人教版八年级上册压轴题模拟数学综合试卷含答案.doc

人教版八年级上册压轴题模拟数学综合试卷含答案
2．已知△ABC是等边三角形，△ADE的顶点D在边BC上
（1）如图1，若AD＝DE，∠AED＝60°，求∠ACE的度数；
（2）如图2，若点D为BC的中点，AE＝AC，∠EAC＝90°，连CE，求证：CE＝2BF；
（3）如图3，若点D为BC的一动点，∠AED＝90°，∠ADE＝30°，已知△ABC的面积为4，当点D在BC上运动时，△ABE的面积是否发生变化？若不变，请求出其面积；若变化请说明理由．

2．如图1，在平面直角坐标系中，点，，且，满足，连接，，交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）求证：；
（3）如图2，点在线段上，作轴于点，交于点，若，求证：．

3．如图，在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(0，b)，且a，b满足．
（1）直接写出______，______；
（2）连接AB，P为内一点，．
①如图1，过点作，且，连接并延长，交于．求证：；
②如图2，在的延长线上取点，连接．若，点P(2n，−n)，试求点的坐标．

4．已知，．
（1）若，作，点在内．
①如图1，延长交于点，若，，则的度数为 ；
②如图2，垂直平分，点在上，，求的值；
（2）如图3，若，点在边上，，点在边上，连接，，，求的度数．

5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称.
(1)求△ABC的面积；
(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；
(3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.

6．阅读材料1：
对于两个正实数，由于，所以，即，所以得到，并且当时，
阅读材料2：
若，则 ，因为，，所以由阅读材料1可得：，即的最小值是2，只有时，即=1时取得最小值.
根据以上阅读材料，请回答以下问题：
(1)比较大小
(其中≥1)；        -2(其中<-1)
(2)已知代数式变形为，求常数的值
(3)当= 时，有最小值，最小值为 (直接写出答案).
7．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．

8．问题引入：

(1)如图1，在中，点O是和平分线的交点，若，则______（用表示）：如图2，，，，则______（用表示）；
拓展研究：
(2)如图3，，，，猜想度数（用表示），并说明理由；
(3)BO、CO分别是的外角、的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想______（直接写出答案）．
【参考答案】
2．（1）60°；（2）见解析；（3）不变，
【分析】（1）由题意，先证△ADE是等边三角形，再证△BAD≌△CAE，得∠ACE=∠B=60°；
（2）由题意，先求出∠BEC=30°，然后求出∠CF
解析：（1）60°；（2）见解析；（3）不变，
【分析】（1）由题意，先证△ADE是等边三角形，再证△BAD≌△CAE，得∠ACE=∠B=60°；
（2）由题意，先求出∠BEC=30°，然后求出∠CFE=90°，利用直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半，即可得证；
（3）延长AE至F，使EF=AE，连DF、CF，先证明△ADF是等边三角形，然后证明△EGF≌△EHA，结合HG是定值，即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，
∵AD＝DE，∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴，
即，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠B=60°；
（2）连CF，如图：

∵AB=AC=AE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BAC=60°，∠EAC=90°，
∴∠BAE=150°，
∴∠AEB=∠ABE=15°；
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°，
∴∠BEC=30°，∠EBC=45°，
∵AD垂直平分BC，点F在AD上，
∴CF=BF，
∴∠FCB=∠EBC=45°，
∴∠CFE=90°，
在直角△CEF中，∠CFE=90°，∠CEF=30°，
∴CE=2CF=2BF；
（3）延长AE至F，使EF=AE，连DF、CF，如图：

∵∠AED＝90°，EF=AE，
∴DE是中线，也是高，
∴△ADF是等腰三角形，
∵∠ADE＝30°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADF是等边三角形；
由（1）同理可求∠ACF=∠ABC=60°，
∴∠ACF=∠BAC=60°，
∴CF∥AB，
过E作EG⊥CF于G，延长GE交BA的延长线于点H，
易证△EGF≌△EHA，
∴EH=EG=HG，
∵HG是两平行线之间的距离，是定值，
∴S△ABE＝S△ABC＝；
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
3．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】（1）由非负性可求a，b的值，即可求解；
（2）由“SAS”可证△ABP≌△BCQ，可得AB=BC，∠BAP=∠CBQ，可证△ABC是等腰直
解析：（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】（1）由非负性可求a，b的值，即可求解；
（2）由“SAS”可证△ABP≌△BCQ，可得AB=BC，∠BAP=∠CBQ，可证△ABC是等腰直角三角形，可得∠BAC=45°，可得结论；
（3）由“AAS”可证△ATO≌△EAG，可得AT=AE，OT=AG，由“SAS”可证△TAD≌△EAD，可得TD=ED，∠TDA=∠EDA，由平行线的性质可得∠EFD=∠EDF，可得EF=ED，即可得结论．
【详解】解：（1）∵a2-2ab+2b2-16b+64=0，
∴（a-b）2+（b-8）2=0，
∴a=b=8，
∴b-6=2，
∴点C（2，-8）；
（2）∵a=b=8，
∴点A（0，6），点B（8，0），点C（2，-8），
∴AO=6，OB=8，
如图1，过点B作PQ⊥x轴，过点A作AP⊥PQ，交PQ于点P，过点C作CQ⊥PQ，交PQ于点Q，

∴四边形AOBP是矩形，
∴AO=BP=6，AP=OB=8，
∵点B（8，0），点C（2-8），
∴CQ=6，BQ=8，
∴AP=BQ，CQ=BP，
又∠APB=∠BCQ
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴AB=BC，∠BAP=∠CBQ，
∵∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠ABP+∠CBQ=90°，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵∠OAD+∠ADO=∠OAD+∠BAC+∠ABO=90°，
∴∠OAC+∠ABO=45°；
（3）如图2，过点A作AT⊥AB，交x轴于T，连接ED，

∴∠TAE=90°=∠AGE，
∴∠ATO+∠TAO=90°=∠TAO+∠GAE=∠GAE+∠AEG，
∴∠ATO=∠GAE，∠TAO=∠AEG，
又∵EG=AO，
∴△ATO≌△EAG（AAS），
∴AT=AE，OT=AG，
∵∠BAC=45°，
∴∠TAD=∠EAD=45°，
又∵AD=AD，
∴△TAD≌△EAD（SAS），
∴TD=ED，∠TDA=∠EDA，
∵EG⊥AG，
∴EG∥OB，
∴∠EFD=∠TDA，
∴∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
∴EF=ED=TD=OT+OD=AG+OD，
∴EF=AG+OD．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
4．（1）3，；（2）①见解析；②的坐标为(，)
【分析】（1）先利用幂的乘方和积的乘方化简，再利用单项式的性质求解即可；
（2）①连接AC，过点B作BN⊥BP，交CP的延长线于点N，利用SAS证明
解析：（1）3，；（2）①见解析；②的坐标为(，)
【分析】（1）先利用幂的乘方和积的乘方化简，再利用单项式的性质求解即可；
（2）①连接AC，过点B作BN⊥BP，交CP的延长线于点N，利用SAS证明△OPB≌△OCA，再证明△BNP为等腰直角三角形，利用AAS证明△ACD≌△BND，即可证明AD=DB；
②作出如图所示的辅助线，证明△BMP为等腰直角三角形，利用AAS证明△PBF≌△MPE，求得E(2n，n) ，M(3n−3，n)，证明点M，E关于y轴对称，得到3n−3+2n=0，即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，，
解得：，，
故答案为：3，；
（2）①连接AC，

∵∠COP=∠AOB=90°，
∴∠COP-∠AOP =∠AOB-∠AOP，
∴，
在△OPB和△OCA中，
，
∴△OPB≌△OCA(SAS)，
∴AC=BP，∠OCA=∠OPB=90°，
过点B作BN⊥BP，交CP的延长线于点N，
∵∠COP=90°，OP=OC，
∴∠OCP=∠OPC=∠ACP=45°，
∵∠OPB=90°，
∴∠BPN=45°，
∴△BNP为等腰直角三角形，
∴∠BPN=∠N=45°，
∴BN=BP=AC，
在△ACD和△BND中，
，
∴△ACD≌△BND(AAS)，
∴AD=DB；
②∵∠AOB=90°，AO=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵∠MBO=∠ABP，
∴∠MBO+∠OBP=∠ABP+∠OBP=∠OBA=45°，
∴∠MBP=45°，
∵OP⊥BP，
∴△BMP为等腰直角三角形，
∴MP=BP，
过点P作y轴的平行线EF，分别过M，B作ME⊥EF于E，BF⊥EF于F，EF交x轴于G，ME交y轴于H，连接OE，

∴∠MPE+∠EMP=∠MPE +∠FPB=90°，
∴∠EMP=∠FPB，
在△PBF和△MPE中，
，
∴△PBF≌△MPE(AAS)，
∴BF=EP，PF=ME，
∵P(2n，−n)，
∴BF=EP=EH=2n，PG=EG=n，PF=ME=3−n，
∴MH=ME-EH=3−n−2n=3−3n，
∴E(2n，n) ，M(3n−3，n)，
∴点P，E关于x轴对称，
∴OE=OP，∠OEP=∠OPE，
同理OM=OE，点M，E关于y轴对称，
∴3n−3+2n=0，
解得，即点M的坐标为(，)．
【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用全等三角形的性质解决问题．
5．（1）①15°；②；（2）
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质，连接，得，，所对的直角边是斜边的一半，可得，所以可得，，，和是等腰三角形，由外角性质计算可得；
②构造“一线三垂直”模型，证
解析：（1）①15°；②；（2）
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质，连接，得，，所对的直角边是斜边的一半，可得，所以可得，，，和是等腰三角形，由外角性质计算可得；
②构造“一线三垂直”模型，证明三角形，利用面积比等于等高的三角形的底边的比，结合已知条件即可解得．
（2）构造等边，通过证明，等边代换，得出等腰三角形，代入角度计算即得．
【详解】（1）①连接ＡＥ，在，因为，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．

②过Ｃ作交ＤＦ延长线于Ｇ，连接ＡＥ
ＡＤ垂直平分ＢＥ，
，
，
，
，

故答案为：；

（2）以AB向下构造等边，连接DK，
延长AD，BK交于点T，
，，
，
，
，，
等边中，，，
，，
在和中，

，

等边三角形三线合一可知，BD是边AK的垂直平分线，
，
，
，
，
故答案为：．

【点睛】考查了等腰直角三角形的性质，外角的性质，等腰三角形的判定和性质，构造等边三角形的方法证明全等，全等三角形的性质应用很关键，熟记几何图形的性质和判定是解决图形问题的重要方法依据．
6．（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.
【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；
(2) 过E作EF⊥x轴于点
解析：（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.
【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；
(2) 过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H，证△DEF≌△BDO，得出EF＝OD＝AF，有，得出∠BAE＝90°.
(3)由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离.再由，在直角三角形中,
即可得解.
【详解】解：（1）由已知条件得：
            AC=12，OB=6
       ∴
（2）过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H,

∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=DB, ∠BDE=90°,
∴
∵
∴
∴
∵EF轴，
∴
∴DF=BO=AO,EF=OD
∴AF=EF
∴
∴∠BAE＝90°
（3）由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长，

∵，OA=6，
∴OM+ON=3
【点睛】本题考查的知识点主要是直角三角形的性质及应用，轴对称在最短路径问题中的应用，弄懂题意，作出合理的辅助线是解题的关键.
7．（1）；（2）；（3）0，3．
【分析】（1）根据求差法比较大小，由材料1可知将结果用配方法变形即可得出结论.
（2）根据材料（2）的方法，把代数式变形为，解答即可；
（3）先将变形为,由材料
解析：（1）；（2）；（3）0，3．
【分析】（1）根据求差法比较大小，由材料1可知将结果用配方法变形即可得出结论.
（2）根据材料（2）的方法，把代数式变形为，解答即可；
（3）先将变形为,由材料（2）可知时（即x=0，）有最小值．
【详解】解：（1），所以；
当时，由阅读材料1可得，，
所以；
（2）

，
所以；
（3）

∵x≥0，
∴
即：当时，有最小值，
∴当x=0时，有最小值为3.
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和配方法的应用．读懂材料并加以运用是解题的关键．
8．（1）30°；（2）见解析；（3）是定值，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出，，，由等式的性质就可以，根据就可以得出；
（3
解析：（1）30°；（2）见解析；（3）是定值，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出，，，由等式的性质就可以，根据就可以得出；
（3）分情况讨论：当点在线段上时，如图1，由（2）可知，就可以求出结论；当点在线段的延长线上时，如图2，可以得出而有而得出结论；当点在线段的延长线上时，如图3，通过得出同样可以得出结论．
【详解】解：（1）是等边三角形，
．
线段为边上的中线，
，
．
故答案为：30°；
（2）与都是等边三角形，
，，，
，
．
在和中，
，
；
（3）是定值，，
理由如下：
①当点在线段上时，如图1，

由（2）可知，则，
又，
，
是等边三角形，线段为边上的中线，
平分，即，
．
②当点在线段的延长线上时，如图2，

与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
．
③当点在线段的延长线上时，如图3，

与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
，，
．
综上，当动点在直线上时，是定值，．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
9．(1)，
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）由角平分线的定义得，则，再利用三角形内角和定理可得答案；
（2）根据三角形内角和定理得，而，代入化简即可；
（3）由（2）同理可得答案．
解析：(1)，
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）由角平分线的定义得，则，再利用三角形内角和定理可得答案；
（2）根据三角形内角和定理得，而，代入化简即可；
（3）由（2）同理可得答案．
(1)
解：点是和平分线的交点，
，
，
在中，
，
，
，
，
故答案为：；
在中，，
，
，
，
，
故答案为：；
(2)
解：，理由如下：
，，，
，
，
，
，
；
(3)
解：在中，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是采取类比的方法，同时渗透了整体思想．