稳定电流的磁场-(2).ppt

第十二章第十二章 真空中稳恒电流的磁场真空中稳恒电流的磁场 12-1 磁场磁场 磁感应强度矢量磁感应强度矢量 12-2 磁感应通量磁感应通量 磁感应线的闭合性磁感应线的闭合性 12-3 毕奥毕奥萨伐尔萨伐尔拉普拉斯定律拉普拉斯定律 12-4 磁场环路定律（安培环路定律）磁场环路定律（安培环路定律）12-5 安培定律安培定律 12-6 关于磁力的功关于磁力的功12-7 霍尔效应霍尔效应.12-1 磁场磁场 磁感应强度矢量磁感应强度矢量 1.磁场磁场 图图1.电流对磁针的作用电流对磁针的作用图图2.磁铁对电流的作用磁铁对电流的作用.图图3.电流间的相互作用电流间的相互作用 实验表明，磁场只存在于电流或运动电荷的周围。实验表明，磁场只存在于电流或运动电荷的周围。磁铁产生的磁场的本质，也是由其内部的运动电荷磁铁产生的磁场的本质，也是由其内部的运动电荷产生的。产生的。磁场只对电流及运动电荷有磁力作用。磁场只对电流及运动电荷有磁力作用。.2.磁感应强度矢量磁感应强度矢量 当试验电荷当试验电荷 以速度以速度 通过磁场中某点通过磁场中某点 时时,不管不管 的方向怎样改变的方向怎样改变,试验电荷试验电荷 在在 点所受的点所受的磁力磁力 的方向永远与试验电荷的速度方向垂直。的方向永远与试验电荷的速度方向垂直。当试验电荷沿某一直线通过当试验电荷沿某一直线通过 点，磁力点，磁力 等等于零。于零。.图图4.磁力与运动电荷的速度的方向关系磁力与运动电荷的速度的方向关系.定义：定义：的方向即为的方向即为 的方向。的方向。的大小为的大小为 。MKSA有理制有理制 (牛牛秒秒/库库米米特斯拉）特斯拉）（12-1）.3.洛仑兹力洛仑兹力 图图5.、三者的方向关系三者的方向关系 （12-2）.即有洛仑兹力即有洛仑兹力（12-3）洛仑兹公式洛仑兹公式（12-4）.12-2 磁感应通量磁感应通量 磁感应线的闭合性磁感应线的闭合性 1.磁感应线磁感应线 图图6.分别为分别为(a)长直电流长直电流 (b)圆电流圆电流 (c)螺线螺线管电流的磁感应线管电流的磁感应线.图图7.螺绕环螺绕环 磁感应线都是围绕电流的闭合线磁感应线都是围绕电流的闭合线,或者说是从或者说是从无限远处来，到无限远处去，没有起点，也没有终无限远处来，到无限远处去，没有起点，也没有终点。点。.2磁场的高斯定理磁场的高斯定理 （1 1）磁感应通量磁感应通量 图图8.通过任一小面的磁感应线通过任一小面的磁感应线的单位为韦伯（的单位为韦伯（Wb)（12-6）磁感应强度等于通过单位垂直面积的磁感应通量。磁感应强度等于通过单位垂直面积的磁感应通量。（12-5）.（2 2）磁场的高斯定理磁场的高斯定理表明表明磁场是无源场，磁场是无源场，且且 ，有旋场，有旋场。图图8.通过闭合面的磁通量通过闭合面的磁通量（12-7）.12-3 毕奥毕奥萨伐尔萨伐尔拉普拉斯定律拉普拉斯定律 载流导体中任一电流元载流导体中任一电流元 (的方向即电流流的方向即电流流动的方向动的方向),在空间某点在空间某点 处产生的磁感应强度处产生的磁感应强度 的的大小与大小与 的大小成正比的大小成正比,与与 和矢径和矢径 (即由电流元即由电流元指向场点的矢量指向场点的矢量)之间的夹角之间的夹角 的正弦成正比的正弦成正比,而与而与矢径长度矢径长度 的平方成反比的平方成反比,即即（12-8）1.毕毕萨萨拉定律拉定律.（12-9）图图9.毕毕萨萨拉定律拉定律（12-10）2.运动电荷的磁场运动电荷的磁场 图图10.电流元中的运动电荷电流元中的运动电荷n、q.单位时间内通过横截面单位时间内通过横截面 的电量为的电量为 即电流强度为即电流强度为（12-11）(a)垂直于直面向外垂直于直面向外 (b)垂直于直面向内垂直于直面向内图图11.运动电荷运动电荷 的磁场方向的磁场方向.图图12.直电流产生的磁场直电流产生的磁场（12-12）3.毕毕萨萨拉定律的应用拉定律的应用 设有一长直导线载有电流设有一长直导线载有电流 ,求离导线为求离导线为 处的磁感应强度处的磁感应强度 。解解：(1)直电流所产生的磁场直电流所产生的磁场.由图可知由图可知则则有有（12-13）方向垂直于板面向内。方向垂直于板面向内。acscorr=()aapooctgrctgrl=.2.圆电流在轴线上所产生的磁场圆电流在轴线上所产生的磁场图图13.圆电流在轴圆电流在轴 线上的磁场线上的磁场当导线趋于无限长时，当导线趋于无限长时，则在离它，则在离它为为 处的磁感应强度为处的磁感应强度为（12-14）.任一直径两端的电流元在任一直径两端的电流元在 点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度的垂直分量的垂直分量 的大小相等、方向相反，因而相互的大小相等、方向相反，因而相互抵消，故总场强的大小即为抵消，故总场强的大小即为 的代数和，即的代数和，即(12-15)方向平行于方向平行于 向右。向右。26页.讨论：讨论：（1），上式化为，上式化为 （2）若）若 ，则，则 式分母中的式分母中的 可忽略不计，得可忽略不计，得(12-15)圆电流在圆心处产生的磁场。圆电流在圆心处产生的磁场。（12-16）.令令 （称为圆电流磁矩）（称为圆电流磁矩）（12-17）据（据（12-15）式）式3.螺线管轴线上的磁场螺线管轴线上的磁场图在下一页（12-18）于是于是 式可改写为式可改写为（12-16）.图图14 螺线管轴线上的磁场螺线管轴线上的磁场 上一页.由图中几何条件知由图中几何条件知代入代入 式，得式，得(12-18).讨论：讨论：（1）若是无限长螺线管，则有）若是无限长螺线管，则有 ，（2）若在螺线管的一端，而另一段无限长）若在螺线管的一端，而另一段无限长,即即 ,（12-20）（12-21）（12-19）方向与电流流动方向成右手系。方向与电流流动方向成右手系。.4.亥姆霍兹线圈亥姆霍兹线圈 1.求轴线上任意一求轴线上任意一点的磁感应强度。点的磁感应强度。2.讨论讨论a的取值为多的取值为多大时大时,距两线圈圆心等距两线圈圆心等远的点远的点o处的磁场最均处的磁场最均匀。匀。图图15 亥姆霍兹线圈亥姆霍兹线圈.由由 式式(12-15).由上式可知由上式可知（12-22）.令令 处的处的 ,可得在可得在 点磁场最均匀的点磁场最均匀的条件为条件为（12-23）.解：解：电荷面密度电荷面密度uRQope4=uRQoQpe41=例：一半径为例：一半径为 的均匀带电球面的均匀带电球面,球面上电势球面上电势为为 。今球面绕直径以角速度。今球面绕直径以角速度 匀速旋转，如图匀速旋转，如图示。试求球心示。试求球心 处的磁感应强度。处的磁感应强度。.在球面上任选一环带在球面上任选一环带,半径为半径为 ,其中心到其中心到 点的距点的距离为离为 。注意环带以注意环带以 转动转动,电荷也在运动电荷也在运动,相当于有电流相当于有电流于是于是.考虑到圆电流轴线上的磁感应强度公式考虑到圆电流轴线上的磁感应强度公式对应关系为对应关系为有有.要点：将旋转的带电球面看成半径不同而同轴要点：将旋转的带电球面看成半径不同而同轴放置的一系列的圆电流构成的系统，利用圆电流轴放置的一系列的圆电流构成的系统，利用圆电流轴线上任一点的磁感应强度公式求解。线上任一点的磁感应强度公式求解。考虑到上下两半球在考虑到上下两半球在 点点 的方向一致的方向一致,有有方向沿方向沿 轴正方向轴正方向.12-4 磁场环路定律（安培环路定律）磁场环路定律（安培环路定律）1.磁场环路定律磁场环路定律 (1)求闭合曲线不包围电流时求闭合曲线不包围电流时 的值。的值。段：图图16 磁场环路定律磁场环路定律.所以所以 段用同样方法可得：段用同样方法可得：.(2)求闭合曲线包围电流时求闭合曲线包围电流时 的值。的值。图图16 磁场环路定律磁场环路定律如电流方向反向，而沿闭如电流方向反向，而沿闭合曲线的绕行方向不变，合曲线的绕行方向不变，则有则有综合以上三种情况得：综合以上三种情况得：（12-24）.如果闭合曲线包含的如果闭合曲线包含的电流不止一个，那么电流不止一个，那么推广上面的结果得推广上面的结果得图图17 绕行方向与电流方向间的关系绕行方向与电流方向间的关系磁场环流定律磁场环流定律在磁场中沿任何闭合回路在磁场中沿任何闭合回路,磁感应磁感应 强度的环流等于该回路所包围的电流强度代数和强度的环流等于该回路所包围的电流强度代数和 的的 倍。倍。（12-25）.对连续分布的电流对连续分布的电流则有则有 磁场的环流不等于零。因此，在磁场中不能引磁场的环流不等于零。因此，在磁场中不能引入标量势的概念，即磁场不是有势场，所以，磁场入标量势的概念，即磁场不是有势场，所以，磁场不是保守力场。不是保守力场。（12-26）.2.磁场环路定律的应用举例磁场环路定律的应用举例 （1）求在通有均匀电流的无限长圆柱体内外的）求在通有均匀电流的无限长圆柱体内外的磁场磁场图图18 圆柱状载流导体内外的磁场圆柱状载流导体内外的磁场.解：解：1.考虑圆柱体外任一点考虑圆柱体外任一点而而比较上两式，得比较上两式，得2.考虑圆柱体内任一点考虑圆柱体内任一点.因此因此图图19 磁感应强度与圆柱体轴磁感应强度与圆柱体轴 线的距离之间的关系图线的距离之间的关系图.（2）螺绕环内的磁场）螺绕环内的磁场 解解:设螺绕环单位长度上密绕有设螺绕环单位长度上密绕有 匝线圈匝线圈,导线导线中电流强度为中电流强度为 。图图20 螺绕环内的磁场 磁感应强度沿所选回路磁感应强度沿所选回路的环流为的环流为据磁场环路定律，有据磁场环路定律，有.所以所以（3）长直螺线管内中心区域的磁场）长直螺线管内中心区域的磁场图图21 利用安培环流定律计算长直螺线管内的磁场利用安培环流定律计算长直螺线管内的磁场 过过 点选一图示绕行回路点选一图示绕行回路abcdabcd。.由磁场环路定律得由磁场环路定律得所以所以.1.安培定律安培定律而而 12-5 安培定律安培定律 从载流导线中想像的取出一段电流元从载流导线中想像的取出一段电流元,长度为长度为 ,截面积为截面积为 ,在磁感应强度为在磁感应强度为 的磁场中的磁场中,每个自由每个自由电子将受到一洛仑兹力电子将受到一洛仑兹力 。设导线内自由电。设导线内自由电子的体密度为子的体密度为 ，在这一小段中这些自由电子所受，在这一小段中这些自由电子所受的总力，即作用在这小段导线上的磁力为的总力，即作用在这小段导线上的磁力为（12-27）.（12-27）式改写为）式改写为（12-27*）（12-27*）式为安培定律的数学表达式。由该式决）式为安培定律的数学表达式。由该式决定的力称为安培力。定的力称为安培力。一段有限长的电流在外磁场中所受的力，由一段有限长的电流在外磁场中所受的力，由下式计算下式计算（12-28）.解解:例：电流流过一半径为例：电流流过一半径为 的铅丝环，此环放在的铅丝环，此环放在的均匀磁场的均匀磁场 中，环的平面与磁场垂直，求铅丝环中，环的平面与磁场垂直，求铅丝环所受张力是多少？所受张力是多少？张力即物体所承受的两张力即物体所承受的两部分间的相互作用力。部分间的相互作用力。.半圆弧半圆弧 在在 、两端受到另半个圆的拉力两端受到另半个圆的拉力(即张即张力力),在平衡时在平衡时,有有于是于是2.两无限长直电流之间的相互两无限长直电流之间的相互3.作用力作用力 安培的定义安培的定义图图22 长直电流之间长直电流之间 的相互作用力的相互作用力 在在 处的磁感应强度处的磁感应强度.单位长度上受力单位长度上受力完全相同的讨论完全相同的讨论,得得（12-29a）（12-29b）与与 方向相反。方向相反。方向垂直于方向垂直于 ，且由，且由 指向指向 。作用在作用在 上长上长 这一段上的力由这一段上的力由(12-27*)式得式得（12-27*）.安培的定义安培的定义安培是一恒定电流，若其保持在处于真空中安培是一恒定电流，若其保持在处于真空中相距相距1米的两无限长而圆截面可忽略的平行直导线内，则米的两无限长而圆截面可忽略的平行直导线内，则此两导线之间产生的力在每米长度上等于此两导线之间产生的力在每米长度上等于 (N)。3.载流平面线圈在外磁场中所受的力矩载流平面线圈在外磁场中所受的力矩图图23 载流平面线圈在外磁场中所受的力矩载流平面线圈在外磁场中所受的力矩.这一对大小相等这一对大小相等,方向相反方向相反,但作用线不重合的力构但作用线不重合的力构成力偶。力偶矩的大小为成力偶。力偶矩的大小为磁矩矢量的方向与线圈平面的法线平行，有磁矩矢量的方向与线圈平面的法线平行，有（12-30）.（12-30）式具有一般性。）式具有一般性。图图24 任一平面线圈可以看作任一平面线圈可以看作 许多小矩形线圈的组合许多小矩形线圈的组合.有磁感应通量的增量为磁感应通量的增量为图图25 磁力所作的功磁力所作的功 12-6 关于磁力的功关于磁力的功 1.磁力对载流导线作的功磁力对载流导线作的功.在导线移动过程中，磁力所作的功为在导线移动过程中，磁力所作的功为（12-31）2.磁力对旋转的载流线圈所作的功磁力对旋转的载流线圈所作的功图图25 磁力矩所作的功磁力矩所作的功.设线圈转过极小的角度设线圈转过极小的角度 ,使使 与与 之间的夹角从之间的夹角从 增为增为 +。则磁力矩。则磁力矩 所作的功为所作的功为（12-32）（12-33）当线圈从当线圈从 转到转到 时，对应的磁感应通量从时，对应的磁感应通量从1变到变到2，磁力矩所作的总功为磁力矩所作的总功为.如果电流是随时间而变的如果电流是随时间而变的,磁力作功的一般表磁力作功的一般表达式为达式为（12-34）.例例 测定磁感应强度常用的测定磁感应强度常用的实验装置实验装置磁秤如图所示，磁秤如图所示，它的一臂下面挂有矩形线圈，它的一臂下面挂有矩形线圈，宽为宽为b，长为，长为l，共有，共有N 匝，线圈匝，线圈的下端放在待测的均匀磁场的下端放在待测的均匀磁场中中,其平面与磁感应强度垂直，当其平面与磁感应强度垂直，当线圈中通有电流线圈中通有电流I 时，线圈时，线圈受到受到一向上的作用力，使天平失去一向上的作用力，使天平失去平衡，调节砝码平衡，调节砝码m使两臂达到平使两臂达到平衡。用上述数据求待测磁场的衡。用上述数据求待测磁场的磁感应强度。磁感应强度。BI.线圈的底边受到安培力线圈的底边受到安培力,方向向上方向向上,大小为大小为 ,当当天天平平恢恢复复平平衡衡时时，这这个个向向上上的的安安培培力力恰恰与与所所调调整整砝砝码码的重量相等，由此可得的重量相等，由此可得故待测磁场的磁感应强度故待测磁场的磁感应强度 由图可见，作用在两侧直边上的力大小相等，方由图可见，作用在两侧直边上的力大小相等，方向相反，它们相互抵消。向相反，它们相互抵消。解解 如如N=9匝，匝，b=10.0cm，I=0.10A，加，加 kg砝码才砝码才能恢复平衡，代入上式得能恢复平衡，代入上式得.12-7 霍尔效应霍尔效应 将一导电板放在垂直将一导电板放在垂直于它的磁场中，当有电于它的磁场中，当有电流通过时，在导电板的流通过时，在导电板的P1、P2两侧会产生一电两侧会产生一电势差势差U1U2,这种现象称这种现象称为霍尔效应。为霍尔效应。（1）.洛仑兹力的大小洛仑兹力的大小 P1、P2间形成电势差后，载流子受到的电力间形成电势差后，载流子受到的电力平衡时平衡时电流强度与运动速度之间的关系为电流强度与运动速度之间的关系为代入上式得代入上式得与与 式比较，得式比较，得（1）.例例 把把一一宽宽为为2.0cm，厚厚1.0mm的的铜铜片片，放放在在B=1.5T的的磁磁场场中中，磁磁场场垂垂直直通通过过铜铜片片。如如果果铜铜片片载载有有电电流流200A，求求呈现在铜片上下两侧间的霍耳电势差有多大？呈现在铜片上下两侧间的霍耳电势差有多大？每每个个铜铜原原子子中中只只有有一一个个自自由由电电子子，故故单单位位体体积积内内的的自自由由电电子子数数n即即等等于于单单位位体体积积内内的的原原子子数数。已已知知铜铜的的相相对对原原子子质质量量为为64，1mol铜铜（0.064kg）有有6.01023个个原原子子（阿阿伏伏加加德德罗罗常常数数），铜铜的的密密度度为为9.0103kg/m3，所所以以铜铜片片中中自自由电子的密度由电子的密度解解.铜片中电流为铜片中电流为200A时，霍耳电势差只有时，霍耳电势差只有22V，可见在通，可见在通常情况下铜片中的霍尔效应是很弱的。常情况下铜片中的霍尔效应是很弱的。在半导体中，载流子浓度在半导体中，载流子浓度n远小于金属中自由电子的远小于金属中自由电子的浓度，因此可得到较大的霍耳电势差。在这些材料中能产浓度，因此可得到较大的霍耳电势差。在这些材料中能产生电流的数量级约为生电流的数量级约为1mA，如果选用和例子中铜片大小相，如果选用和例子中铜片大小相同的材料，取同的材料，取I=0.1mA，n=1020m-3，则可算出其霍耳电势，则可算出其霍耳电势差约为差约为9.4mV，用一般的毫伏表就能测量出来。，用一般的毫伏表就能测量出来。霍耳电势差霍耳电势差.1.1.从毕从毕萨萨拉拉定律能导出无限长直电流的磁定律能导出无限长直电流的磁场公式场公式 ,当考察点无限接近导线时当考察点无限接近导线时(a0),0),则则B，这是没有物理意义的，请解释，这是没有物理意义的，请解释讨论：讨论：答：上式只对忽略导线粗细的理想线电流适用答：上式只对忽略导线粗细的理想线电流适用,当当a0，导线的尺寸不能忽略。此电流就不能视为，导线的尺寸不能忽略。此电流就不能视为线电流，该公式不适用线电流，该公式不适用.2.2.判断下列说法是否正确，并说明理由：判断下列说法是否正确，并说明理由：答：第一说法对，第二说法不对答：第一说法对，第二说法不对 围绕导线的积分路径只要是闭合的，不管在不围绕导线的积分路径只要是闭合的，不管在不在同一平面内，也不管是否是圆，安培环路定理均在同一平面内，也不管是否是圆，安培环路定理均成立成立 若所取围绕长直载流导线的积分路径是闭合的，若所取围绕长直载流导线的积分路径是闭合的，但不是圆，安培环路定理也成立但不是圆，安培环路定理也成立 若围绕长直载流导线的积分路径是闭合的，但若围绕长直载流导线的积分路径是闭合的，但不在一个平面内，则安培环路定理不成立不在一个平面内，则安培环路定理不成立.3.将两个半径不同，电流大小相同的环电流置于将两个半径不同，电流大小相同的环电流置于不同强度的均匀磁场中环电流可绕垂直于磁场的不同强度的均匀磁场中环电流可绕垂直于磁场的直径转动试证：若通过两个环路面的最大磁通量直径转动试证：若通过两个环路面的最大磁通量(不包括环电流自身电流产生的磁通量不包括环电流自身电流产生的磁通量)大小相同的大小相同的话，两个环电流受到的最大转动力矩也相同话，两个环电流受到的最大转动力矩也相同证：证：环电流受到的转动力矩为环电流受到的转动力矩为故若故若证得证得.4.一面积为一面积为S、载有电流、载有电流I 的平面线圈，置于磁的平面线圈，置于磁感强度为感强度为B的均匀磁场中。在线圈从磁力矩最大位的均匀磁场中。在线圈从磁力矩最大位置转过置转过角的过程中，有人这样计算此过程中力矩角的过程中，有人这样计算此过程中力矩作的功：作的功：而而I、S、B 均为常数均为常数试指出上面解题过程中的错误试指出上面解题过程中的错误,并求出力矩作的功。并求出力矩作的功。.虽然虽然I、S、B 均为常数，但均为常数，但 ,即即 的大小随磁矩的大小随磁矩 与磁感强度与磁感强度 之间夹角之间夹角而的变化而变化，所以把而的变化而变化，所以把 看成常数是错误的，看成常数是错误的，正确的做法是：正确的做法是：解：解：而而是是S的法线与的法线与B间的夹角间的夹角,而而是是S与与B间的夹角间的夹角.