人教版中学七年级下册数学期末学业水平试卷含答案.doc

人教版中学七年级下册数学期末学业水平试卷含答案
一、选择题
1．下列各图中，∠1和∠2为同旁内角的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图中的“笑脸”，由如图平移得到的是（　　）

A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列命题中属假命题的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等
B．a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．a，b，c是直线，若ab，bc，则ac
D．无限不循环小数是无理数，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示
5．如图，已知，平分，平分，则下列判断：①；②平分；③；④中，正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．有下列说法：（1）-6是36的一个平方根；（2）16的平方根是4；（3）；（4）是无理数；（5）当时，一定有是正数，其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，点E在AC上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED的度数是（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
8．如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2020次，点依次落在点、、、…的位置上，则点的坐标为（ ）．

A． B． C． D．
九、填空题
9．已知，则a＋b为_____.
十、填空题
10．点(3，0)关于y轴对称的点的坐标是_______
十一、填空题
11．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=130°，∠C=30°，则∠DAE的度数是__________.

十二、填空题
12．如图，∠B＝∠C，∠A＝∠D，有下列结论：①ABCD；②AEDF；③AE⊥BC；④∠AMC＝∠BND．其中正确的有_____．（只填序号）

十三、填空题
13．如图， 把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M 、N的位置上，若∠EFG=54°，则∠EGB=_______．

十四、填空题
14．观察下面“品”字图形中各数字之间的规律，根据观察到的规律得出a+b的值为____．

十五、填空题
15．已知点M在y轴上，纵坐标为4，点P（6，﹣4），则△OMP的面积是__．
十六、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，每次移动1个单位长度，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）⋯，则P2020的坐标是___．

十七、解答题
17．计算下列各式的值：
（1）
（2）
十八、解答题
18．求下列各式中的值：
（1）；（2）；（3）．
十九、解答题
19．如图，三角形中，点，分别是，上的点，且，．

（1）求证：；（完成以下填空）
证明：（已知）
（______________），
又（已知）
（等量代换），
（_______________）．
（2）与的平分线交于点，交于点，
①若，，则_______；
②已知，求．（用含的式子表示）
二十、解答题
20．已知点P（﹣3a﹣4，a+2）．
（1）若点P在y轴上，试求P点的坐标；
（2）若M（5，8），且PM//x轴，试求P点的坐标；
（3）若点P到x轴，y轴的距离相等，试求P点的坐标．
二十一、解答题
21．数学活动课上，王老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，小明同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用﹣1表示它的小数部分．”王老师说：“小明同学的说法是正确的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，”请你解答：
（1）填空题：的整数部分是 ;小数部分是
（2）已知8+＝x+y，其中x是一个整数，且0＜y＜1，求出2x+（y-）2012的值．
二十二、解答题
22．如图，用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）则大正方形的边长是___________；
（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为？

二十三、解答题
23．已知：直线AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，作射线EG平分∠BEF交CD于G，过点F作FH⊥MN交EG于H．
（1）当点H在线段EG上时，如图1
①当∠BEG＝时，则∠HFG＝ ．
②猜想并证明：∠BEG与∠HFG之间的数量关系．
（2）当点H在线段EG的延长线上时，请先在图2中补全图形，猜想并证明：∠BEG与∠HFG之间的数量关系．

二十四、解答题
24．已知直线，M，N分别为直线，上的两点且，P为直线上的一个动点．类似于平面镜成像，点N关于镜面所成的镜像为点Q，此时．

（1）当点P在N右侧时：
①若镜像Q点刚好落在直线上（如图1），判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
②若镜像Q点落在直线与之间（如图2），直接写出与之间的数量关系；
（2）若镜像，求的度数．
二十五、解答题
25．如图，△ABC和△ADE有公共顶点A，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC=45°，∠DAE=30°．
（1）若DE//AB，则∠EAC＝　 　；
（2）如图1，过AC上一点O作OG⊥AC，分别交AB、AD、AE于点G、H、F．
①若AO＝2，S△AGH＝4，S△AHF＝1，求线段OF的长；
②如图2，∠AFO的平分线和∠AOF的平分线交于点M，∠FHD的平分线和∠OGB的平分线交于点N，∠N+∠M的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理由．

【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据同旁内角的概念逐一判断可得．
【详解】
解：A、∠1与∠2是同位角，此选项不符合题意；
B、此图形中∠1与∠2不构成直接关系，此选项不符合题意；
C、∠1与∠2是同旁内角，此选项符合题意；
D、此图形中∠1与∠2不构成直接关系，此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了同旁内角的概念，解题的关键在于能够熟练掌握同旁内角的概念.
2．D
【分析】
根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
【详解】
解：A、B、C都是由旋转得到的，D是由平移得到的．
故选：D．
【点睛】
解析：D
【分析】
根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
【详解】
解：A、B、C都是由旋转得到的，D是由平移得到的．
故选：D．
【点睛】
本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
3．A
【分析】
根据在各象限内，点坐标的符号规律即可得．
【详解】
解：，
在平面直角坐标系中，点所在的象限是第一象限，
故选：A．
【点睛】
本题考查了点坐标的符号规律，熟练掌握点坐标的符号规律是解题关键．
4．B
【分析】
根据平行线的性质对A、C进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据无理数的定义和数轴上的点与实数一一对应对D进行判断．
【详解】
解：A、两直线平行，内错角相等，所以A选项为真命题；
B、a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以B选项为假命题；
C、a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥b，所以C选项为真命题；
D、无限不循环小数是无理数，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示，所以D选项为真命题．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行线的性质和无理数及数轴表示实数，难度一般，认真理解判断即可．
5．B
【分析】
根据平行线的性质求出，根据角平分线定义和平行线的性质求出，推出，再根据平行线的性质判断即可．
【详解】
∵，
∴，∴正确；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴根据已知不能推出，∴错误；错误；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，∴正确；
即正确的有个，
故选:．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
6．B
【分析】
根据平方根与立方根的定义与性质逐个判断即可．
【详解】
（1）是36的一个平方根，则此说法正确；
（2）16的平方根是，则此说法错误；
（3），则此说法正确；
（4），4是有理数，则此说法错误；
（5）当时，无意义，则此说法错误；
综上，正确的说法有2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根的定义与性质是解题关键．
7．B
【分析】
由∠B=∠EDF=90°，∠A=30°，∠F=45°，利用三角形内角和定理可得出∠ACB=60°，∠DEF=45°，由EF∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠CEF的度数，结合∠CED=∠CEF-∠DEF，即可求出∠CED的度数，此题得解．
【详解】
解：∵∠B=90°，∠A=30°，
∴∠ACB=60°．
∵∠EDF=90°，∠F=45°，
∴∠DEF=45°．
∵EF∥BC，
∴∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠CED=∠CEF-∠DEF=60°-45°=15°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记平行线的性质是解题的关键．
8．D
【分析】
探究规律，利用规律即可解决问题．
【详解】
解：由题意，，，，，，，，，
每4个一循环，
则2021个纵坐标等于1轴，坐标应该是，
故选：D．
【点睛】
本题考查了点的坐标的规律变化
解析：D
【分析】
探究规律，利用规律即可解决问题．
【详解】
解：由题意，，，，，，，，，
每4个一循环，

则2021个纵坐标等于1轴，坐标应该是，
故选：D．
【点睛】
本题考查了点的坐标的规律变化，解题的关键是根据正方形的性质，判断出每翻转4次为一个循环组是解题的关键，要注意翻转一个循环组点向右前行4个单位．
九、填空题
9．-6
【解析】
试题分析：∵，∴，解得=1，b=-7，∴．故应填为：-6.
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
点评：本题要求掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数
解析：-6
【解析】
试题分析：∵，∴，解得=1，b=-7，∴．故应填为：-6.
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
点评：本题要求掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
十、填空题
10．（-3，0）
【分析】
根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点，直接用假设法设出相关点即可．
【详解】
解：点（m，n）关于y轴对称点的坐标（-m，n），
所以点（3，0）关于y轴
解析：（-3，0）
【分析】
根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点，直接用假设法设出相关点即可．
【详解】
解：点（m，n）关于y轴对称点的坐标（-m，n），
所以点（3，0）关于y轴对称的点的坐标为（-3，0）．
故答案为：（-3，0）.
【点睛】
本题考查平面直角坐标系点的对称性质：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
十一、填空题
11．5°
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，再根据角平分线定义求出∠CAE，然后根据∠DAE=∠CAE-∠CAD，代入数据进行计算即可得解．
【详解】
∵AD⊥BC，∠C=30°，
∴∠C
解析：5°
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，再根据角平分线定义求出∠CAE，然后根据∠DAE=∠CAE-∠CAD，代入数据进行计算即可得解．
【详解】
∵AD⊥BC，∠C=30°，
∴∠CAD=90°-30°=60°，
∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=130°，
∴∠CAE=∠BAC=×130°=65°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=65°-60°=5°．
故答案为：5°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．
十二、填空题
12．①②④
【分析】
根据平行线的判定与性质分析判断各项正确与否即可．
【详解】
解：∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠AEC，
又∵∠A＝∠D，
∴∠AEC＝∠D，
∴AE∥DF，
∴∠AMC
解析：①②④
【分析】
根据平行线的判定与性质分析判断各项正确与否即可．
【详解】
解：∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠AEC，
又∵∠A＝∠D，
∴∠AEC＝∠D，
∴AE∥DF，
∴∠AMC＝∠FNM，
又∵∠BND＝∠FNM，
∴∠AMC＝∠BND，
故①②④正确，
由条件不能得出∠AMC＝90°，故③不一定正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了对顶角的性质及平行线的判定与性质，难度一般．
十三、填空题
13．108°
【分析】
由折叠的性质可得：∠DEF=∠GEF，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得：∠DEF=∠EFG=54°，从而得到∠GEF=54°，根据平角的定义即可求得∠1，再由平行线的
解析：108°
【分析】
由折叠的性质可得：∠DEF=∠GEF，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得：∠DEF=∠EFG=54°，从而得到∠GEF=54°，根据平角的定义即可求得∠1，再由平行线的性质求得∠EGB．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠EFG=54°，
∴∠DEF=∠EFG=54°，∠1+∠2=180°，
由折叠的性质可得：∠GEF=∠DEF=54°，
∴∠1=180°-∠GEF-∠DEF=180°-54°-54°=72°，
∴∠EGB=180°-∠1=108°．
故答案为：108°．
【点睛】
此题主要考查折叠的性质，平行线的性质和平角的定义，解决问题的关键是根据折叠的方法找准对应角，求出∠GEF的度数．
十四、填空题
14．【分析】
由图可知，最上面的小正方形的数字是连续奇数，左下角的数字是2n，右下角的数字是2n﹣1+2n，即可得出答案.
【详解】
由图可知，
每个图形的最上面的小正方形中的数字是连续奇数，所以第n
解析：【分析】
由图可知，最上面的小正方形的数字是连续奇数，左下角的数字是2n，右下角的数字是2n﹣1+2n，即可得出答案.
【详解】
由图可知，
每个图形的最上面的小正方形中的数字是连续奇数，所以第n个图形中最上面的小正方形中的数字是2n﹣1，
即2n﹣1=11，n=6．
∵2=21，4=22，8=23，…，左下角的小正方形中的数字是2n，∴b=26=64．
∵右下角中小正方形中的数字是2n﹣1+2n，∴a=11+b=11+64=75，∴a+b=75+64=139．
故答案为：139．
【点睛】
本题主要考查了数字变化规律，观察出题目正方形的数字的规律是解题的关键.
十五、填空题
15．【分析】
由M点的位置易求OM的长，在根据三角形的面积公式计算可求解．
【详解】
解：∵M在y轴上，纵坐标为4，
∴OM＝4，
∵P（6，﹣4），
∴S△OMP＝OM•|xP|
＝×4×6
＝12
解析：【分析】
由M点的位置易求OM的长，在根据三角形的面积公式计算可求解．
【详解】
解：∵M在y轴上，纵坐标为4，
∴OM＝4，
∵P（6，﹣4），
∴S△OMP＝OM•|xP|
＝×4×6
＝12．
故答案为12．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，根据三角形的面积公式求解是解题的关键．
十六、填空题
16．（673，-1）
【分析】
先根据P6（2，0），P12（4，0），即可得到P6n（2n，0），P6n+4（2n+1，-1），再根据P6×336（2×336，0），可得P2016（672，0），进而
解析：（673，-1）
【分析】
先根据P6（2，0），P12（4，0），即可得到P6n（2n，0），P6n+4（2n+1，-1），再根据P6×336（2×336，0），可得P2016（672，0），进而得到P2020（673，-1）．
【详解】
解：由图可得，P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+4（2n+1，-1），
∵2016÷6=336，
∴P6×336（2×336，0），即P2016（672，0），
∴P2020（673，-1）．
故答案为：（673，-1）．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标变化规律，解决问题的关键是根据图形的变化规律得到P6n（2n，0）．
十七、解答题
17．（1）；（2）
【分析】
（1）先求绝对值，同时利用计算，再合并即可；
（2）利用乘法的分配率先进行乘法运算，同时求解的立方根，再合并即可．
【详解】
解：（1）

（2）

【点睛】
本题考
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）先求绝对值，同时利用计算，再合并即可；
（2）利用乘法的分配率先进行乘法运算，同时求解的立方根，再合并即可．
【详解】
解：（1）

（2）

【点睛】
本题考查的是实数的运算，考查，求一个数的立方根，绝对值的运算，掌握以上知识是解题的关键．
十八、解答题
18．（1）；（2）；（3）
【分析】
直接根据平方根的定义逐个解答即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴．
【点睛】
此题主要考查了平方根的定义，熟练掌握平
解析：（1）；（2）；（3）
【分析】
直接根据平方根的定义逐个解答即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴．
【点睛】
此题主要考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题关键．
十九、解答题
19．（1）两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；（2）①；②
【分析】
（1）根据平行线的判定及性质即可证明；
（2）①由已知得，，由（1）知，可得，在中，，由对顶角得，由三角形内角和定理即可
解析：（1）两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；（2）①；②
【分析】
（1）根据平行线的判定及性质即可证明；
（2）①由已知得，，由（1）知，可得，在中，，由对顶角得，由三角形内角和定理即可计算出；
②根据条件，可得，由，得出，通过等量代换得，由三角形内角和定理即可求出．
【详解】
解：证明（1）证；
证明：（已知），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知）
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
故答案是：两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行．
（2）①与的平分线交于点，交于点，
且，，
，
，
由（1）知，
，
在中，
，
，
，
故答案是：；
②，
，
由（1）知，
，
，
在中，
，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、对顶角，解题的关键是掌握相关定理找到角之间的等量关系，再通过等量代换的思想进行求解．
二十、解答题
20．（1）P（0，）；（2）P（-22，8）；（3）P（，）或P（-1，1）．
【分析】
（1）根据y轴上的点的坐标特征：横坐标为0列方程求出a值即可得答案；
（2）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相
解析：（1）P（0，）；（2）P（-22，8）；（3）P（，）或P（-1，1）．
【分析】
（1）根据y轴上的点的坐标特征：横坐标为0列方程求出a值即可得答案；
（2）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求出a值即可得答案；
（3）根据点P到x轴，y轴的距离相等可得，解方程求出a值即可得答案．
【详解】
（1）∵点P在y轴上，
∴，
∴，
∴
∴P（0，）．
（2）∵PM//x轴，
∴，
∴，此时，，
∴P（-22，8）
（3）∵若点P到x轴，y轴的距离相等，
∴，
∴或，
解得：或，
当时，﹣3a﹣4=，a+2=，
∴P（，），
当时，﹣3a﹣4=-1，a+2=1，
∴P（-1，1），
综上所述：P（，）或P（-1，1）．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及在坐标轴上的点的性质．
二十一、解答题
21．（1）1；-1（2）19
【分析】
(1)根据已知的条件就可以求出；
（2）先估算的范围，进一步确定8+的范围，即可求出x，y的值，即可解答．
【详解】
解：（1）∵1＜＜2，
∴的整数部分是1；小
解析：（1）1；-1（2）19
【分析】
(1)根据已知的条件就可以求出；
（2）先估算的范围，进一步确定8+的范围，即可求出x，y的值，即可解答．
【详解】
解：（1）∵1＜＜2，
∴的整数部分是1；小数部分是-1；
（2）解：∵1＜＜2，
∴9＜8+＜10，
∵8+＝x+y，且x是一个整数，0＜y＜1，
∴x＝9，y＝8+﹣9＝﹣1，
∴2x+（y-）2012=2×9+（﹣1-）2012=18+1=19．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算的范围．
二十二、解答题
22．（1）；（2）不能剪出长宽之比为5：4，且面积为的大长方形，理由详见解析
【分析】
（1）根据已知得到大正方形的面积为400，求出算术平方根即为大正方形的边长；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，根据
解析：（1）；（2）不能剪出长宽之比为5：4，且面积为的大长方形，理由详见解析
【分析】
（1）根据已知得到大正方形的面积为400，求出算术平方根即为大正方形的边长；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积列得，求出，得到，由此判断不能裁出符合条件的大正方形.
【详解】
（1）∵用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形，
∴大正方形的面积为400，
∴大正方形的边长为
故答案为：20cm；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，
，
解得：，
，
答：不能剪出长宽之比为5：4，且面积为的大长方形.
【点睛】
此题考查利用算术平方根解决实际问题，利用平方根解方程，正确理解题意是解题的关键.
二十三、解答题
23．（1）①18°；②2∠BEG+∠HFG=90°，证明见解析；（2）2∠BEG-∠HFG=90°证明见解析部
【分析】
（1）①证明2∠BEG+∠HFG=90°，可得结论．②利用平行线的性质证明即可．
解析：（1）①18°；②2∠BEG+∠HFG=90°，证明见解析；（2）2∠BEG-∠HFG=90°证明见解析部
【分析】
（1）①证明2∠BEG+∠HFG=90°，可得结论．②利用平行线的性质证明即可．
（2）如图2中，结论：2∠BEG-∠HFG=90°．利用平行线的性质证明即可．
【详解】
解：（1）①∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠FEG，
∵FH⊥EF，
∴∠EFH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG=180°，
∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，
∴2∠BEG+∠HFG=90°，
∵∠BEG=36°，
∴∠HFG=18°．
故答案为：18°．
②结论：2∠BEG+∠HFG=90°．
理由：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠FEG，
∵FH⊥EF，
∴∠EFH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG=180°，
∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，
∴2∠BEG+∠HFG=90°．
（2）如图2中，结论：2∠BEG-∠HFG=90°．

理由：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠FEG，
∵FH⊥EF，
∴∠EFH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG=180°，
∴2∠BEG+90°-∠HFG=180°，
∴2∠BEG-∠HFG=90°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二十四、解答题
24．（1）①，证明见解析，②，（2）或．
【分析】
(1) ①根据和镜像证出，即可判断直线与直线的位置关系，②过点Q作QF∥CD，根据平行线的性质证即可；
(2)过点Q作QF∥CD，根据点P的位置不同，
解析：（1）①，证明见解析，②，（2）或．
【分析】
(1) ①根据和镜像证出，即可判断直线与直线的位置关系，②过点Q作QF∥CD，根据平行线的性质证即可；
(2)过点Q作QF∥CD，根据点P的位置不同，分类讨论，依据平行线的性质求解即可．
【详解】
（1）①，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点Q作QF∥CD，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；

（2）如图，当点P在N右侧时，过点Q作QF∥CD，
同（1）得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，

如图，当点P在N左侧时，过点Q作QF∥CD，同（1）得，，
同理可得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或．

【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当的作辅助线，熟练利用平行线的性质推导角之间的关系．
二十五、解答题
25．（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°
【分析】
（1）利用平行线的性质求解即可．
（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．
②利用角平分线的定
解析：（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°
【分析】
（1）利用平行线的性质求解即可．
（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．
②利用角平分线的定义求出∠M，∠N（用∠FAO表示），可得结论．
【详解】
解：（1）如图，

∵AB∥ED
∴∠E=∠EAB=90°（两直线平行，内错角相等），
∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=90°-45°=45°．
故答案为：45°．
（2）①如图1中，

∵OG⊥AC，
∴∠AOG=90°，
∵∠OAG=45°，
∴∠OAG=∠OGA=45°，
∴AO=OG=2，
∵S△AHG=•GH•AO=4，S△AHF=•FH•AO=1，
∴GH=4，FH=1，
∴OF=GH-HF-OG=4-1-2=1．
②结论：∠N+∠M=142.5°，度数不变．
理由：如图2中，

∵MF，MO分别平分∠AFO，∠AOF，
∴∠M=180°-（∠AFO+∠AOF）=180°-（180°-∠FAO）=90°+∠FAO，
∵NH，NG分别平分∠DHG，∠BGH，
∴∠N=180°-（∠DHG+∠BGH）
=180°-（∠HAG+∠AGH+∠HAG+∠AHG）
=180°-（180°+∠HAG）
=90°-∠HAG
=90°-（30°+∠FAO+45°）
=52.5°-∠FAO，
∴∠M+∠N=142.5°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，最后一个问题的解题关键是用∠FAO表示出∠M，∠N．