资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．以下、、、四个三角形中，与左图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，最简二次根式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，内接于⊙，， ，则⊙半径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
4．如图，为线段上一动点（点不与点、重合），在线段的同侧分别作等边和等边，连结、，交点为．若，求动点运动路径的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，二次函数y＝ax1+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①1a+b＝0；②4a﹣1b+c＜0；③b1﹣4ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞1．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．1个 D．1个
8．正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( )
A． B． C． D．
9．对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞2时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3） D．图象与x轴有两个交点
10．如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是（ ）
A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1:9
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m，n于点B、C，连接AC、BC，若∠1=30°，则∠2=_____．
12．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_____．
13．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面积为__________．（结果保留π）
14．已知，则_____．
15．如图，过原点的直线与反比例函数（）的图象交于，两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点．为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结．若是线段中点，的面积为4，则的值为______．
16．如图，平行四边形分别切于点，连接并延长交于点，连接与刚好平行，若，则的直径为______．
17．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为____．
18．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为_____米．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）如果BC=， AC=3，求CD的长．
20．（6分）某学校的学生为了对小雁塔有基本的认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量．测量方法如下：如图，间接测得小雁塔地部点D到地面上一点E的距离为115.2米，小雁塔的顶端为点B，且BD⊥DE，在点E处竖直放一个木棒，其顶端为C，CE＝1.72米，在DE的延长线上找一点A，使A、C、B三点在同一直线上，测得AE＝4.8米．求小雁塔的高度．
21．（6分）如图，抛物线经过点A（1,0），B（4,0）与轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（8分）阅读下列材料，关于x的方程：x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x﹣＝c﹣的解是x1＝c，x2＝﹣；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；……
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+＝c+（a≠0）与它们的关系猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．
（2）可以直接利用（1）的结论，解关于x的方程：x+＝a+．
23．（8分）已知
（1）化简A；
（2）若点P（a，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，求A的值．
24．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是 ．
（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率．
25．（10分）如图1，为等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点，底交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）如图2，连接，交于点，点是弧的中点，若，，求的半径．
26．（10分）如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆的高度：将一根米高的标杆竖直放在某一位置，有一名同学站在处与标杆底端、旗杆底端成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学离标杆米，离旗杆米．如果站立的同学的眼睛距地面米，过点作于点，交于点，求旗杆的高度．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．
【详解】设小正方形的边长为1，根据勾股定理，所给图形的边分别为，，，
所以三边之比为
A、三角形的三边分别为、、，三边之比为::，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为、、，三边之比为，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为、、，三边之比为，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为、、，三边之比为，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的关键．
2、A
【分析】根据最简二次根式的条件进行分析解答即可．
【详解】解：不是最简二次根式，是最简二次根式.
故选A.
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3、C
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB＝OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．
【详解】解：连接OB，OC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°．
∵OB＝OC，BC＝1，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝1．
故选：C.
【点睛】
本题考查的是圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
4、B
【分析】根据题意分析得出点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧，当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值，过点P作OP⊥AB，取AQ的中点E作OE⊥AQ交PQ于点O，连接OA，设半径长为R，则根据勾股定列出方程求出R的值，再根据弧长计算公式l=求出l值即可.
【详解】解：依题意可知，点Q运动的轨迹是以AB为弦的一段圆弧，当点P运动到AB的中点处时PQ取得最大值，如图所示，连接PQ，取AQ的中点E作OE⊥AQ交直线PQ于点O，连接OA，OB.
∵P是AB的中点，
∴PA=PB=AB=6=3.
∵和是等边三角形，
∴AP=PC,PB=PD,∠APC=∠BPD=60°，
∴AP=PD，∠APD=120°.
∴∠PAD=∠ADP=30°，
同理可证：∠PBQ=∠BCP=30°，
∴∠PAD=∠PBQ.
∵AP=PB,
∴PQ⊥AB.
∴tan∠PAQ==
∴PQ= .
在Rt△AOP中，
即
解得：OA= .
∵sin∠AOP===
∴∠AOP=60°.
∴∠AOB=120°.
∴l=== .
故答案选B.
【点睛】
本题考查了弧长计算公式，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数等知识，综合性较强，明确点Q的运动轨迹是一段弧是解题的关键.
5、B
【解析】由旋转的性质和正方形的性质可得∠FOC＝40°，AO＝OD＝OC＝OF，∠AOC＝90°，再根据等腰三角形的性质可求∠OFA的度数．
【详解】∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴∠FOC＝40°，AO＝OD＝OC＝OF，∠AOC＝90°
∴∠AOF＝130°，且AO＝OF，
∴∠OFA＝25°
故选B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．
6、A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】从上面看易得上面一层有3个正方形，下面左边有一个正方形．
故选A．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
7、B
【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】∵二次函数y＝ax1+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，得1a+b＝0，故①正确；
当x＝﹣1时，y＝4a﹣1b+c＜0，故②正确；
该函数图象与x轴有两个交点，则b1﹣4ac＞0，故③正确；
∵二次函数y＝ax1+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），
∴点A（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3，故④错误；
故选B．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
8、C
【分析】加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
【详解】解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，
∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，
∴y=（x+4）2-16=x2+8x，
故选：C．
【点睛】
本题考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．
9、B
【分析】根据二次函数的性质对进行判断；通过解方程﹣（x﹣2）2﹣3＝0对D进行判断即可.
【详解】∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故选项A错误；
当x＝2时，该函数取得最大值，最大值是﹣3，故选项B正确；
图象的顶点坐标为（2，﹣3），故选项C错误；
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2﹣3，即,无解，故选项D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，把求二次函数与轴的交点问题转化为解关于的一元二次方程问题可求得交点横坐标，牢记其的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键．
10、A
【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1:3，
∴它们的对应中线之比为1:3.
故选A.
点睛: 本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比,掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、75°
【解析】试题解析：∵直线l1∥l2，
∴
故答案为
12、x＜﹣1或x＞1．
【分析】利用二次函数的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点坐标为（-1，0），
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴当时，的取值范围为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
13、9﹣3π
【解析】试题解析：连结AD．
∵直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，
∴∠C=60°，AB=6，
∵AD=AC，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∴图中阴影部分的面积=
14、
【分析】由已知可得x、y的关系，然后代入所求式子计算即可.
【详解】解：∵，∴，∴.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了比例的性质和代数式求值，属于基本题型，掌握求解的方法是关键.
15、
【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，
可得AD∥OE，进而可得S△ACE=S△AOC；设点A（m， ），由已知条件D是线段AC中点，DH∥AF，可得2DH=AF，则点D（2m，），证明△DHC≌△AGD，得到S△HDC=S△ADG，所以S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC=k+k+=8；即可求解；
【详解】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，
∵过原点的直线与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE=OA，
∴∠OAE=∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD∥OE，
∴S△ACE=S△AOC，
∵D是线段AC中点，的面积为4，
∴AD=DC,S△ACE=S△AOC=8，
设点A（m， ），
∵D是线段AC中点，DH∥AF，
∴2DH=AF，
∴点D（2m，），
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴∠ADG=∠DCH，∠DAG=∠CDH，
在△AGD和△DHC中，
∴S△HDC=S△ADG，
∵S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC=k+×（DH+AF）×FH+S△HDC
=k+k+=8；
∴k=8，
∴k= .
故答案为.
【点睛】
本题考查反比例函数k的意义；借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键．
16、
【分析】先证得四边形AGCH是平行四边形，则，再证得，求得 ，证得DO⊥HC，根据，即可求得半径，从而求得结论．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AG∥HC，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∴，
∵是⊙O的切线，且切点为、，
∴，∠GCH=∠HCD，
∵AD∥BC，
∴∠DHC=∠GCH，
∴∠DHC=∠HCD，
∴三角形DHC为等腰三角形，
∴，
∴，
∴，，
连接OD、OE，如图，
∵是⊙O的切线，且切点为、，
∴DO是∠FDE的平分线，
又∵，
∴DO⊥HC,
∴∠DOC=90，
∵切⊙O于，
∴OE⊥CD,
∵∠OCE+∠COE=90，∠DOE+∠COE=90，
∴∠OCE=∠DOE，
∴，
∴，即，
∴，
∴⊙O的直径为：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证得为等腰三角形是解题的关键．
17、1
【分析】利用角角定理证明△BAD∽△BCA，然后利用相似三角形的性质得到，求得BC的长，从而使问题得解.
【详解】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴．
∵AB=6，BD=4，
∴，
∴BC=9，
∴CD=BC-BD=9-4=1．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，熟记判定方法准确找到相似三角形对应边是本题的解题关键.．
18、13.5
【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴△EBA∽△ECD，
∴，即，
∴AB＝13.5（米）．
故答案为：13.5
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（1）CD=1.
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；
（1）根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】证明：（1）∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC；
（1）∵△BDC∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴CD=1．
【点睛】
考核知识点：相似三角形的判定和性质.
20、43 m.
【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出答案．
【详解】解 由题意可得△AEC∽△ADB，
则＝，
故＝，
解得DB＝43，
答：小雁塔的高度为43 m.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△AEC∽△ADB是解题的关键．
21、（1）；（2）9；（3）存在点M的坐标为（）或（）使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形
【分析】(1)根据抛物线经过A、B两点，带入解析式，即可求得a、b的值.
（2）根据PA=PB，要求四边形PAOC的周长最小，只要P、B、C三点在同一直线上，因此很容易计算出最小周长.
（3）首先根据△BQM为直角三角形，便可分为两种情况QM⊥BC和QM⊥BO，再结合△QBM∽△CBO，根据相似比例便可求解.
【详解】解：（1）将点A（1,0），B（4,0）代入抛物线中，得：
解得：
所以抛物线的解析式为.
（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线.连接BC，交抛物线的对称轴为点P,此时四边形PAOC的周长最小，最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9.
(3) 当QM⊥BC时，易证△QBM∽△CBO 所以 ,
又因为△CQM为等腰三角形 ，所以QM=CM.设CM=x, 则BM=5- x
所以 所以.所以QM=CM=，BM=5- x=,所以BM:CM=4:3.
过点M作NM⊥OB于N，则MN//OC, 所以 ,
即 ，所以,
所以点M的坐标为（）
当QM⊥BO时, 则MQ//OC, 所以 , 即
设QM=3t, 则BQ=4t, 又因为△CQM为等腰三角形 ，所以QM=CM=3t,BM=5-3t
又因为QM2+QB2=BM2, 所以(3t )2+(4t )2=(5-3t )2, 解得
MQ=3t=,, 所以点M的坐标为（）.
综上所述，存在点M的坐标为（）或（）使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形
【点睛】
本题是一道二次函数的综合型题目，难度系数较高，关键在于根据图形化简问题，这道题涉及到一种分类讨论的思想，这是这道题的难点所在，分类讨论思想的关键在于根据直角三角形的直角进行分类的.
22、（1）方程的解为x1＝c，x2＝,验证见解析；（2）x＝a与x＝都为分式方程的解．
【分析】（1）根据材料即可判断方程的解，然后代入到方程的左右两边检验即可；
（2）将方程左右两边同时减去3，变为题干中的形式，即可得出答案.
【详解】（1）方程的解为x1＝c，x2＝，
验证：当x＝c时，
∵左边＝c+，右边＝c+，
∴左边＝右边，
∴x＝c是x+＝c+的解，
同理可得：x＝是x+＝c+的解；
（2）方程整理得：（x﹣3）+＝（a﹣3）+，
解得：x﹣3＝a﹣3或x﹣3＝，即x＝a或x＝，
经检验x＝a与x＝都为分式方程的解．
【点睛】
本题主要为材料理解题，理解材料中方程的根的由来是解题的关键.
23、（1）ab；（1）A＝﹣1
【分析】（1）先把分子、分母因式分解，再约分，然后同分母分式相加，分母不变，分子相加，最后把除法转化乘法，约分即可；
（1）把P点代入解析式，求得ab＝﹣1，即可求得A＝﹣1．
【详解】解：（1）
＝ab，
（1）∵点P（a，b）在反比例函数的图象上，
∴ab＝﹣1，
∴A＝﹣1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分式的运算，把分式化简是解题的关键．
24、（1）；（2）见解析，.
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率＝；
（2）列表如下：
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6种，
所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为.
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率
25、（1）证明见解析；（2）的半径为2.1．
【分析】（1）连接，，过作于点，根据三线合一可得，然后根据角平分线的性质可得，然后根据切线的判定定理即可证出结论；
（2）连接，过作于点，根据平行线的判定证出，证出，根据角平分线的性质可得，然后利用HL证出，从而得出，设的半径为，根据勾股定理列出方程即可求出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，，过作于点．
∵，是底边的中点，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
∴是的切线；
（2）解：如图2，连接，过作于点．
∵点是的中点，
∴，
∴
∴，
∴
在和中，
∴
∴
设的半径为
由勾股定理得：DK2＋OK2=OD2
即，
解得：．
∴的半径为．
【点睛】
此题考查的是等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．
26、旗杆的高度为15.6米．
【分析】过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G得出，利用形似三角形的对应边成比例求出AH的长，进而求出AB的长．
【详解】过点作于点，交于点．
由题意可得，四边形都是矩形，．
．
∴．
由题意可得：
，
（米）．
∴，
（米），
（米）．
答：旗杆的高度为米．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形判定得出△ECG∽△EAH是解题关键．
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