初中数学中点模型的构造及应用.doc

中点模型的构造及应用
一、遇到以下情况考虑中点模型：
Ø 任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段
Ø 出现两个或三个中点考虑三角形中线定理
Ø 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
Ø 已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”
Ø 有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型
Ø 三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1
二、中点模型辅助线构造方法分类
（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）
当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：ADC≌EDB。作用：转移线段和角。

（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）
当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图，在ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：BED≌CFD。作用：转移线段和角。

（三）直角三角形斜边中线法
当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。
如下图，在RtABC中，，D为AB中点，则有：

（四）等腰三角形三线合一
当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。
在ABCD中:（1）AC=BC=；（2）CD平分Ð；（3）AD=BD=，（4） “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。

（五）中位线法
当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。
如图，在ABC中，D，E分别是AB、AC边中点，则有，。

三、练习
（一）倍长中线法
1.（2014秋•津南区校级期中）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．

2. （2017•湘潭）如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数

3.（2017江西萍乡，15）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：CF＝AD；
（2）若CA＝CB，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．

4.（2014•鄂尔多斯）如图1，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．且∠AEC＝2∠ABE．连接BF、AC．
（1）求证：四边形ABFC的是矩形；
（2）在图1中，若点M是BF上一点，沿AM折叠△ABM，使点B恰好落在线段DF上的点B′处（如图2），AB＝13，AC＝12，求MF的长．

5.（2017•贵阳,24）（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB、AD、DC之间的等量关系为____________；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC＝2：3，点D在线段AE上，且∠EDF＝∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．

（二）倍长类中线法
1.（2016秋•江都区期中）已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD．

2.（2017•重庆，24）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若，BC＝5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．

3.（2017•山西，17）已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF．连接EF，与对角线AC交于点O．
求证：OE＝OF．

（三）直角三角形斜边中线法
1.（2016•乌鲁木齐，9）如上图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把这个直角三角形沿CE折叠后，使点B恰好落到斜边AC的中点O处，若BC＝3，则折痕CE的长为（ ）
A. B. C. D.6

2. （2015•乌鲁木齐，9）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（ ）
A． B.
C. D.

3.（2017•新疆，22）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当BE＝3时，求图中阴影部分的面积

4. （2017•北京，22）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．

5. （2015北京东城，23）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC＝2DE，求sin∠CDB的值

（四）等腰三角形三线合一
1.（2017•荆州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A.30° B.45°
C.50° D.75°

2.（2017•陕西，9）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为（ ）
A.5 B.
C. D.

3.（2017•呼和浩特，18）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．
（1）求证：BD＝CE；
（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．

（五）中位线法
1.（2015•郑州）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝12，BD＝8，CD＝6，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A.14 B.18 C.20 D.22

2.（2013•乌鲁木齐，15）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为________．

3.（2017•遵义）如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A.4.5 B.5 C.5.5 D.6

4.（2017•天津，17）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为______．

5.（2014春•硚口区期末）如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点．
（1）求证：MD和NE互相平分；
（2）若BD⊥AC，EM＝，OD＋CD＝7，求△OCB的面积．

6.（2017•云南，20）如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．

7.（2017•长春）【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．
【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：__________．（只添加一个条件）
（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO＝OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为______.

8.（2015•巴东县模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB＝，则当∠ABC＋∠DCB＝90°时，求四边形EGFH的面积．

3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X
Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√

A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)