南京工业大学材料力学1能量法.ppt

Nanjing University of Technology材料力学课堂教学软件材料力学课堂教学软件(11)第第1111章章 能量法能量法 材料力学材料力学 11.1 11.1 杆件的弹性应变能杆件的弹性应变能 11.2 11.2 互等定理互等定理 11.3 11.3 虚位移原理虚位移原理 11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 第第1111章章 能量法能量法 第第1111章章 能量法能量法 11.1 11.1 杆件的弹性应变能杆件的弹性应变能 作作用用在在弹弹性性杆杆件件上上的的力力，缓缓慢慢增增加加，变变形形固固体体每每一一瞬瞬间间处处于于平平衡衡状状态态，其其加加力力点点的的位位移移，随随着着杆杆件件受受力力和和变变形形的的增增加加而而增增加加，在在这种情形下，力所作的功为这种情形下，力所作的功为变力功变力功。对对于于材材料料满满足足胡胡克克定定律律、又又在在小小变变形形条条件件下下工工作作的的弹弹性性杆杆件件，作用在杆件上的作用在杆件上的力与位移成线性关系力与位移成线性关系。这时，力所作的这时，力所作的变力功变力功为为 FPO FP0FP一、一、作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功 11.1 11.1 杆件的弹性应变能杆件的弹性应变能 弹弹性性体体在在平平衡衡力力系系的的作作用用下下，在在一一定定的的变变形形状状态态下下保保持持平平衡衡，这这时时，如如果果某某种种外外界界因因素素使使这这一一变变形形状状态态发发生生改改变变，作作用用在在弹弹性性体体上上的的力，由于加力点的位移，也作功，此功为力，由于加力点的位移，也作功，此功为常力功常力功。注：注：力和位移都是力和位移都是广义广义的。的。FP可以是可以是一个力一个力，也可以是，也可以是一个力偶一个力偶。1.当当FP是一个力时，对应的位移是一个力时，对应的位移和和都是都是线线位移位移；2.当当FP是一个力偶时，对应的位移是一个力偶时，对应的位移和和都是都是角位移角位移。FP FP 11.1 11.1 杆件的弹性应变能杆件的弹性应变能 (功能原理功能原理）能量法：能量法：从功和能的角度出发，分析杆件的内力和位移。从功和能的角度出发，分析杆件的内力和位移。二、二、功能原理功能原理 11.1 11.1 杆件的弹性应变能杆件的弹性应变能 物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数值物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即 杆件在外力作用下发生弹性变形时，外力功转变为杆件在外力作用下发生弹性变形时，外力功转变为一种能量，储存于杆件内，这种能量称为一种能量，储存于杆件内，这种能量称为弹性应变能弹性应变能，简称简称应变能应变能。等截面杆件拉伸和压缩时的应变能为等截面杆件拉伸和压缩时的应变能为 1.1.对于拉伸和压缩杆件对于拉伸和压缩杆件对于拉伸和压缩杆件对于拉伸和压缩杆件微段的应变能为微段的应变能为 dx+dxdxFNFN三、三、杆件的弹性应变能杆件的弹性应变能 11.1 11.1 杆件的弹性应变能杆件的弹性应变能 FPOFN(x)(dx)微段的轴向变形微段的轴向变形(d(dx )为为2.2.2.2.对于承受弯曲的梁对于承受弯曲的梁对于承受弯曲的梁对于承受弯曲的梁微微段段两两截截面面绕绕中中性性轴轴相相对对转转过过的的角角度度d d 为为等截面梁弯曲时的应变能表达式等截面梁弯曲时的应变能表达式 dx忽略剪力影响，微段的应变能为忽略剪力影响，微段的应变能为 MMd 11.1 11.1 杆件的弹性应变能杆件的弹性应变能 FPOM(x)d3.3.3.3.对于承受扭转的圆轴对于承受扭转的圆轴对于承受扭转的圆轴对于承受扭转的圆轴微微段段两两截截面面绕绕杆杆轴轴线线的的相相对对扭扭转角转角d d 等截面圆轴扭转时的应变能表达式等截面圆轴扭转时的应变能表达式 微段的应变能为微段的应变能为 d d MMx xMMx x 11.1 11.1 杆件的弹性应变能杆件的弹性应变能 FPOMx(x)d 在在小小变变形形时时，杆杆件件同同时时有有轴轴力力、弯弯矩矩和和扭扭矩矩作作用用时时，由由于于这这三三种种内内力力分分量量引引起起的的变变形形是是互互相相独独立立的的，因因而而总总应变能为：应变能为：4.4.4.4.对于一般受力形式对于一般受力形式对于一般受力形式对于一般受力形式（组合变形）（组合变形）（组合变形）（组合变形）注意：注意：1.应用条件：应用条件：小变形条件小变形条件，线弹性线弹性。2.此处是应变能各种应变能之和，而不是叠加。此处是应变能各种应变能之和，而不是叠加。11.1 11.1 杆件的弹性应变能杆件的弹性应变能 3.计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的区别。计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的区别。4.应变能应变能Ve e只与外力的最终值有关，而与加载过程和加载只与外力的最终值有关，而与加载过程和加载次序无关。次序无关。例题例题1 1 如图示悬臂梁受到力如图示悬臂梁受到力F作用，该梁长度为作用，该梁长度为l，截面，截面为圆形，直径为为圆形，直径为d，且，且l=5d。材料的弹性模量为。材料的弹性模量为E。试求：试求：该梁的应变能该梁的应变能V。11.1 11.1 杆件的弹性应变能杆件的弹性应变能 解：解：梁受到拉伸与弯曲的组合作用梁受到拉伸与弯曲的组合作用因为因为A=d2/4，I=d4/64，l=5d，则，则应变能为应变能为轴力轴力FN=Fcos45，弯矩，弯矩M(x)=Fxsin45 11.1 11.1 杆件的弹性应变能杆件的弹性应变能 图示悬臂梁。图示悬臂梁。试求：试求：悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由端端B的挠度。的挠度。xABFPl例题例题2 2 11.1 11.1 杆件的弹性应变能杆件的弹性应变能 解：解：图示悬臂梁为弯曲变形图示悬臂梁为弯曲变形xABFPl 11.1 11.1 杆件的弹性应变能杆件的弹性应变能 应变能为应变能为根据根据功能原理功能原理自由端自由端B的挠度为的挠度为 11.2 11.2 互等定理互等定理 第第1111章章 能量法能量法 F FP P 系统系统系统系统F FS1S1F FS2S2F FSnSn S1S1 S2S2 SnSnF FS S 系统系统系统系统 S SP1P1 S SP2P2 S SP mP mF FP1P1F FPmPm P1P1 P2P2 PmPmF FP2P2 11.2 11.2 互等定理互等定理 一、一、功的互等定理功的互等定理 F FP P 系统系统系统系统F FS S 系统系统系统系统F FP1P1F FP2P2F FPmPm P1P1 P2P2 PmPm PS1PS1 PS2PS2 PSnPSn S1S1 S2S2 S nS nF FS2S2F FS1S1F FSnSn 11.2 11.2 互等定理互等定理 FP1FPm P1 P2 PmFP2FS1FS2FSn S1 S2 SP1 SP2 SP mFP1FP2FPm P1 P2 Pm PS1 PS2 PSn S1 S2 S nFS2FS1FSn 小变形、线弹性小变形、线弹性范围加载的情形下，最后的应变能范围加载的情形下，最后的应变能Ve e只与荷载的最终值有关，与加载顺序无关。只与荷载的最终值有关，与加载顺序无关。11.2 11.2 互等定理互等定理 11.2 11.2 互等定理互等定理 11.2 11.2 互等定理互等定理 功的互等定理功的互等定理：一个力系的力在另一个力系引起一个力系的力在另一个力系引起的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一个力系引起的相应的位移上所作之功。个力系引起的相应的位移上所作之功。如果如果二、位移互等定理二、位移互等定理 11.2 11.2 互等定理互等定理 当力系当力系FS 系统和系统和FP 系统中各自系统中各自只有一个力只有一个力时，则时，则由功的互等定理由功的互等定理注意：注意：力是广义的，位移也是广义的。力是广义的，位移也是广义的。则有则有这这就是就是位移互等定理位移互等定理。?=?11.2 11.2 互等定理互等定理?=?=?11.2 11.2 互等定理互等定理 第第1111章章 能量法能量法 11.3 11.3 虚位移原理虚位移原理 11.3 11.3 虚位移原理虚位移原理 一、虚位移原理一、虚位移原理 对于对于刚体刚体，虚位移原理为：如作用在，虚位移原理为：如作用在刚体上的平衡刚体上的平衡力系力系，当给刚体，当给刚体一微小虚位移一微小虚位移时，如果仍然保持平衡，时，如果仍然保持平衡，则该力系中所有的力（包括力偶）在各自的则该力系中所有的力（包括力偶）在各自的虚位移上所虚位移上所作之总功等于零作之总功等于零。Fi作用在第作用在第i个质点上的主动力；个质点上的主动力；ri该质点的该质点的虚位移虚位移。注：注：1.虚虚位位移移并并不不是是任任意意的的：（1）必必须须是是微微小小的的；（2）必必须是须是约束条件所许可的约束条件所许可的；2.力在虚位移上所作的功称为力在虚位移上所作的功称为虚功虚功，它是，它是常力功常力功。11.3 11.3 虚位移原理虚位移原理 对于对于变形体变形体，虚位移原理为：在外部力系作用下的变，虚位移原理为：在外部力系作用下的变形体，当形体，当给其与约束条件一致的虚变形时给其与约束条件一致的虚变形时，如果依然保持，如果依然保持平衡，则平衡，则外力外力在在虚位移虚位移上作的虚功上作的虚功等于等于内力内力在其相应在其相应虚位虚位移移上所作虚功。上所作虚功。1.虚位移原理的应用条件虚位移原理的应用条件仅为小变形仅为小变形。2.虚位移原理虚位移原理既适用于线性物理关系，也适用于非线既适用于线性物理关系，也适用于非线 性物理关系性物理关系。虚位移原理的应用条件：虚位移原理的应用条件：注意：虚位移原理是很多能量原理的基础。注意：虚位移原理是很多能量原理的基础。弹性体平衡弹性体平衡 WWe e WWi i即：即：即：即：WWe e WWi i 0 0 11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 第第1111章章 能量法能量法 以以承承受受均均布布力力的的悬悬臂臂梁梁为为例例，点点A处处沿沿铅铅垂垂方向的位移？方向的位移？A A A 11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 b.在在新新建建结结构构中中所所要要求求的的那那一一点点、沿沿所要求的位移方向所要求的位移方向施加单位力施加单位力。2.将将原原来来结结构构的的真真实实位位移移作作为为单单位位荷荷载载系系统结构中的虚位移，并应用虚位移原理：统结构中的虚位移，并应用虚位移原理：为了确定点为了确定点A处沿铅垂方向的位移，步骤如下：处沿铅垂方向的位移，步骤如下：A A A a.建立与原系统建立与原系统完全相同的结构完全相同的结构。11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 1.建立一个建立一个单位荷载系统单位荷载系统。d d 所要求位移的梁在原荷载作用下，微段截面相互转过的角度。所要求位移的梁在原荷载作用下，微段截面相互转过的角度。单位荷载系统中梁横截面上的弯矩（内力）单位荷载系统中梁横截面上的弯矩（内力）11在线弹性范围内：在线弹性范围内：这是杆件横截面上只有这是杆件横截面上只有弯矩弯矩一个内力分量的情形。一个内力分量的情形。杆件横截面同时存在杆件横截面同时存在弯矩弯矩、扭矩扭矩和和轴力轴力时，则有时，则有 11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 这这就就是是确确定定结结构构上上任任意意点点、沿沿任任意意方方向向位位移移的的莫莫尔尔积积分分（Mohrs integration），又称为），又称为单位荷载法单位荷载法（unit-load method）。）。结构在外荷载作用下横截面上的轴力、弯矩和扭矩；结构在外荷载作用下横截面上的轴力、弯矩和扭矩；结构在单位力作用下横截面上的轴力、弯矩和扭矩。结构在单位力作用下横截面上的轴力、弯矩和扭矩。注注意意：工工程程中中经经常常遇遇到到的的承承受受弯弯曲曲和和扭扭转转的的细细长长杆杆件件，剪剪力力的的虚虚功功比比弯弯曲曲和和扭扭转转的的要要小小得得多多，经经常常忽忽略略不不计计。当当弯弯矩矩很很大大时时，轴轴力的影响也可略去不计。力的影响也可略去不计。可用于确定可用于确定直杆直杆、曲杆曲杆及其系统上任意点、沿任意方向的线位及其系统上任意点、沿任意方向的线位移和角位移。移和角位移。小变形小变形，线弹性线弹性莫尔积分的应用条件莫尔积分的应用条件莫尔积分的应用范围莫尔积分的应用范围 莫尔方法中的单位力是广义力，可以是力，也可以是力偶。莫尔方法中的单位力是广义力，可以是力，也可以是力偶。与与之之相相对对应应的的位位移移也也是是广广义义的的，既既可可以以是是线线位位移移，也也可可以以是是角角位移。位移。（利用了弹性变形与弯矩、扭矩、轴力的线弹性关系式。）（利用了弹性变形与弯矩、扭矩、轴力的线弹性关系式。）11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 若若要要求求的的是是两两点点 (或或两两截截面面)间间的的相相对对位位移移，则则在在两两点点(或两截面或两截面)处同时施加一对方向相反的单位力。处同时施加一对方向相反的单位力。当当所所求求的的位位移移为为线线位位移移时时，单单位位力力为为集集中中力力；当当所所求求位位移为角位移时，单位力为集中力偶。移为角位移时，单位力为集中力偶。单位力和单位力偶的数值均为单位力和单位力偶的数值均为1 1。11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 一个力一个力一个力偶一个力偶一对力一对力一对力偶一对力偶一个线位移一个线位移一个角位移一个角位移相对线位移相对线位移相对角位移相对角位移例例 题题 3 3 半径为半径为R的四分之一圆弧形的四分之一圆弧形平面曲杆，平面曲杆，A端固定，端固定，B端承受端承受铅垂平面内的荷载的作用。曲铅垂平面内的荷载的作用。曲杆弯曲刚度为杆弯曲刚度为EI。若。若F、R、EI等均为已知。等均为已知。求：求：B点的垂直位移与水平点的垂直位移与水平位移。位移。RABF 11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 (不考虑轴向力和剪力的影响不考虑轴向力和剪力的影响)解：解：1.建立单位荷载系统。建立单位荷载系统。求铅垂位移时单位荷载加在求铅垂位移时单位荷载加在B点的铅垂点的铅垂方向；求水平位移时单位荷载加在方向；求水平位移时单位荷载加在B点的水平方向。点的水平方向。RAB1RAB1 11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 2.建立荷载引起的弯矩方程：建立荷载引起的弯矩方程：ORFFNFQMRABFO 11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 3.建立单位荷载引起的弯矩方程：建立单位荷载引起的弯矩方程：RAB1OR1OR1RAB1 4.应用莫尔积分计算位移：应用莫尔积分计算位移：RABFORAB1 11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 4.应用莫尔积分计算位移：应用莫尔积分计算位移：RAB1RABFO 11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 例例 题题 4 4 在图示结构中，杆的弯曲刚度在图示结构中，杆的弯曲刚度均为均为EI，FP、EI均已知。均已知。求：求：求：求：A、B两点的相对位移。两点的相对位移。(不考虑轴向力和剪力的影响不考虑轴向力和剪力的影响)11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 解：解：1.分析单位荷载系统：分析单位荷载系统：加什么单位力？加什么单位力？加在哪里？加在哪里？加在什么方向？加在什么方向？2.建立荷载与单位力引起的建立荷载与单位力引起的 内力表达式：内力表达式：要不要分段？怎样分段？要不要分段？怎样分段？建立坐标系？建立坐标系？充分利用对称性？充分利用对称性？11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 1.建立单位荷载系统：建立单位荷载系统：2.建立荷载与单位力引起的内力表达式：建立荷载与单位力引起的内力表达式：11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 3.应用莫尔积分计算相对位移（由于采用了对应用莫尔积分计算相对位移（由于采用了对称性，需要将结构一半所求的位移乘二。）称性，需要将结构一半所求的位移乘二。）11.4 11.4 计算位移的莫尔积分计算位移的莫尔积分 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 第第1111章章 能量法能量法 等截面直杆等截面直杆(EA、GIP、EI=const.)前前 提提 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 等为线性函数等为线性函数 S SMMA Ax xC CA A以弯曲问题为例以弯曲问题为例当当EIconst.时时且当且当 等为线性函数时等为线性函数时 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 荷载内力图的面积荷载内力图的面积荷载内力图形心坐标下，单位力内力图上的数值。荷载内力图形心坐标下，单位力内力图上的数值。前提：前提：应用条件：应用条件：对荷载内力图的要求：对荷载内力图的要求：直线？曲线？直线？曲线？要不要分段？要不要分段？对单位荷载内力图的要求：对单位荷载内力图的要求：直线？曲线？直线？曲线？要不要分段？要不要分段？11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 等截面直杆等截面直杆(EA、GIP、EI=const.)或或 只要一个为直线只要一个为直线 x xC CA A表表11-1 几种基本图形的面积与形心坐标几种基本图形的面积与形心坐标简支梁受力如图简支梁受力如图a所示。若所示。若F、a、EI等均为已知。等均为已知。试求：试求：用图乘法确定用图乘法确定C点的挠度。点的挠度。例例 题题 5 5 5 5 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 FFCDABE3a/2aaa 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 FFCDABE3a/2aaa解：解：1.1.画出梁的弯矩图画出梁的弯矩图F/3F/3Fa/3Fa/3CAE12.2.建立单位载荷系统，建立单位载荷系统，画出单位载荷作用下梁画出单位载荷作用下梁的弯矩图的弯矩图 3a/43.3.图乘法图乘法C1C2FFCDABE3a/2aaaF/3F/3Fa/3Fa/3CAE13a/4C1C23.3.图乘法图乘法 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 C3C3 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 FFCDABE3a/2aaaF/3F/3Fa/3Fa/3CAE13a/4C1C2C3C34.4.讨论：讨论：a.根据反对称性，根据反对称性，C点的点的挠度等于零。挠度等于零。b.同侧为正，异侧为负。同侧为正，异侧为负。例例 题题 6 6 6 6 刚架受力如图所示，已知：刚架受力如图所示，已知：横杆弯曲刚度为横杆弯曲刚度为2EI，竖杆弯，竖杆弯曲刚度为曲刚度为EI，拉伸刚度为，拉伸刚度为EA，荷载集度，荷载集度q，长度，长度l。求：求：1.B点的水平位移点的水平位移;2.分析轴力对分析轴力对B处水平位处水平位移的影响。移的影响。FP=qlqACBll 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 荷载系统荷载系统荷载系统荷载系统解：解：1.1.计算弯矩引起的位移计算弯矩引起的位移 a.在在B处沿水平方向施加单位力，建立单位力系统。处沿水平方向施加单位力，建立单位力系统。ACBl ll l单位荷载系统单位荷载系统单位荷载系统单位荷载系统1 1 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 FP=qlqACBllC2C1b.绘制刚架在荷载作用下的弯矩图。绘制刚架在荷载作用下的弯矩图。qACBF FP P=qlqlACBMMqqMMPP为了便于计算曲线弯矩图为了便于计算曲线弯矩图面积面积和确定和确定形心位置形心位置应用叠加原理应用叠加原理qlql2 2qlql2 2C3 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 荷载系统荷载系统荷载系统荷载系统FP=qlqACBllc.画出单位荷载系统的弯矩图。画出单位荷载系统的弯矩图。l ll 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 ACBl ll l单位荷载系统单位荷载系统单位荷载系统单位荷载系统1 11 11 11 1ACBd.应用图乘法应用图乘法C2C1BACll1 1F FP P=qlqlACBMMPPql2ql22EIEI 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 BACl ll l1 1q qACBMMqqC3 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 d.应用图乘法应用图乘法a.绘制原荷载系统的轴力图。绘制原荷载系统的轴力图。C2C1F FP P=qlqlACBMMPPqlql2 2qlql2 2qACBMMqqC3 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 ACBACBql/2ql2.分析轴力对分析轴力对B处水平位移的影响。处水平位移的影响。11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 ACBl ll l单位荷载系统单位荷载系统单位荷载系统单位荷载系统1 11 11 11 1ACB1b.画出单位荷载系统的轴力图。画出单位荷载系统的轴力图。11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 ACBql/2ACBqlACB1将轴力与弯矩引起的位移进行比较，则有将轴力与弯矩引起的位移进行比较，则有对于矩形截面，有对于矩形截面，有 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 当当l/h10时，上述比值为时，上述比值为0.0006，即轴力引起的位移小于弯矩引起，即轴力引起的位移小于弯矩引起位移的位移的0.1。由此可见，在细长杆的情形下，忽略轴力的影响不会对计算结果产由此可见，在细长杆的情形下，忽略轴力的影响不会对计算结果产生明显的误差。生明显的误差。前前 提提 11.5 11.5 直杆莫尔积分的图乘法直杆莫尔积分的图乘法 注意事项注意事项 单位荷载的弯矩图斜率发生变化时，图形互乘时需单位荷载的弯矩图斜率发生变化时，图形互乘时需要分段进行。要分段进行。如果如果荷载弯矩图和单位荷载的弯矩图均为直线，那荷载弯矩图和单位荷载的弯矩图均为直线，那么也可以用这样表达式。么也可以用这样表达式。等截面直杆等截面直杆(EA、GIP、EI=const.)或或 只要一个为直线只要一个为直线 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 第第1111章章 能量法能量法 一、卡氏定理一、卡氏定理(Castiglianos Theorem)卡氏定理：卡氏定理：构件或结构的构件或结构的应变能应变能对于某一个荷载的对于某一个荷载的一一阶偏导数阶偏导数，等于这一荷载的，等于这一荷载的作用点处作用点处、沿着这一荷载作用沿着这一荷载作用方向上方向上的位移。其数学表达式为的位移。其数学表达式为F FP1P1F FP2P2F FPmPm12m 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 上述各式中上述各式中FPi和和分别为广义力和广义位移。分别为广义力和广义位移。各种受力形式下的应变能都是以内力分量的形式出现，各种受力形式下的应变能都是以内力分量的形式出现，而内力分量又都是外加荷载的函数。而内力分量又都是外加荷载的函数。11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 因此，应变能对荷载的偏导数都是以内力分量对荷载偏因此，应变能对荷载的偏导数都是以内力分量对荷载偏导数形式出现的。导数形式出现的。各种受力形式下，卡氏定理的形式为：各种受力形式下，卡氏定理的形式为：对于轴向拉伸或压缩：对于轴向拉伸或压缩：对于圆轴扭转：对于圆轴扭转：11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 对于平面弯曲：对于平面弯曲：对于组合受力与变形的情形：对于组合受力与变形的情形：怎样应用卡氏定理确定任意点、沿任意方向的位移？讨论：讨论：如何应用卡氏定理求解没有外力作用的点之位如何应用卡氏定理求解没有外力作用的点之位移（或所求的位移与加力方向不一致）呢？移（或所求的位移与加力方向不一致）呢？11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 在所求位移的点、沿着所求位移的方向假设一个力在所求位移的点、沿着所求位移的方向假设一个力（广义力）；（广义力）；写出所有力（包括荷载和假设力）作用下的应变能写出所有力（包括荷载和假设力）作用下的应变能的表达式，并将其对假设力求偏导数；的表达式，并将其对假设力求偏导数；令其中的假设力等于零，便得到所要求的位移。令其中的假设力等于零，便得到所要求的位移。适用范围：适用范围：小变形小变形，线弹性线弹性。例题例题 7 7 7 7AB解：解：1求求A点的挠度：点的挠度：因为因为A点有力点有力FP作用，所作用，所以可以直接应用平面弯曲时以可以直接应用平面弯曲时的卡氏定理表达式的卡氏定理表达式 悬臂梁在自由端受有集中力悬臂梁在自由端受有集中力FP,梁的长度为梁的长度为l、弯曲刚、弯曲刚度为度为EI。若。若FP、l、EI等均已知，并且忽略剪力影响，试等均已知，并且忽略剪力影响，试求：求：1.自由端自由端A处的挠度；处的挠度；2.梁中点梁中点B处的挠度。处的挠度。11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 ABxO写出弯矩方程写出弯矩方程 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 解解：2求中点求中点B处的挠度：处的挠度：由于由于B处没有外力作用，处没有外力作用，所为不能直接应用卡氏定理。所为不能直接应用卡氏定理。为了应用卡氏定理，必须在为了应用卡氏定理，必须在B处作用一假想力处作用一假想力F P，ABxO写出梁的弯矩方程：写出梁的弯矩方程：11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 令令补充例题补充例题 1 外伸梁受力如图所示，已知弹性模量外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI。梁。梁材料为线弹性体。求梁材料为线弹性体。求梁C截面和截面和D截面的挠度。截面的挠度。解：解：ABCPaPDaa 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 法一法一:BD：ABCPaPDaa 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 AC：CB：法二法二:AC：ABCPaPDaa 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 CB：ABCPaPDaa 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 BD：ABCPaPDaa 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 ABCPaPDaa 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 ABCPaPDaa 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 第二种方法是正确的第二种方法是正确的ABCPaPDaa 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 补充例题补充例题2 各杆的抗拉（压）均为各杆的抗拉（压）均为EA的正方形平面桁架的正方形平面桁架受水平力受水平力P作用。杆的材料为线弹性。求结点作用。杆的材料为线弹性。求结点C的水平和的水平和铅垂位移。铅垂位移。llABcDPQ 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 llABcDPQ杆件杆件Q=0ABBCCDDAAC0000-（P+Q）-1-1-P000000000Q=0Q=0 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 llABcDPQ杆件杆件Q=0ABBCCDDAAC0000-（P+Q）-1-1-P000000000Q=0Q=0 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 杆件杆件Q=0ABBCCDDAAC0000-（P+Q）-1-1-P000000000Q=0Q=0llABcDPQ 11.6 11.6 卡氏定理卡氏定理 课外作业课外作业P292：114（莫尔积分莫尔积分）P293：118（a）（）（c）（）（图乘法图乘法）Nanjing University of Technology附录：附录：习题解答习题解答作业中存在的问题作业中存在的问题1、弯矩图不会画，弯矩方程不会列了，、弯矩图不会画，弯矩方程不会列了，x坐标没有标注。坐标没有标注。2、必须建立单位荷载系统（必须画出）。、必须建立单位荷载系统（必须画出）。3、图乘法分段相乘，同侧为正，异侧为负。、图乘法分段相乘，同侧为正，异侧为负。附录：附录：习题解答习题解答 11114 411-4 试计算图示悬臂梁试计算图示悬臂梁B 点和点和C点的挠度、点的挠度、B截面的转角，截面的转角，EI 为常数。为常数。(莫尔积分莫尔积分)解：解：1.1.建立建立单位荷载系统单位荷载系统ABC1x2.2.建立原荷载和单位荷载引起的弯矩方程：建立原荷载和单位荷载引起的弯矩方程：3.3.应用莫尔积分计算位移：应用莫尔积分计算位移：附录：附录：习题解答习题解答 11114 4解：解：1.1.建立建立单位荷载系统单位荷载系统ABC1x2.2.建立原荷载和单位荷载引起的弯矩方程：建立原荷载和单位荷载引起的弯矩方程：3.3.应用莫尔积分计算位移：应用莫尔积分计算位移：附录：附录：习题解答习题解答 11114 4解：解：1.1.建立建立单位荷载系统单位荷载系统ABCx2.2.建立原荷载和单位荷载引起的弯矩方程：建立原荷载和单位荷载引起的弯矩方程：3.3.应用莫尔积分计算位移：应用莫尔积分计算位移：111-8 图示各梁中图示各梁中F、M、d、l 及弯曲刚度及弯曲刚度EI等均已知，忽略剪力影响。试用等均已知，忽略剪力影响。试用图乘法求点图乘法求点A的挠度和截面的挠度和截面B的转角。的转角。附录：附录：习题解答习题解答 11118(a)8(a)(a)AB1解：解：1.1.建立建立单位荷载系统单位荷载系统2.2.分别画出原荷载和单位荷载引起的分别画出原荷载和单位荷载引起的弯矩图弯矩图3.3.应用莫尔积分计算位移：应用莫尔积分计算位移：FPl2l/3AB1111-8 图示各梁中图示各梁中F、M、d、l 及弯曲刚度及弯曲刚度EI等均已知，忽略剪力影响。试用等均已知，忽略剪力影响。试用图乘法求点图乘法求点A的挠度和截面的挠度和截面B的转角。的转角。附录：附录：习题解答习题解答 11118(c)8(c)(c)AB1解：解：1.1.建立建立单位荷载系统单位荷载系统2.2.分别画出原荷载和单位荷载引起的分别画出原荷载和单位荷载引起的弯矩图弯矩图3.3.应用莫尔积分计算位移：应用莫尔积分计算位移：l/4AB11ql 2/8此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！