资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，点，为直线上的两点，过，两点分别作轴的平行线交双曲线（）于、两点.若，则的值为（ ）
A．12 B．7 C．6 D．4
2．已知点，在双曲线上.如果，而且，则以下不等式一定成立的是( )
A． B． C． D．
3．函数与函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
4．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE与△ABC相似的条件是（ ）
A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D．
6．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．2020年的除夕是晴天 B．太阳从东边升起
C．打开电视正在播放新闻联播 D．在一个都是白球的盒子里，摸到红球
7．如图，⊙O的半径为1，点 O到直线 的距离为2，点 P是直线上的一个动点，PA切⊙O于点 A，则 PA的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝1．则△PEF的周长为（ ）
A．1 B．15 C．20 D．25
9．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
10．下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．三角形内角和小于180° B．两实数之和为正
C．买体育彩票中奖 D．抛一枚硬币2次都正面朝上
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 .
12．已知，则=_____________.
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=20，请用含α的式子表示BC的长___________．
14．已知，则＝_____．
15．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上， ， ， ，则__________．
16．某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角为；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角为，则改造后的斜坡式自动扶梯的长度约为________．
(结果精确到，温馨提示：，，)
17．将一枚标有数字1、2、3、4、5、6的均匀正方体骰子抛掷一次，则向上一面数字为奇数的概率等于_____．
18．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是 ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知二次函数（k是常数）
(1)求此函数的顶点坐标.
(2)当时，随的增大而减小，求的取值范围.
(3)当时，该函数有最大值，求的值.
20．（6分）春节前，某超市从厂家购进某商品，已知该商品每个的成本价为30元，经市场调查发现，该商品每天的销售量 (个)与销售单价 (元) 之间满足一次函数关系，当该商晶每个售价为40元时，每天可卖出300个；当该商晶每个售价为60元时，每天可卖出100个．
（1）与之间的函数关系式为__________________(不要求写出的取值范围) ；
（2）若超市老板想达到每天不低于220个的销售量，则该商品每个售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
21．（6分）如图，已知直线AB与轴交于点C，与双曲线交于A（3，）、B（-5，）两点.AD⊥轴于点D，BE∥轴且与轴交于点E.
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由.
22．（8分）如图，已知BC^AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD×AO=AM×AP，连接OP．
（1）证明：MD//OP；
（2）求证：PD是⊙O的切线；
（3）若AD=24，AM=MC，求的值．
23．（8分）三个小球上分别标有数字﹣2，﹣1，3，它们除数字外其余全部相同，现将它们放在一个不透明的袋子里，从袋子中随机地摸出一球，将球上的数字记录，记为m，然后放回；再随机地摸取一球，将球上的数字记录，记为n，这样确定了点(m，n)．
（1）请列表或画出树状图，并根据列表或树状图写出点(m，n)所有可能的结果；
（2）求点(m，n)在函数y＝x的图象上的概率．
24．（8分）如图，是⊙的直径，，是的中点，连接并延长到点，使.连接交⊙于点，连接.
（1）求证：直线是⊙的切线；
（2）若，求⊙的半径.
25．（10分）对于平面直角坐标系中，已知点A（-2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当PA＝PB时，称点P为线段AB的正可视点．
图1 备用图
（1） ①如图1，在点P1（3，6），P2（-2，-5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是 ；
②若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：__________．
（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；
（3）在直线y＝-x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．
26．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB的值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．设A、B的横坐标分别是a，b，点A、B为直线y=x上的两点，A的坐标是(a，a)，B的坐标是(b，b)．则AE=OE=a，BF=OF=b．根据BD=2AC即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．
【详解】延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．
设A、B的横坐标分别是a，b．
∵点A、B为直线y=x上的两点，
∴A的坐标是(a，a)，B的坐标是(b，b)．则AE=OE=a，BF=OF=b．
∵C、D两点在交双曲线(x＞0)上，则CE，DF，
∴BD=BF﹣DF=b，AC=a．
又∵BD=2AC，
∴b2(a)，
两边平方得：b22=4(a22)，即b24(a2)﹣1．
在直角△OCE中，OC2=OE2+CE2=a2，同理OD2=b2，
∴4OC2﹣OD2=4(a2)﹣(b2)=1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数与勾股定理的综合应用，正确利用BD=2AC得到a，b的关系是关键．
2、B
【解析】根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，
而，而且同号，
所以，
即，
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了反比例函数的性质．
3、B
【分析】根据函数与函数分别确定图象即可得出答案．
【详解】∵，-2＜0，
∴图象经过二、四象限，
∵函数中系数小于0，
∴图象在一、三象限．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键．
4、B
【解析】根据配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】，
∴，
∴，
故选：B.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
5、C
【分析】由题意根据相似三角形的判定定理依次对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A、∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误；
B、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误；
C、不能判定△ADE∽△ACB，故C选项正确；
D、，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
6、B
【分析】根据必然事件和随机事件的概念进行分析．
【详解】A选项：2020年的元旦是晴天，属于随机事件，故不合题意；
B选项：太阳从东边升起，属于必然事件，故符合题意；
C选项：打开电视正在播放新闻联播，属于随机事件，故不合题意；
D选项：在一个都是白球的盒子里，摸到红球，属于不可能事件，故不合题意．
故选：B．
【点睛】
考查了确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件；注：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
7、B
【分析】因为PA为切线，所以△OPA是直角三角形．又OA为半径为定值，所以当OP最小时，PA最小．根据垂线段最短，知OP=1时PA最小．运用勾股定理求解．
【详解】解：作OP⊥a于P点，则OP=1．
根据题意，在Rt△OPA中，
AP==
故选：B．
【点睛】
此题考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PA最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．
8、C
【分析】由切线长定理知，AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝1，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．
【详解】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出△PEF的周长＝PA＋PB．
9、D
【分析】利用对应点的连线都经过同一点进行判断．
【详解】如图，位似中心为点D．
故选D．
【点睛】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．
10、A
【解析】根据三角形的内角和定理，可知：“三角形内角和等于180°”，故是不可能事件；
根据实数的加法，可知两实数之和可能为正，可能是0，可能为负，故是可能事件；
根据买彩票可能中奖，故可知是可能事件；
根据硬币的特点，抛一枚硬币2次有可能两次都正面朝上，故是可能事件.
故选A.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、2
【解析】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，
当点Q与D重合时（如图），
由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．
则点A′在BC边上移动的最大距离为3-1=2．
12、6
【分析】根据等比设k法，设，代入即可求解
【详解】∵
∴设
∴
故答案为6
【点睛】
本题考查比例的性质，遇到等比引入新的参数是解题的关键。
13、
【分析】在直角三角形中，角的正切值等于其对边与邻边的比值，据此求解即可.
【详解】在Rt△ABC中，∵∠A=α，AC=20，
∴=，即BC=.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了三角函数解直角三角形，熟练掌握相关概念是解题关键.
14、
【解析】根据题意，设x＝5k，y＝3k，代入即可求得的值．
【详解】解：由题意，设x＝5k，y＝3k，
∴＝＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查了分式的求值，解题的关键是根据分式的性质对已知分式进行变形．
15、
【分析】由，，即可求得的长，又由，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案．
【详解】解：，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定和性质，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
16、19.1
【分析】先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．
【详解】解：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=10m，
∴AD=ABsin∠ABD=10×sin30°=5（m），
在Rt△ACD中，∠ACD=15°，sin∠ACD=，
∴AC=≈≈19.1（m），
即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.1m．
故答案为：19.1．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
17、．
【分析】根据概率公式计算概率即可．
【详解】∵在正方体骰子中，朝上的数字共有6种，为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5，
∴朝上的数字为奇数的概率是＝；
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是求概率问题,掌握概率公式是解决此题的关键．
18、．
【详解】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是=．故答案为．
考点：列表法与树状图法．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）先求出顶点横坐标，然后代入解析式求出顶点纵坐标即可；
（2）根据二次函数的增减性列式解答即可；
（3）分三种情况求解：①当k＞1时，当k＜0时，当时.
【详解】解：（1）对称轴为：，
代入函数得：，
∴顶点坐标为：；
（2）∵对称轴为：x=k，二次函数二次项系数小于零，开口向下；
∴当时，y随x增大而减小；
∵当时，y随x增大而减小；
∴
（3）①当k＞1时，在中，y随x增大而增大；
∴当x=1时，y取最大值，最大值为：；
∴ k=3；
②当k＜0时，在中，y随x增大而减小；
∴当x=0时，y取最大值，最大值为：；
∴ ；∴；
③当时，在中，y随x先增大再减小；
∴当x=k时，y取最大值，最大值为：；
∴ ；解得：k=2或 -1，均不满足范围，舍去；
综上所述：k的值为-2或3.
【点睛】
本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
20、（1）；（2）该商品每个售价定为48元时，每天的销售利润最大，最大利润是3960元
【分析】(1)设y=kx+b，再根据每个售价为40元时，每天可卖出300个；当该商晶每个售价为60元时，每天可卖出100个，列方程组，从而确立y与x的函数关系为y=−10x+700；
(2)设利润为W，则，将其化为顶点式，由于对称轴直线不在之间，应说明函数的增减性，根据单调性代入恰当自变量取值，即可求出最大值．
【详解】解：(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
由题意得，，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为y=−10x+700.
故答案为.
(2)设每天销售利润为元，由题意得
由于，得
∴
又，．当时， 随着的增大而增大
∴当时，取最大值，最大值为
答：该商品每个售价定为48元时，每天的销售利润最大，最大利润是3960元.
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，同时考查了由二次函数图象的对称性及增减性分析解决实际问题的能力．
21、（1）点B的坐标是（-5，-4）；直线AB的解析式为：
（2）四边形CBED是菱形.理由见解析
【解析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A代入双曲线方程求得k值，即利用待定系数法求得双曲线方程；然后将B点代入其中，从而求得a值；设直线AB的解析式为y=mx+n，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法解答；
（2）由点C、D的坐标、已知条件“BE∥x轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，从而可以证明四边形CBED是平行四边形；然后在Rt△OED中根据勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，从而证明四边形CBED是菱形．
【详解】解：（1）∵双曲线过A（3，），∴.把B（-5，）代入,
得. ∴点B的坐标是（-5，-4）
设直线AB的解析式为，
将 A（3，）、B（-5，-4）代入得，
， 解得：.
∴直线AB的解析式为：
（2）四边形CBED是菱形.理由如下:
点D的坐标是（3,0），点C的坐标是（-2,0）.
∵ BE∥轴， ∴点E的坐标是（0,-4）.
而CD =5， BE=5，且BE∥CD.
∴四边形CBED是平行四边形
在Rt△OED中，ED2＝OE2＋OD2，∴ ED＝＝5，∴ED＝CD.
∴□CBED是菱形
22、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明，然后利用平行线的判定定理即可．
（2）欲证明PD是⊙O的切线，只要证明OD⊥PA即可解决问题；
（3）连接CD．由（2）可知：PC=PD，由AM=MC，推出AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，，可得，推出，推出，，由，可得，再利用全等三角形的性质求出MD即可解决问题；
【详解】（1）证明：连接、、．
∵，，
∴，
∴，
∴，
（2）∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线．
（3）连接．由（1）可知：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，∴，，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴点是的中点，
∴，
∵是的直径，
∴，在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质，解题关键在于构造辅助线，相似三角形解决问题.
23、（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意列表，然后写出点（m，n）所有可能的结果即可；
（2）点（m，n）所有可能的结果共有9种，符合n＝m的有3种，由概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）列表如下：
点（m，n）所有可能的结果为：（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣2），（3，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣1，﹣1），（3，﹣1），（﹣2，3），（﹣1，3）（3，3）；
（2）点（m，n）所有可能的结果共有9种，符合n＝m的有3种：（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1），（3，3），
∴点（m，n）在函数y＝x的图象上的概率为：．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法、概率公式以及一次函数的性质等知识；列表得出所有结果是解题的关键．
24、（1）见解析;（2）.
【分析】（1）连OC，根据“，AB是⊙O的直径”可得CO⊥AB，进而证明△OEC≌△BEF（SAS）即可得到∠FBE=∠COE=90°，从而证明直线是⊙的切线；
（2）由（1）可设⊙O的半径为r，则AB=2r，BF=r，在Rt∆ABF运用沟谷定理即可得.
【详解】（1）连OC.
∵，AB是⊙O的直径
∴CO⊥AB
∵E是OB的中点
∴OE=BE
又∵CE=EF，∠OEC=∠BEF
∴△OEC≌△BEF（SAS）
∴∠FBE=∠COE=90°
即AB⊥BF
∴BF是⊙O的切线.
（2）由（1）知=90°
设⊙O的半径为r，则AB=2r，BF=r
在Rt∆ABF中，由勾股定理得；，即 ，解得：r=
∴⊙O的半径为.
【点睛】
本题考查了切线的证明及圆中的计算问题，熟知切线的证明方法及题中的线段角度之间的关系是解题的关键.
25、（1）①线段AB的可视点是，； ②点P的坐标：P（0，3）（答案不唯一，纵坐标范围：≤≤6）；（2）b的取值范围是：－8≤b≤1； （3）m的取值范围：或
【分析】（1）根据题意画出图形，进一步即可得出结论；
（2）正确画出相关图形进一步证明即可；
（3）根据题意，正确画出图形，根据相关量之间的关系进一步求解即可.
【详解】（1）①线段AB的可视点是，．
②点P的坐标：P（0，3）（答案不唯一，纵坐标范围：≤≤6）．
（2）如图，直线与⊙相切时，BD是⊙直径
∴BD=.
∵BE=，
∴DE=.
∴EF==4.
∴F（0，1）
同理可得，
直线与⊙相切时，G(0，-8)
∴b的取值范围是：－8≤b≤1．
（3）m的取值范围：或
【点睛】
本题主要考查了圆的性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键,
26、.
【分析】试题分析：先在Rt△ACD中，由正切函数的定义得tanA=，求出AD=4，则BD=AB﹣AD=1，再解Rt△BCD，由勾股定理得BC==10，sinB=，cosB=，由此求出sinB+cosB=．
【详解】解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴tanA=，
∴AD=4，
∴BD=AB﹣AD=12﹣4=1．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=1，CD=6，
∴BC==10，
∴sinB=，cosB=，
∴sinB+cosB==．
故答案为
考点：解直角三角形；勾股定理．
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