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.总结 离散数学知识点第二章 命题逻辑1. ，前键为真，后键为假才为假；，相同为真，不同为假；2. 主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3. 求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4. 求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5. 求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6. 真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7. n个变元共有个极小项或极大项，这为(0-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8. 永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9. 推证蕴含式的方法(=)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 真值表法；直接证法；归谬法；附加前提法；第三章 谓词逻辑1. 一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2. 全称量词用蕴含，存在量词用合取;3. 既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章 集合1. N，表示自然数集，1,2,3，不包括0；2. 基：集合A中不同元素的个数，|A|；3. 幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4. 若集合A有n个元素，幂集P(A)有个元素，|P(A)|=；5. 集合的分划：(等价关系) 每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； 这几个子集相交为空，相并为全(A)；6. 集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章 关系1. 若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔AB的基数为mn，A到B上可以定义种不同的关系；2. 若集合A有n个元素，则|AA|=，A上有个不同的关系；3. 全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4. 前域(domR)：所有元素x组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5. 自反闭包：r(R)=RU; 对称闭包：s(R)=RU; 传递闭包：t(R)=RUUU6. 等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7. 偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8. covA=|x,y属于A，y盖住x；9. 极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)； 极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)； 最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)； 最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10. 前提：B是A的子集 上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)； 下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)； 上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)； 下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章 函数1. 若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有种不同的关系，有种不同的函数；2. 在一个有n个元素的集合上，可以有种不同的关系，有种不同的函数，有n!种不同的双射；3. 若|X|=m,|Y|=n，且m=n，则从X到Y有种不同的单射；4. 单射：f:X-Y，对任意,属于X,且，若f()f()； 满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应； 双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5. 复合函数：fg=g(f(x);6. 设函数f:A-B，g:B-C，那么 如果f,g都是单射，则fg也是单射； 如果f,g都是满射，则fg也是满射； 如果f,g都是双射，则fg也是双射； 如果fg是双射，则f是单射，g是满射；第七章 代数系统1. 二元运算：集合A上的二元运算就是到A的映射；2. 集合A上可定义的二元运算个数就是从AA到A上的映射的个数，即从从AA到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为=16种；3. 判断二元运算的性质方法：封闭性：运算表内只有所给元素；交换律：主对角线两边元素对称相等；幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4. 同态映射：,满足f(a*b)=f(a)f(b),则f为由到的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章 群1. 广群的性质：封闭性； 半群的性质：封闭性，结合律； 含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元； 群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2. 群没有零元；3. 阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4. 循环群中幺元不能是生成元；5. 任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章 格与布尔代数1. 格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2. 格的基本性质： 1) 自反性 aa 对偶: aa 2) 反对称性 ab ba = a=b 对偶:ab ba = a=b 3) 传递性 ab bc = ac 对偶:ab bc = ac 4) 最大下界描述之一 aba 对偶 avba Abb 对偶 avbb 5）最大下界描述之二 ca,cb = cab 对偶ca,cb =cavb 6) 结合律 a(bc)=(ab)c 对偶 av(bvc)=(avb)vc 7) 等幂律 aa=a 对偶 ava=a 8) 吸收律 a(avb)=a 对偶 av(ab)=a 9) ab ab=a avb=b 10) ac,bd = abcd avbcvd 11) 保序性 bc = abac avbavc 12） 分配不等式 av(bc)(avb)(avc) 对偶 a(bvc)(ab)v(ac) 13）模不等式 ac av(bc)(avb)c3. 分配格：满足a(bvc)=(ab)v(ac)和av(bc)=(avb)(avc)；4. 分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6. 全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格A,的全上界，记为1；(若存在则唯一) 全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格A,的全下界，记为0；(若存在则唯一)7. 有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8. 补元：在有界格内，如果ab=0,avb=1，则a和b互为补元；9. 有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10. 有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11. 布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章 图论1. 邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2. 关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3. 平凡图：只有一个孤立点构成的图；4. 简单图：不含平行边和环的图；5. 无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图； 有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6. 无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7. r-正则图：每个节点度数均为r的图；8. 握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9. 任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10. 任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11. 每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12. 可达：对于图中的两个节点,，若存在连接到的路，则称与相互可达，也称与是连通的；在有向图中，若存在到的路，则称到可达；13. 强连通：有向图章任意两节点相互可达； 单向连通：图中两节点至少有一个方向可达； 弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14. 点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集； 割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15. 关联矩阵：M(G)，是与关联的次数，节点为行，边为列； 无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2； 有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1， 关联矩阵的特点：无向图： 行：每个节点关联的边，即节点的度； 列：每条边关联的节点；有向图： 所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，是邻接到的边的数目，点为行，点为列；17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+(G)+(G)+(G) 可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路； A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数； (G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数； (G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数； (G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18. 布尔矩阵：B(G)，到有路为1，无路则为0，点为行，点为列；19. 代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20. 生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21. 构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先； 深度优先： 选定起始点； 选择一个与邻接且未被访问过的节点； 从出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先： 选定起始点； 访问与邻接的所有节点,这些作为第一层节点； 在第一层节点中选定一个节点为起点； 重复，直到所有节点都被访问过一次；22. 最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23. 构造最小生成树的三种方法： 克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法； （1）克鲁斯卡尔方法 将所有权值按从小到大排列； 先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序； 再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序； 重复，直到所有节点都被访问过一次； （2）管梅谷算法(破圈法) 在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图； 在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图； 重复，直到所有节点都被访问过一次； （3）普利姆算法 在图中任取一点为起点，连接边值最小的邻接点； 以邻接点为起点，找到邻接的最小边值，如果最小边值比邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回，连接现在的最小边值(除已连接的边值)； 重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24. 关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间 TE(v1)=0 TE(v2)=max0+1=1 TE(v3)=max0+2,1+0=2 TE(v4)=max0+3,2+2=4 TE(v5)=max1+3,4+4=8 TE(v6)=max2+4,8+1=9 TE(v7)=max1+4,2+4=6 TE(v8)=max9+1,6+6=12最晚完成时间 TL(v8)=12 TL(v7)=min12-6=6 TL(v6)=min12-1=11 TL(v5)=min11-1=10 TL(v4)=min10-4=6 TL(v3)=min6-2,11-4,6-4=2 TL(v2)=min2-0,10-3,6-4=2 TL(v1)=min2-1,2-2,6-3=0缓冲时间 TS(v1)=0-0=0 TS(v2)=2-1=1 TS(v3)=2-2=0 TS(v4)=6-4=2 TS(v5=10-8=2 TS(v6)=11-9=2 TS(v7)=6-6=0 TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825. 欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路； 欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路； 欧拉图：具有欧拉回路的图； 单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路； 欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26. （1）无向图中存在欧拉路的充要条件： 连通图；有0个或2个奇数度节点； （2）无向图中存在欧拉回路的充要条件： 连通图；所有节点度数均为偶数； （3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：除两个节点外，每个节点入度=出度；这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4） 连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件： 图中每个节点的出度=入度；27. 哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路； 哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路； 哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28. 判定哈密顿图（没有充要条件） 必要条件： 任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n； 充分条件： 图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29. 哈密顿图的应用：安排圆桌会议； 方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30. 平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31. 面次：面的边界回路长度称为该面的次；32. 一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33. 欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则 v-e+r=2；34. 判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图) 设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v=3，则e=1)； 深度为k的二叉树的节点总数最多为-1个，最少k个(k=1)； 如果有个叶子，个2度节点，则=+1； 42.二叉树的节点遍历方法： 先根顺序（DLR）； 中根顺序（LDR）； 后根顺序（LRD）； 43. 哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44. 最优二叉树的构造方法： 将给定的权值按从小到大排序； 取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值； 重复，直达所有权值构造完毕；45. 哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值； 每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；整理文本