1、八年级数学上学期压轴题模拟质量检测试题答案1操作发现:如图1,D是等边ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边DCF,连接AF,易证AF=BD(不需要证明);类比猜想:如图2,当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时,其它作法与图1相同,猜想AF与BD在图1中的结论是否仍然成立。深入探究:如图3,当动点D在等边ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF,连接AF,BF你能发现AF,BF与AB有何数量关系,并证明你发现的结论。如图4,当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时,其它作法与图
2、3相同,猜想AF,BF与AB在上题中的结论是否仍然成立,若不成立,请给出你的结论并证明。2(1)模型:如图1,在中,平分,求证:(2)模型应用:如图2,平分交的延长线于点,求证:(3)类比应用:如图3,平分,求证:3阅读下列材料,完成相应任务数学活动课上,老师提出了如下问题:如图1,已知中,是边上的中线求证:智慧小组的证法如下:证明:如图2,延长至,使,是边上的中线在和中(依据一)在中,(依据二)任务一:上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指:依据1:_;依据2:_归纳总结:上述方法是通过延长中线,使,构造了一对全等三角形,将,转化到一个三角形中,进而解决问题,这种方法叫做“倍长中线法
3、”“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系任务二:如图3,则的取值范围是_;任务三:如图4,在图3的基础上,分别以和为边作等腰直角三角形,在中,;中,连接试探究与的数量关系,并说明理由4ABC、DPC都是等边三角形(1)如图1,求证:APBD;(2)如图2,点P在ABC内,M为AC的中点,连PM、PA、PB,若PAPM,且PB2PM求证:BPBD;判断PC与PA的数量关系并证明5已知:在平面直角坐标系中,A为x轴负半轴上的点,B为y轴负半轴上的点(1)如图1,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰,若,求C点的坐标;(2)如图2,若点A的坐标为,点B的坐标为,点D的纵坐标为n,以B
4、为顶点,BA为腰作等腰当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时,整式的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理出;(3)如图3,若,于点F,以OB为边作等边,连接AM交OF于点N,若,请直接写出线段AM的长6若整式A只含有字母x,且A的次数不超过3次,令,其中a,b,c,d为整数,在平面直角坐标系中,我们定义:M为整式A的关联点,我们规定次数超过3次的整式没有关联点例如,若整式,则a0,b2,c-5,d4,故A的关联点为(-5,-11)(1)若,试求出A的关联点坐标;(2)若整式B是只含有字母x的整式,整式C是B与的乘积,若整式C的关联点为(6,15),求整式B的表达
5、式(3)若整式Dx-2,整式E是只含有字母x的一次多项式,整式F是整式D与整式E的平方的乘积,若整式F的关联点为(-32,0),请直接写出整式E的表达式7我们不妨约定:把“有一组邻边相等”的凸四边形叫做“菠菜四边形”(1)如下:平行四边形,矩形,菱形,正方形,一定是“菠菜四边形”的是_(填序号);(2)如图1,四边形ABCD为“菠菜四边形”,且BADBCD90,ADAB,AECD于点E,若AE4,求四边形ABCD的面积;(3)如图2,四边形ABCD为“菠菜四边形”,且ABAD,记四边形ABCD,BOC,AOD的面积依次为S,若求证:ADBC;在的条件下,延长BA、CD交于点E,记BCm,DCn
6、,求证:8如图1,在ABC中,AEBC于E,AEBE,D是AE上一点,且DECE,连接BD,CD(1)判断与的位置关系和数量关系,并证明;(2)如图2,若将DCE绕点E旋转一定的角度后,BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化?并证明;(3)如图3,将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形,其他条件不变,求BD与AC夹角的度数【参考答案】2成立,证明见详解;AF+BF=AB,证明见详解;不成立,AF=AB+BF,证明见详解.【分析】类比猜想:通过证明BCDACF,即可证明AF=BD;深入探究:AF+BF=解析:成立,证明见详解;AF+BF=AB,证明见详解;不成立,AF=AB+BF,证明见
7、详解.【分析】类比猜想:通过证明BCDACF,即可证明AF=BD;深入探究:AF+BF=AB,利用全等三角形BCDACF(SAS)的对应边BD=AF;同理BCFACD(SAS),则BF=AD,所以AF+BF=AB;结论不成立新的结论是AF=AB+BF;通过证明BCFACD(SAS),则BF=AD(全等三角形的对应边相等);再结合(2)中的结论即可证得AF=AB+BF【详解】解:类比猜想:如图2中,ABC是等边三角形(已知),BC=AC,BCA=60(等边三角形的性质);同理知,DC=CF,DCF=60;BCA+DCA=DCF+DCA,即BCD=ACF;在BCD和ACF中, BCDACF(SAS
8、),BD=AF(全等三角形的对应边相等);深入探究:如图示AF+BF=AB;证明如下:由条件可知:BCA-DCA=DCF-DCA,即BCD=ACF,同理可证BCDACF(SAS),则BD=AF;同理BCFACD(SAS),则BF=AD,AF+BF=BD+AD=AB;结论不成立新的结论是AF=AB+BF;如图示:证明如下:等边DCF和等边DCF,由同理可知:在BCF和ACD中, BCFACD(SAS),BF=AD(全等三角形的对应边相等);又由知,AF=BD;AF=BD=AB+AD=AB+BF,即AF=AB+BF【点睛】本题属于三角形综合题,考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质等知识,
9、解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.3(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析;【分析】(1)由题意得DE=DF,即可得出:=AB:AC;(2)在AB上取点E,使得AE=AC,根据题意可证ACDAED,从而解析:(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析;【分析】(1)由题意得DE=DF,即可得出:=AB:AC;(2)在AB上取点E,使得AE=AC,根据题意可证ACDAED,从而可求出,即可求解;(3)延长BE至M,使EM=DC,连接AM,根据题意可证ADCAEM,故而得出AE为BAM的角平分线,即,即可得出答案;【详解】解:(1)AD平分BAC,DEAB,DEAC,
10、DE=DF, ,:=AB:AC;(2)如图,在AB上取点E,使得AE=AC,连接DE又 AD平分CAE, CAD=DAE,在ACD和AED中, ,ACDAED(SAS),CD=DE且ADC=ADE, , ,AB:AC=BD:CD;(3)如图延长BE至M,使EM=DC,连接AM, D+AEB=180,又AEB+AEM=180,D=AEM,在ADC与AEM中,ADCAEM(SAS),DAC=EAM=BAE,AC=AM,AE为BAM的角平分线,故 ,BE:CD=AB:AC;【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用,正确掌握知识点是解题的关键;4任务一:依据1:
11、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(或“边角边”或“SAS”);依据2:三角形两边的和大于第三边;任务二:;任务三:EF=2AD,见解析【分析】任务一:依据1:根据全等的判解析:任务一:依据1:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(或“边角边”或“SAS”);依据2:三角形两边的和大于第三边;任务二:;任务三:EF=2AD,见解析【分析】任务一:依据1:根据全等的判定方法判断即可;依据2:根据三角形三边关系判断;任务二:可根据任务一的方法直接证明即可;任务三:根据任务一的方法,延长中线构造全等三角形证明线段关系即可【详解】解:任务一:依据1:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(
12、或“边角边”或“SAS”);依据2:三角形两边的和大于第三边任务二:任务三:EF=2AD理由如下:如图延长AD至G,使DG=AD,AD是BC边上的中线BD=CD在ABD和CGD中ABDCGDAB=CG,ABD=GCD 又AB=AEAE=CG在ABC中,ABC+BAC+ACB=180,GCD+BAC+ACB=180又BAE=90,CAF=90EAF+BAC=360-(BAE+CAF)=180EAF=GCD在EAF和GCA中EAFGCA EF=AGEF=2AD【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,倍长中线法,构造全等三角形是解本题的关键5(1)证明过程见解析;(2)证明过程
13、见解析;PC=2PA,理由见解析【分析】(1)证明BCDACP(SAS),可得结论;(2)如图2中,延长PM到K,使得MK=PM,连接C解析:(1)证明过程见解析;(2)证明过程见解析;PC=2PA,理由见解析【分析】(1)证明BCDACP(SAS),可得结论;(2)如图2中,延长PM到K,使得MK=PM,连接CK证明AMPCMK(SAS),推出MP=MK,AP=CK,APM=K=90,再证明PDBPCK(SSS),可得结论;结论:PC=2PA想办法证明DPB=30,可得结论(1)证明:如图1中,ABC,CDP都是等边三角形,CB=CA,CD=CP,ACB=DCP=60,BCD=ACP,在BC
14、D和ACP中,BCDACP(SAS),BD=AP;(2)证明:如图2中,延长PM到K,使得MK=PM,连接CKAPPM,APM=90,在AMP和CMK中,AMPCMK(SAS),MP=MK,AP=CK,APM=K=90,同法可证BCDACP,BD=PA=CK,PB=2PM,PB=PK,PD=PC,PDBPCK(SSS),PBD=K=90,PBBD解:结论:PC=2PAPDBPCK,DPB=CPK,设DPB=CPK=x,则BDP=90-x,APC=CDB,90+x=60+90-x,x=30,DPB=30,PBD=90,PD=2BD,PC=PD,BD=PA,PC=2PA【点睛】本题属于三角形综合题
15、,考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的性质,直角三角形30角的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,关注全等三角形解决问题6(1)(2)整式的值不发生变化其值为(3)【分析】(1)过点作于点,可以证明,由,再由条件就可以求出的坐标;(2)过点作于点,可以证明,则有为定值,从而可以得出结论的值不变为;解析:(1)(2)整式的值不发生变化其值为(3)【分析】(1)过点作于点,可以证明,由,再由条件就可以求出的坐标;(2)过点作于点,可以证明,则有为定值,从而可以得出结论的值不变为;(3)在上截取,连接,证明,由全等三角形的性质得出由等腰三角形的性质可得出结论(1)解:如图1,过点作于点
16、, ,等腰直角三角形,;(2)解:整式的值不会变化理由如下:如图2,过点作于点,等腰直角三角形,当点沿轴负半轴向下运动时,整式的值不变,为;(3)证明:如图3,在上截取,连接,是等边三角形,为等腰直角三角形,,, ,即【点睛】本题是三角形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,正确的做出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键7(1)(2)(3)或【分析】(1)根据整式得出,根据关联点的定义得出,即可得出的关联点坐标;(2)根据题意得出中的次数为次,设,计算出,进而表达出,的值,再根据的关解析:(1)(2)(3)或【分析】(1)根据整式得出,根据关联点的定义
17、得出,即可得出的关联点坐标;(2)根据题意得出中的次数为次,设,计算出,进而表达出,的值,再根据的关联点为,列出关于 , 的等式,解出、的值即可;(3)设,根据题意求出,进而表达出,的值,再根据的关联点为,列出关于,的等式,解出、的值即可(1)解:(1),的关联点坐标为:,故笞案为:;(2)整式是只含有字母的整式,整式是与的乘积,是二次多项式,且的次数不能超过次,中的次数为次,设 ,整式的关联点为,解得:,;(3)根据题意:设, ,整式 的关联点为,把代入得: ,解得: , 或,或【点睛】本题主要考查整式的乘法,掌握整式的乘法是解决问题的关键8(1) (2)16(3)见解析;见解析【分析】(1
18、)根据菠菜四边形的定义结合各个特殊四边形的定义即可得出结论;(2)过A作,交CB的延长线于F,求出四边形AFCE是矩形,则,解析:(1) (2)16(3)见解析;见解析【分析】(1)根据菠菜四边形的定义结合各个特殊四边形的定义即可得出结论;(2)过A作,交CB的延长线于F,求出四边形AFCE是矩形,则,求出,得出,有全等的出AE=AF=3,求出,求出,代入求解即可;(3)记面积为,则,根据已知条件可得,进而可得,得出 由平分线的性质结合等腰三角形的性质可得BD平分,过点D作于点H,作于点N,则DH=DN,则,由此即可得出结论(1)根据菱形于正方形的定义值,一定是菠菜四边形的是菱形与正方形,故答
19、案为:(2)如图,过A作,交CB的延长线于F, 四边形AFCE是矩形则 四边形AFCE是正方形, 即四边形ABCD的面积为16(3)记,如图:作, AMAD四边形AMND为平行四边形ADMNADBCADBC又ADABBD平分如图:又【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定,三角形的面积,角平分线的性质,对于同第登高的三角形的面积相等的推到是关键9(1), ;(2), ;(3)【分析】(1)先判断出,再判定,再判断,(2)先判断出,再得到同理(1)可得结论;(3)先判断出,再判断出,最后计算即可【详解】解:(1)与的位置关解析:(1), ;(2), ;(3)【分析】(1)先判断出,再判定,再判断,(2)先判断出,再得到同理(1)可得结论;(3)先判断出,再判断出,最后计算即可【详解】解:(1)与的位置关系是:,数量关系是理由如下:如图1,延长交于点于,AEBC,(2)与的位置关系是:,数量关系是如图,线段AC与线段BD交于点F,线段AE与线段BD交于点G,即,AEBC,又,(3)如图,线段AC与线段BD交于点F,和是等边三角形,在和中,与的夹角度数为【点睛】此题是几何变换综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的性质,判断垂直的方法,解本题的关键是判断