部编版八年级下册数学期末试卷模拟练习卷(Word版含解析).doc

部编版八年级下册数学期末试卷模拟练习卷（Word版含解析）
一、选择题
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三条边长之比为1：：
B．三条边长分别为1，，2
C．三个内角之比为3：4：5
D．两个内角分别为40°和50°
3．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分 B．一组对边平行且相等
C．两组对角分别相等 D．对角线互相垂直
4．甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为90分、90分、x分、80分，若这组成绩的众数与平均数恰好相等，则这组成绩的众数是（ ）
A．100分 B．95分 C．90分 D．85分
5．如图所示，正方形ABCD的边长为4，点E为线段BC上一动点，连结AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，连结BF，取BF的中点M，若点E从点B运动至点C，则点M经过的路径长为（　　）

A．2 B． C． D．4
6．如图，在菱形ABCD中，，则（ ）

A． B． C． D．
7．如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（　　）

A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，点与坐标原点重合，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿的路线向终点运动，连接、，设点运动的时间为秒，的面积为，下列图像能表示与之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．二次根式有意义的条件是_______．
10．如图，在菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，若AB=3，BD=4，则菱形ABCD的面积为_____．

11．如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______．

12．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长是______．

13．直线y＝kx+b的图象如图所示，则代数式2k﹣b的值为 _____．

14．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在对角线BD上，请你添加一个条件____________，使四边形AECF是菱形．

15．在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点连接，则的最小值为__________．

16．若，则分式的值为__________．
三、解答题
17．计算题
（1）
（2）
（3）
（4）（3﹣π）0﹣﹣（）（）
18．如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）．

19．图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．

（1）在图1中画出一个以AB为一边正方形ABCD，使点C、D在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出一个以AB为一边，面积为6的□ABEF，使点E、F均在小正方形的顶点上，并直接写出□ABEF周长．
20．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，
求证：四边形OCED是菱形．
21．阅读下列材料,然后回答问题:
在进行类似于二次根式的运算时,通常有如下两种方法将其进一步化简:
方法一:
方法二:
(1)请用两种不同的方法化简: ;
(2)化简: .
22．某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．
（1）分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式；
（2）印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费3000元用于印刷上述宣传材料，选择哪一家印刷厂能多印制一些宣传材料？
23．如图1，在中，为的中点，连结．过点作射线为射线上一动点．

（1）求的长和的面积；
（2）如图2，连结，在点的运动过程中，若为等腰三角形，求所有满足条件的的长；
（3）如图3，连结交于点，连结，作点关于的对称点，当点恰好落在的边上时，连结，请直接写出的面积．
24．如图，已知直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第二象限作等腰．

（1）求点的坐标，并求出直线的关系式；
（2）如图，直线交轴于，在直线上取一点，连接，若，求证：．
（3）如图，在（1）的条件下，直线交轴于点，是线段上一点，在轴上是否存在一点，使面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．已知，△ABC为等边三角形，BC交y轴于点D，A（a，0）、B（b，0），且a、b满足方程．

（1）如图1，求点A、B的坐标以及CD的长．
（2）如图2，点P是AB延长线上一点，点E是CP右侧一点，CP=PE，且∠CPE=60°，连接EB，求证：直线EB必过点D关于x轴的对称点．
（3）如图3，若点M在CA延长线上，点N在AB的延长线上，且∠CMD=∠DNA，试求AN-AM的值是否为定值？若是请计算出定值是多少，若不是请说明理由．
【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的定义进行判断即可．
【详解】
解：当a＜0时，无意义，所以选项A不符合题意；
当a=0时，无意义，因此选项B不符合题意；
当a≠0时，无意义，因此选项C不符合题意；
，无论a取何值，a2＋1≥1，因此
总有意义，所以选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式的定义，理解二次根式有意义的条件是正确判断的前提．
2．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、∵12＋（）2＝3＝（）2，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵12＋（）2＝4＝22，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴3x＋4x＋5x＝180，
解得：x＝15，
∴∠C＝5x°＝75°，
即此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、两个内角分别为40°和50°，所以另一个内角是90°，是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，也考查了三角形的内角和定理．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用平行四边形的判定可求解．
【详解】
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是本题的关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
若，则这组数据的众数是80分、90分，而这组数据的平均数只有1个，据此排除，再由众数的定义可得出答案．
【详解】
解：若，
则这组数据的众数是80分、90分，而这组数据的平均数只有1个，
所以，
所以这组数据中90分出现的次数最多，
即这组数据的众数是90分，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
5．B
解析：B
【分析】
已知EF⊥AE，当E点在线段BC上运动到两端时，正好是M点运动的两个端点，由此可以判断M点的运动轨迹是BC、CD中点的连线长.
【详解】
解：取BC、CD的中点G、H，连接GH，连接BD
∴GH为△BCD的中位线，即
∵将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，
∴EF⊥AE，
当E点在B处时，M点在BC的中点G处，当E点在C点处时，M点在CD中点处，
∴点M经过的路径长为GH的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴
∴，
故选B．

【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理和中位线定理，解题的关键在于找到M点的运动轨迹.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质解答．
【详解】
解：在菱形ABCD中，AB=BC，
∵AC=AB，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的四条边都相等的性质，熟记性质并判断出△ABC是等边三角形是解题的关键．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接BG，根据折叠的性质和正方形的性质可得AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，即可证明Rt△BFG≌Rt△BCG得到FG＝CG，设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理进行求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝DC＝4，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
由折叠的性质可得，AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，
∵∠BFE+∠BFG＝180°，
∴∠C＝∠BFG＝90°，
又∵BG＝BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），
∴FG＝CG，
设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x，
在Rt△DEG中，由勾股定理得，
EG2＝DE2+DG2，
∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，
解得x＝，
即CG＝，
故选C．

【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．B
解析：B
【分析】
先根据矩形的性质得到OA=BC=6，OC=AB=4，再分三种情况：点P在OA、AB、BC边上时，分别求出函数解析式，即可得到图象.
【详解】
∵矩形的顶点，,
∴OA=BC=6，OC=AB=4，
当点P在OA边上即0≤t<3时，，
当点P在AB边上即3≤t<5时，，
当点P在BC边上即5≤t≤8时，，
故选：B .
【点睛】
此题考查函数图象，正确理解题意分段求出函数解析式是解题的关键.
二、填空题
9．x≥0且x≠9
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数要大于等于0，以及分式有意义的条件：分母不为0，计算求解即可.
【详解】
解：∵二次根式有意义
∴且
∴且
故答案为：且.
【点睛】
本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解.
10．A
解析：
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出对角线AC的长，然后利用菱形面积公式计算即可．
【详解】
解：四边形ABCD是菱形，，
，
，
，
，
则S菱形ABCD，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式等知识点，利用勾股定理求出AC是关键．
11．B
解析：139
【解析】
【分析】
根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积，即可求解．
【详解】
如图，∵正方形、正方形的面积分别为25、144，
∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12
∴阴影部分的面积为169-×5×12=169-30=139
故答案为：139．

【点睛】
此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理几何证明方法．
12．A
解析：
【分析】
根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，∠BAD=90°，求出△AOB是等边三角形，求出OB=AB=5，根据矩形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD, ∠BAD=90°，
∵
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=5，
∴BD=2BO=10，
在Rt△BAD中,
故答案为：
【点睛】
考查矩形的性质，勾股定理等，等边三角形的性质与判定，掌握矩形的对角线相等是解题的关键.
13．-3
【分析】
将点代入即可求解．
【详解】
解：的图象经过点，
，
，
故答案为．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的特征，熟练掌握点与一次函数解析式的关系是解题的关键．
14．B
解析：BE=DF
【分析】
根据正方形的性质，可得正方形的四条边相等，对角线平分对角，根据 SAS，可得△ABF与△CBF与△CDE与△ADE的关系，根据三角形全等，可得对应边相等，再根据四条边相等的四边形，可得证明结果．
【详解】
添加的条件为：BE=DF，
理由：正方形ABCD中，对角线BD，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABE=∠CBE=∠CDF=∠ADF=45°．
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CBE≌△DCF≌△DAF（SAS）．
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形；
故答案为：BE=DF．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
15．【分析】
利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，进而可得点所在直线的函数关系式，然后根据勾股定理求解即可解决问题．
【详解】
解：作轴于点，轴于，
，
，
，
在和△中，
，
△，
解析：
【分析】
利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，进而可得点所在直线的函数关系式，然后根据勾股定理求解即可解决问题．
【详解】
解：作轴于点，轴于，

，
，
，
在和△中，
，
△，
，，
设，
，，
，
，，
设点，，
则，
整理，得：，
则点，在直线上，
设直线与x轴，y轴的交点分别为E、F，

如图，当时，取得最小值，
令，则，
解得，
∴，
令，则，
∴，
在中，，
当时，则，
∴，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换－旋转，勾股定理，表示出点的坐标以及点所在直线的函数关系式是解题的关键．
16．1
【分析】
首先将已知变形进而得出x＋y＝2xy，再代入原式求出答案．
【详解】
∵
∴x＋y＝2xy
∴====1
故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查了分式的值，正确将已知变形进而化简是解题
解析：1
【分析】
首先将已知变形进而得出x＋y＝2xy，再代入原式求出答案．
【详解】
∵
∴x＋y＝2xy
∴====1
故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查了分式的值，正确将已知变形进而化简是解题关键．
三、解答题
17．（1）；（2）；（3）；（3）
【分析】
（1）直接利用二次根式的乘除法化简得出答案；
（2）利用完全平方公式展开，再合并得出答案；
（3）直接化简二次根式，再合并得出答案；
（4）直接利用零指数幂
解析：（1）；（2）；（3）；（3）
【分析】
（1）直接利用二次根式的乘除法化简得出答案；
（2）利用完全平方公式展开，再合并得出答案；
（3）直接化简二次根式，再合并得出答案；
（4）直接利用零指数幂的性质以及乘法公式计算，再合并得出答案．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）
=4-2×2×+()2
=4-4+5
=9-4；
（3）
=3-×4-
=3-2-
=；
（4）（3﹣π）0﹣﹣（）（）
=1-2-(3-2)
=1-2-1
=-2．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．最短路程是；画图见解析．
【分析】
先作关于的对称点，连接，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】
解：如图，作出点关于的对称点，连接交于点，则点是马饮水的位置，
根据对称性可得，,
解析：最短路程是；画图见解析．
【分析】
先作关于的对称点，连接，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】
解：如图，作出点关于的对称点，连接交于点，则点是马饮水的位置，
根据对称性可得，,
则，
∴，
由已知得，，，
在中，由勾股定理求得
，
即，
答：他要完成这件事情所走的最短路程是，饮水所在位置．

【点睛】
本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
19．（1）见解析；（2）见解析；周长为4+2．
【解析】
【分析】
（1）直接利用网格结合正方形的性质得出符合题意的答案；
（2）直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出答案．
【详解】
（1）
解析：（1）见解析；（2）见解析；周长为4+2．
【解析】
【分析】
（1）直接利用网格结合正方形的性质得出符合题意的答案；
（2）直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出答案．
【详解】
（1）如图1，将绕点逆时针旋转得,
将绕点顺时针旋转得，
连接,正方形ABCD即为所求．

（2）如图2所示，
∴S▱ABEF
由题意可知：
平行四边形ABEF即为所求．周长为．
【点睛】
本题考查作图、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题．
20．见解析
【分析】
首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
【详解】
证明：∵DE
解析：见解析
【分析】
首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
【详解】
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD=AC=BD
∴四边形OCED是菱形．
21．（1）;（2）
【解析】
【分析】
（1）首先理解题意，根据题目的解析，即可利用两种不同的方法化简求得答案；
（2）结合题意，可将原式化为，继而求得答案．
【详解】
解：（1）方法一：
方法二：；
解析：（1）;（2）
【解析】
【分析】
（1）首先理解题意，根据题目的解析，即可利用两种不同的方法化简求得答案；
（2）结合题意，可将原式化为，继而求得答案．
【详解】
解：（1）方法一：
方法二：；
（2）原式=
【点睛】
本题考查了分母有理化的知识．此题难度较大，解题的关键是理解题意，掌握分母有理化的两种方法．
22．（1）y甲＝x+1500，y乙＝2.5x；（2）印制800份宣传材料时，选择乙厂比较合算；商场计划花费3000元用于印刷上述宣传材料，选择甲厂能多印制一些宣传材料
【分析】
（1）根据“甲印刷厂的收
解析：（1）y甲＝x+1500，y乙＝2.5x；（2）印制800份宣传材料时，选择乙厂比较合算；商场计划花费3000元用于印刷上述宣传材料，选择甲厂能多印制一些宣传材料
【分析】
（1）根据“甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费”可得甲厂关系式，根据“乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费”可得乙厂关系式；
（2）把x＝800代入两厂关系式进行计算即可得哪厂比较合算；把y＝3000代入两厂关系式进行计算可得哪厂能多印制一些宣传材料．
【详解】
解：（1）根据题意得：
y甲＝x+1500，
y乙＝2.5x；
（2）当x＝800时，
y甲＝800+1500＝2300，
y乙＝2.5×800＝2000，
∵2300＞2000，
∴印制800份宣传材料时，选择乙厂比较合算；
当y＝3000时，
甲厂：3000＝x+1500，解得x＝1500，
乙厂：3000＝2.5x，解得x＝1200，
∵1500＞1200，
∴商场计划花费3000元用于印刷上述宣传材料，选择甲厂能多印制一些宣传材料．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
23．（1）20，150；（2）7或；（3）或42．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可得BD=AB=15，CD⊥AB，根据勾股定理即可求得的长，从而可得的面积；
（2）分三种情况进行讨论；当CD=C
解析：（1）20，150；（2）7或；（3）或42．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可得BD=AB=15，CD⊥AB，根据勾股定理即可求得的长，从而可得的面积；
（2）分三种情况进行讨论；当CD=CP时，作CE⊥AP于E，根据S△ABC=ABCD=BCCE可得CE的长，CE>CP，而根据直角三角形斜边大于直角边可得该情况不成立；当CD=DP时，作DF⊥AP于F，延长FD交BC于G，根据全等三角形的判定可得△AFD≌△BGD，从而得到DF=DG，根据S△CDB=CDBD=DGBC，可得DF=DG=12，根据勾股定理可得AF和PF的长，即可得到AP的长；当PD=PC时，作CE⊥AP于E，作DF⊥AP于F，延长FD交BC于G，设AP=x，可得PE=x-7，根据勾股定理可得，，列式即可求得AP的值．
（3）分三种情况进行讨论：①当A´落在CD上时，作GE⊥CD于点E，根据等腰三角形的性质可得CD⊥AB，可得sin∠DAC=，cos∠DAC=，根据题意可知DG是AA´的垂直平分线，从而得到△ADG≌△A´DG(SAS)，A´C=5，即可得到sin∠GA´E= sin∠GAE=，cos∠GA´E=cos∠GAE=，设A´G=x，则CG=25-x，GE=x，A´E=x，可得CE=x+5，利用勾股定理可得GE的长，根据S△A´CG=A´CEG即可得解；②当A´落在BC上时，作GE⊥BC于点E，A´A与DG的交点为F，可得DF为中位线，所以DF∥BA´，且DF=BA´，根据等腰三角形性质及中位线性质可得sin∠ABA´=，cos∠ABA´=，从而求得BA´的长，BA´的长，根据矩形的判定可得四边形FA´EG为矩形，从而得到GE的长，根据S△A´CG=A´CEG即可得解；③当A´落在BD上时，会得到A´与B点重合，所以该情况不存在．
【详解】
解：（1）∵，，D为的中点，
∴BD=AB=15，CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴CD=，
∴S△ACD=CDAD=×20×15=150；
（2）当CD=CP时，如图，作CE⊥AP于E，

∴S△ABC=ABCD=BCCE，
∴×30×20=×25CE，
解得 CE=24，
∵CE>CD，
即CE>CP，
∴CD=CP不成立，
当CD=DP时，作DF⊥AP于F，延长FD交BC于G，

∵AF∥BC，
∴∠FAD=∠B，
∵∠AFD=∠BGD=90°，AD=BD，
∴△AFD≌△BGD（AAS），
∴DF=DG，
∵S△CDB=CDBD=DGBC，
∴×20×15=×25DG
∴DF=DG=12，
∴AF=，
在Rt△DFP中，PF=，
∴AP=PF-AF=16-9=7，
当PD=PC时，作CE⊥AP于E，作DF⊥AP于F，延长FD交BC于G，

由上述过程可得 AF=9，
∴CG=BC-BG=25-9=16，
设AP=x，
∴PE=PF-FE=AF+AP-FE=9+x-16=x-7，
当PD=PC时，在Rt△PDF中，
，
在Rt△PCE中，，
∴=，
解得x=，
∴AP=，
综上所述，AP=7或．
（3）①当A´落在CD上时，作GE⊥CD于点E，

则S△A´CG=A´CEG，
∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC=25，AB=30，
∴BD=AD=15，CD=20，
sin∠DAC=，cos∠DAC=，
由题知A，A´关于DG对称，
∴DG是AA´的垂直平分线，
∵DG=DG，∠ADG=∠A´DG，AD=A´D=15，
∴△ADG≌△A´DG(SAS)，A´C=5，
∴sin∠GA´E= sin∠GAE=，cos∠GA´E=cos∠GAE=，
设A´G=x，则CG=25-x，
∴GE=x，A´E=x，
∴CE=x+5，
∵△CGE为直角三角形，
∴，
解得x=，
∴GE=，
∴S△A´CG=A´CEG=×5×=；
②当A´落在BC上时，作GE⊥BC于点E，A´A与DG的交点为F，

则S△A´CG=A´CEG，
∵A，A´关于DG对称，
∴点F为AA´的中点，
∵D为AB的中点，
则在△ABA´中，DF为中位线，
∴DF∥BA´，且DF=BA´，
∵∠AFD=90°，
∴∠AA´B=90°，
∵CD=20，BC=25，AB=30
∴sin∠ABA´=，cos∠ABA´=，
∴BA´=30×=24，
∴A´C=25-18=7，
∵AA´⊥BC，GE⊥BC，
∴GE∥AA´，
∵DF∥BA´，
∴FG∥A´E，
∵∠AA´C=90°，
∴四边形FA´EG为矩形，
∴GE=FA´=AA´=×24=12，
∴S△A´CG=A´CEG=×7×12=42．
③当A´落在BD上时，此时DA=DA´=15，
∴A´与B点重合，
∵AP∥ BC，
∴该情况不存在，
综上所述，的面积为或42．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识点．解题的关键是运用分类讨论思想进行解题．
24．（1）y＝x+4；（2）见解析；（3）存在，点N（﹣，0）或（，0）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意证明△CHB≌△BOA（AAS），即可求解；
（2）求出B、E、D的坐标分别为（-1，0）、
解析：（1）y＝x+4；（2）见解析；（3）存在，点N（﹣，0）或（，0）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意证明△CHB≌△BOA（AAS），即可求解；
（2）求出B、E、D的坐标分别为（-1，0）、（0，）、（1，-1），即可求解；
（3）求出BC表达式，将点P代入，求出a值，再根据AC表达式求出M点坐标，由S△BMC=MB×yC=×10×2=10，S△BPN＝S△BCM=5＝ NB×a=可求解．
【详解】
解：（1）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，
则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（﹣2，0），
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BCH，
∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，
在△CHB和△BOA中，
，
∴△CHB≌△BOA（AAS），
∴BH＝OA＝4，CH＝OB=2，
∴ 点C（﹣6，2），
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y= m x+ b得：，
解得：，
故直线AC的表达式为：y＝x+4；

（2）同理可得直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣1①，则点E（0，﹣1），
直线AD的表达式为：y＝﹣3x+4②，
联立①②并解得：x＝2，即点D（2，﹣2），
点B、E、D的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣1）、（2，﹣2），
故点E是BD的中点，即BE＝DE；
（3）将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x-1，
将点P（﹣，a）代入直线BC的表达式得：，
直线AC的表达式为：y＝x+4，
令y=0，则x=-12，则点M（﹣12，0），
S△BMC＝MB×y C＝×10×2=10，
S△BPN＝S△BCM=5＝NB×a=，
解得：NB＝，
故点N（﹣，0）或（，0）．
【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、求函数表达式、面积的计算等，综合性较强，理清题中条件关系，正确求出点的坐标是解题的关键.
25．（1）A（﹣3，0），B（1，0），CD＝2；（2）证明见详解；（3）6，理由见详解；
【分析】
（1）由题意可知：a=-3，b=1,OA＝3，OB＝1，AB＝BC＝AC＝4，在Rt△ODB中，求出
解析：（1）A（﹣3，0），B（1，0），CD＝2；（2）证明见详解；（3）6，理由见详解；
【分析】
（1）由题意可知：a=-3，b=1,OA＝3，OB＝1，AB＝BC＝AC＝4，在Rt△ODB中，求出OD，DB即可解决问题．
（2）如图2中，连接EC，设BE交PC于K．由△ACP≌△BCE（SAS），推出∠APC＝∠CEB，可证∠KBP＝∠KCE＝60°勾股定理求出OF，可得D，F关于x轴对称，即可解决问题；
（3）如图3中，作DH⊥AC于H．想办法证明△DHM≌△DON即可解决问题；
【详解】
解：（1）∵
∴
∴a=-3，b=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴OA＝3，OB＝1，
∴AB＝BC＝AC＝4，
在Rt△ODB中，

∴CD＝BC﹣BD＝2．
（2）如图2中，连接EC，设BE交PC于K．

∵CP＝PE，∠CPE＝60°，
∴△CPE是等边三角形，
∴∠PCE＝60°，CP＝CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠PCE＝60°，
∴∠ACP＝∠BCE，
∵CA＝CB，CP＝CE，
∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴∠APC＝∠CEB，
∵∠PKB＝∠EKC，∠ECK+∠CKE+∠CEK＝180°，∠KBP+∠PKB+∠KPB＝180°，
∴∠KBP＝∠KCE＝60°，
∴∠OBF＝∠PBK＝60°，
∵∠BOF＝90°，OB＝1，
∴BF＝2
∴OF＝，
∵
∴OD＝OF，
∴D，F关于x轴对称，
∴直线EB必过点D关于x轴的对称点．
（3）是定值，理由如下：
如图3中，作DH⊥AC于H．

在Rt△CDH中，
∵∠CHD＝90°，∠C＝60°，CD＝2，
∴CH＝1，
∴DH＝，
∴AH＝3，
∵OD，
∴DH＝OD，
∵∠DHM＝∠DON，∠M＝∠DNO，
∴△DHM≌△DON（AAS），
∴HM＝ON，
∴AN﹣AM＝OA+ON﹣（HM﹣AH）＝3+3＝6．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．