.
①试说明BE·AD＝CD·AE；
②根据图形特点，猜想可能等于哪两条线段的比?并证明你的猜想，（只须写出有线段的一组即可）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】解：∵∠DAC=∠DBC，∠AOD=∠BOC，∴∽ ，故A不符合题意；
∵∽ ，∴AO：OD=OB：OC，∵∠AOB=∠DOC，∴∽，故B不符合题意；
∵∽，∴∠CDB=∠CAB，
∵∠CAD=∠CAB，∠DAC =∠DBC，∴∠CDB=∠DBC，∴CD=BC；
没有条件可以证明，
故选D.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定方法①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.
2、C
【解析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．
【详解】黑色区域的面积=3×33×12×23×1=4，所以击中黑色区域的概率．
故选C．
【点睛】
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
3、C
【分析】根据平行四边形的性质得到OB=OD，利用点E是OD的中点，得到DE:BE=1：3，根据同高三角形面积比的关系得到S△ADE：S△ABE=1：3，利用平行四边形的性质得S平行四边形ABCD=2S△ABD，由此即可得到与的面积比.
【详解】在中，OB=OD，
∵为的中点，
∴DE=OE,
∴DE:BE=1：3，
∴S△ADE：S△ABE=1：3，
∴S△ABE：S△ABD=1：4，
∵S平行四边形ABCD=2S△ABD,
∴与的面积比为3:8，
故选：C.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，同高三角形面积比，熟记平行四边形的性质并熟练运用解题是关键.
4、C
【解析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．
【详解】∵反比例函数的图象经过点（-2，3），
∴k＝-2×3＝-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
5、B
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可.
【详解】∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
∴A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.
6、B
【分析】直接利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法分别判断得出答案．
【详解】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，错误，不合题意
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，是真命题；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，本选项错误，不合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形应是矩形，本选项错误，不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确掌握特殊四边形的判定方法是解题关键．
7、B
【解析】列表得：
1
2
3
4
1
－
2＋1=3
3＋1=4
4＋1=5
2
1＋2=3
－
3＋2=5
4＋2=6
3
1＋3=4
2＋3=5
－
4＋3=7
4
1＋4=5
2＋4=6
3＋4=7
－
∵共有12种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于5的有4种情况，
∴这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为：．故选B．
8、B
【解析】分析: 根据抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=的图象在第一象限有一个公共点，可得b＞0，根据交点横坐标为1，可得a+b+c=b，可得a，c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.
详解: ∵抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=的图象在第一象限有一个公共点，
∴b＞0，
∵交点横坐标为1，
∴a+b+c=b，
∴a+c=0，
∴ac＜0，
∴一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限．
故选B.
点睛: 考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到b＞0，ac＜0.
9、B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】亿=3.0924×1012，
故选：B．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10、B
【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出x2﹣2x+1﹣6t=0，又因两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，根据根的判别式以及根与系数的关系可求解．
【详解】由题意可得：﹣x+2=，
所以x2﹣2x+1﹣6t=0，
∵两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，
∴
解不等式组，得t＞．
故选：B．
点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用两个函数的解析式构成方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】将点B的坐标代入反比例函数求出k，再将点A的坐标代入计算即可；
【详解】（1）将代入得，k＝=-6，
所以，反比例函数解析式为，
将点的坐标代入得
所以m＝，
故填：.
【点睛】
此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法求解析式.
12、60°或 70°．
【分析】连接AC，根据菱形的性质及等边三角形的判定易证△ABC是等边三角形．分两种情况：①将△ABE绕点A逆时针旋转60°，点E可落在边DC上，此时△ABE与△ABE1重合；②将线段AE绕点A逆时针旋转70°，点E可落在边DC上，点E与点E2重合，此△AEC≌△AE2C．
【详解】连接AC．
∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠ACD=60°．
本题有两种情况：
①如图，将△ABE绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点E与点E1重合，此时△ABE≌△ABE1，AE=AE1，旋转角α=∠BAC=60°；
②∵∠BAC=60°，∠BAE=25°，
∴∠EAC=35°．
如图，将线段AE绕点A逆时针旋转70°，使点E到点E2的位置，
此时△AEC≌△AE2C，AE=AE2，旋转角α=∠EAE2=70°．
综上可知，符合条件的旋转角α的度数为60度或70度．
13、
【分析】连接BG，根据切线性质及G为中点可知BG垂直平分AO，再结合矩形性质可证明为等边三角形，从而得到∠ABD=60°，∠ADB=30°，再利用30°角直角三角形的三边关系求出AB，然后求出和扇形BEF的面积，两者相减即可得到阴影部分面积．
【详解】连接BG，由题可知BG⊥OA，
∵G为OA中点，
∴BG垂直平分OA，
∴AB=OB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB=OD=OC，∠BAD=90°，
∴AB=OB=OA，即为等边三角形，
∴∠ABO=∠BAO=60°，
∴∠ADB=30°，∠ABG=30°，
在中，∠ADB=30°，AD=，
∴AB=OA=2，
在中，∠ABG=30°，AB=2，
∴AG=1，BG=，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，含30°角的直角三角形的三边关系以及等边三角形的判定与性质，较为综合，需熟练掌握各知识点．
14、1
【分析】利用特殊三角函数值代入求解.
【详解】解：原式=
【点睛】
熟记特殊的三角函数值是解题的关键.
15、
【分析】根据圆周角定理得，由于的直径垂直于弦，根据垂径定理得，且可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用进行计算．
【详解】解：∵
∴
∵的直径垂直于弦
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴．
故答案是：
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．
16、<
【解析】由图像可知，当时，，当时，，然后用作差法比较即可.
【详解】当时，，
当时，，
，
即，
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键.
17、6000
【分析】根据函数图象和题意可以分别求得甲乙的速度和乙从与甲相遇到返回公司用的时间，从而可以求得当乙回到公司时，甲距公司的路程.
【详解】解：由题意可得，甲的速度为：4000÷（12-2-2）=500米/分，
乙的速度为： =1000米/分，
乙从与甲相遇到返回公司用的时间为4分钟，
则乙回到公司时，甲距公司的路程是：500×（12-2）-500×2+500×4=6000（米），
故答案为6000.
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.
18、3
【分析】根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数的定义直接计算即可．
【详解】如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G．
∵此多边形是正六边形，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBG=60°，
∴边心距OG=OB•sin∠OBG=6(cm)．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟知正六边形的性质是解答本题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）.
【分析】（1）利用AA定理证明，从而得到，设，分别用含x的式子表示出AB,BE,ED，代入比例式，求出x的值，从而求正方形周长；（2）在上取一点，使，连接，利用等腰直角三角形的性质求得，，，然后利用勾股定理求得，从而求解正方形面积.
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
设.
∵，
∴.
∴.
∴，
∴，即.
∴正方形的周长为.
（2）如图，在上取一点，使，连接.
∵，，
∴.
又因为∠ABD=∠ADB=45°
∴.
∴.
在中，，
∴.
∴.
在中，.
∴正方形的面积.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，添加辅助线构造等腰直角三角形是本题的解题关键.
20、每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元.
【分析】根据题意得出，(售价-成本)(原来的销量+2降低的价格)=1200，据此列方程求解即可.
【详解】解：设每件商品应降价元时，该商店销售利润为1200元.
根据题意，得
整理得：，
解这个方程得：，.
所以，或50
答：每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元.
【点睛】
本题考查的知识点是生活中常见的商品打折销售问题，弄清题目中的关键概念，找出题目中隐含的等量关系式是解决问题的关键.
21、（1）12海里；（2）该货船无触礁危险，理由见解析
【分析】（1）证出∠BAC＝∠ACB，得出BC＝AB＝24×＝12即可；
（2）过点C作CD⊥AD于点D，分别在Rt△CBD、Rt△CAD中解直角三角形，可先求得BD的长，然后得出CD的长，从而再将CD与9比较，若大于9则无危险，否则有危险．
【详解】解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣10°＝30°，∠MBC＝90°﹣30°＝10°，
∵∠MBC＝∠BAC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠MBC﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴BC＝AB＝24×＝12（海里）；
（2）该货船无触礁危险，理由如下：
过点C作CD⊥AD于点D，如图所示：
∵∠EAC＝10°，∠FBC＝30°，
∴∠CAB＝30°，∠CBD＝10°．
∴在Rt△CBD中，CD＝BD，BC=2BD,
由（1）知BC=AB,∴AB=2BD.
在Rt△CAD中，AD＝CD＝3BD＝AB+BD＝12+BD，
∴BD＝1．
∴CD＝1．
∵1＞9，
∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
22、（1）①见解析；②；（2）.
【分析】（1）①作半径的垂直平分线与圆交于，再取，则即为正三角形；
②连接，设半径为，利用勾股定理即可求得答案；
（2）分当，且点在点左侧或右侧，时四种情况讨论，当时，在Rt中利用勾股定理求解即可；当且点在点左侧或右侧时，构造矩形和直角三角形，利用解直角三角形即可求解；当时，构造正方形和直角三角形即可求解.
【详解】（1）①等边如图所示；
②连接，如图，设半径为，
由作图知：，⊥，
∴，
在中，
，即，
解得：；
（2）当时，连接，如图，
∵QG是的切线，
∴，
∵，
∴三点共线，
又∵DF是的切线，
∴，
设点运动的时间为（秒），
∴，
在中，，，
∴，
在Rt中，，，，
∴，即，
解得：；
当，且点在点左侧时，连接，过点G作GM⊥OD于M，如图，
∵是的切线，
∴，
∴四边形DFGM为矩形，
∴，
在Rt中，，，
∴，
∵，
∴，
∵QG是的切线，四边形DFGM为矩形，
∴，
∴
在Rt中，，，
∴即
解得：；
当时，连接，如图，
∵是的切线，QG是的切线，
∴，，
∴四边形ODQG为正方形，
∴，
∴；
当，且点在点左侧时，连接，过点O作ON⊥于N，如图，
∵是的切线，
∴，
∴四边形DFNO为矩形，
∴，
在Rt中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵QG是的切线，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：当、、、时，是直角三角形.
【点睛】
本题考查了圆的综合题，涉及到的知识有：简单作图，勾股定理，切线的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，解直角三角形，构造合适的辅助线是解题的关键.
23、（1）证明见解析（2）1
【解析】（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF．∴∠FDC=∠EBC．
∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC．∴∠FDC=∠EBE．
又∵∠DGE=∠DGE，∴△BDG∽△DEG．
（2）解：∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=15°．
∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC．
∴∠BDF=15°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°=∠BDF．∴BD=BF，
∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG．
∴∠DGB=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，即BG⊥DF．
∵BD=BF，∴DF=2DG．
∵△BDG∽△DEG，BG×EG=1，∴． ∴BG×EG=DG×DG=1．∴DG=2
∴BE=DF=2DG=1．
（1）根据旋转性质求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根据相似三角形的判定推出即可．
（2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根据相似求出DG的长，即可求出答案
24、
【解析】试题分析：求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．
试题解析：解：连接DC．∵AD是直径，∴∠ACD=90°．∵∠B=∠D，∴sinB=sinD==．
点睛：综合运用了圆周角定理及其推论．注意求一个角的锐角三角函数时，能够根据条件把角转化到一个直角三角形中．
25、（1），30；（2）；（3）的长
【分析】(1)直接利用勾股定理可求出AC的长，再利用特殊角的三角函数值可得出DAC的度数
(2)设CE=x，则DE=，根据已知条件得出,再利用相似三角形对应线段成比例求解即可.
(3)点运动的路径长为的长，求出圆心角，半径即可解决问题.
【详解】解：(1)连接AC
∵
∴
（2）由已知条件得出，,,
易证
∴
∴
∴
（3）如图所示，运动的路径长为的长
由翻折得：
∴
∴的长
【点睛】
本题考查的知识点有相似三角形的判定与性质，特殊的三角函数值，弧长的相关计算等，解题的关键是弄清题意，综合利用各知识点来求解.
26、（1）证明见解析；
（2）猜想=或（理由见解析
【解析】试题分析：
（1）由已知条件易证∠BAE=∠CAD，∠AEB=∠ADC，从而可得△AEB∽△ADC，由此可得，这样就可得到BE·AD=DC·AE；
（2）由（1）中所得△AEB∽△ADC可得= ，结合∠DAE=∠BAC可得△BAC∽△EAD，从而可得：=或（）.
试题解析：
①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠DAC=∠BAE，
∵∠AEB=∠ADB+∠DAE，
∠ADC=∠ADB+∠BDC，
又∵∠DAE=∠BDC，
∴∠AEB=∠ADC，
∴△BEA∽△CDA，
∴=，
即BE·AD=CD·AE；
②猜想=或（），
由△BEA∽△CDA可知，=，即=，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△BAC∽△EAD，
∴=或（）.
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