2023年人教版七7年级下册数学期末解答题复习试卷附答案.doc

2023年人教版七7年级下册数学期末解答题复习试卷附答案
一、解答题
1．如图1，用两个边长相同的小正方形拼成一个大的正方形．

（1）如图2，若正方形纸片的面积为1，则此正方形的对角线AC的长为 dm．
（2）如图3，若正方形的面积为16，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3∶2，他能裁出吗？请说明理由．
2．喜欢探究的亮亮同学拿出形状分别是长方形和正方形的两块纸片，其中长方形纸片的长为，宽为，且两块纸片面积相等．

（1）亮亮想知道正方形纸片的边长，请你帮他求出正方形纸片的边长；（结果保留根号）
（2）在长方形纸片上截出两个完整的正方形纸片，面积分别为和，亮亮认为两个正方形纸片的面积之和小于长方形纸片的总面积，所以一定能截出符合要求的正方形纸片来，你同意亮亮的见解吗？为什么？（参考数据：，）
3．如图，用两个边长为15的小正方形拼成一个大的正方形，
（1）求大正方形的边长？
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为720cm2？

4．如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位．请解决下面的问题．
（1）阴影正方形的面积是________？（可利用割补法求面积）
（2）阴影正方形的边长是________？
（3）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由．

5．求下图的方格中阴影部分正方形面积与边长．

二、解答题
6．已知直线AB//CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按逆时针方向以每秒12°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按逆时针方向每秒3°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间10秒时，PB'与QC'的位置关系为　 　；
（2）若射线QC先转15秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为多少秒时，PB′//QC′．

7．已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．

（1）求证：AB//CD；
（2）如图（2），点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过P点作PH//EQ交CD于点H，连接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数．
8．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；
（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．

9．如图，已知直线射线，．是射线上一动点，过点作交射线于点，连接．作，交直线于点，平分．
（1）若点，，都在点的右侧．
①求的度数；
②若，求的度数．（不能使用“三角形的内角和是”直接解题）
（2）在点的运动过程中，是否存在这样的偕形，使？若存在，直接写出的度数；若不存在．请说明理由．

10．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）根据图1填空：∠1＝　 　°，∠2＝　 　°；
（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．
①如图2，当n＝25°，且点C恰好落在DG边上时，求∠1、∠2的度数；
②当0°＜n＜180°时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．

三、解答题
11．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且．

（1）将直角如图1位置摆放，如果，则________；
（2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论．
12．为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交又照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．

（1）填空：_________；
（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
13．问题情境
（1）如图1，已知，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得 ；
问题迁移
（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合与相交于点，有一动点在边上运动，连接，记．
①如图2，当点在两点之间运动时，请直接写出与之间的数量关系；
②如图3，当点在两点之间运动时，与之间有何数量关系？请判断并说明理由．

14．已知直线，M，N分别为直线，上的两点且，P为直线上的一个动点．类似于平面镜成像，点N关于镜面所成的镜像为点Q，此时．

（1）当点P在N右侧时：
①若镜像Q点刚好落在直线上（如图1），判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
②若镜像Q点落在直线与之间（如图2），直接写出与之间的数量关系；
（2）若镜像，求的度数．
15．已知：如图1，，点，分别为，上一点．

（1）在，之间有一点（点不在线段上），连接，，探究，，之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
（2）如图2，在，之两点，，连接，，，请选择一个图形写出，，，存在的数量关系（不需证明）．
四、解答题
16．（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=50°，∠ABC=40°，求∠AEC的度数；

（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=α°，∠ABC=β°，求∠AEC的度数；
（3）如图3，PQ⊥MN于点O，点A是平面内一点，AB、AC交MN于B、C两点，AD平分∠BAC交PQ于点D，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．
17．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．

（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON＝30°，如图③，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒30°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第____________秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．（直接写出结果）
18．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=　 　°；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：　 　；

（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.

（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：　　.
19．已知ABCD，点E是平面内一点，∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线交于点F．
（1）若点E的位置如图1所示．
①若∠ABE=60°，∠CDE=80°，则∠F= °；
②探究∠F与∠BED的数量关系并证明你的结论；
（2）若点E的位置如图2所示，∠F与∠BED满足的数量关系式是 ．
（3）若点E的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且，设∠F=α，则α的取值范围为 ．

20．已知，，点为射线上一点．
（1）如图1，写出、、之间的数量关系并证明；
（2）如图2，当点在延长线上时，求证：；
（3）如图3，平分，交于点，交于点，且：，，，求的度数．

【参考答案】
一、解答题
1．（1）；（2）不能，理由见解析
【分析】
（1）由正方形面积，可求得正方形边长，然后利用勾股定理即可求出对角线长；
（2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可．
【详解】
解：
解析：（1）；（2）不能，理由见解析
【分析】
（1）由正方形面积，可求得正方形边长，然后利用勾股定理即可求出对角线长；
（2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可．
【详解】
解：（1）∵正方形纸片的面积为，
∴正方形的边长，
∴．
故答案为：．
（2）不能；
根据题意设长方形的长和宽分别为和．
∴长方形面积为：，
解得：，
∴长方形的长边为．
∵，
∴他不能裁出．
【点睛】
本题考查了算术平方根在长方形和正方形面积中的应用，灵活的进行算术平方根计算及无理数大小比较是解题的关键．
2．（1）；（2）不同意，理由见解析
【分析】
（1）设正方形边长为，根据两块纸片面积相等列出方程，再根据算术平方根的意义即可求出x的值；
（2）根据两个正方形纸片的面积计算出两个正方形的边长，计算两个
解析：（1）；（2）不同意，理由见解析
【分析】
（1）设正方形边长为，根据两块纸片面积相等列出方程，再根据算术平方根的意义即可求出x的值；
（2）根据两个正方形纸片的面积计算出两个正方形的边长，计算两个正方形边长的和，并与3比较即可解答．
【详解】
解：（1）设正方形边长为，则，由算术平方根的意义可知，
所以正方形的边长是．
（2）不同意．
因为：两个小正方形的面积分别为和，则它们的边长分别为和．，即两个正方形边长的和约为，
所以，即两个正方形边长的和大于长方形的长，
所以不能在长方形纸片上截出两个完整的面积分别为和的正方形纸片．
【点睛】
本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是读懂题意并熟知算术平方根的概念．
3．（1）30；（2）不能.
【解析】
【分析】
（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出长方形的边长，再判断即可．
【详解】
解：（1）∵大正方形的面积是：
∴大正
解析：（1）30；（2）不能.
【解析】
【分析】
（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出长方形的边长，再判断即可．
【详解】
解：（1）∵大正方形的面积是：
∴大正方形的边长是： ＝30；
（2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，
则4x•3x＝720，
解得：x＝ ，
4x＝ ＝ ＞30，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为720cm2．
故答案为（1）30；（2）不能.
【点睛】
本题考查算术平方根，解题的关键是能根据题意列出算式．
4．（1）5；（2）；（3）2与3两个整数之间，见解析
【分析】
（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；
（2）根据实数的性质即可求解；
（3）根据实数的估算即可求解．
【详解】
（1）阴影正方形的
解析：（1）5；（2）；（3）2与3两个整数之间，见解析
【分析】
（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；
（2）根据实数的性质即可求解；
（3）根据实数的估算即可求解．
【详解】
（1）阴影正方形的面积是3×3-4×=5
故答案为：5；
（2）设阴影正方形的边长为x，则x2=5
∴x=（-舍去）
故答案为：；
（3）∵
∴
∴阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间．
【点睛】
本题考查了无理数的估算能力和不规则图形的面积的求解方法：割补法．通过观察可知阴影部分的面积是5个小正方形的面积和．会利用估算的方法比较无理数的大小．
5．8；
【分析】
用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8，然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可．
【详解】
解：正方形面积=4×4-4××2×2=8；
正方形的边
解析：8；
【分析】
用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8，然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可．
【详解】
解：正方形面积=4×4-4××2×2=8；
正方形的边长==．
【点睛】
本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
二、解答题
6．（1）PB′⊥QC′；（2）当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′
【分析】
（1）求出旋转10秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，设PB′与QC′交于O，过O作OE∥AB，根
解析：（1）PB′⊥QC′；（2）当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′
【分析】
（1）求出旋转10秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，设PB′与QC′交于O，过O作OE∥AB，根据平行线的性质求得∠POE和∠QOE的度数，进而得结论；
（2）分三种情况：①当0＜t≤15时，②当15＜t≤30时，③当30＜t＜45时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．
【详解】
解：（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝10°×12＝120°，∠CQC′＝3°×10=30°，
过O作OE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OE∥CD，
∴∠POE＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QOE＝∠CQC′＝30°，
∴∠POQ＝90°，
∴PB′⊥QC′，
故答案为：PB′⊥QC′；

（2）①当0＜t≤15时，如图，则∠BPB′＝12t°，∠CQC′＝45°+3t°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即12t＝45+3t，
解得，t＝5；

②当15＜t≤30时，如图，则∠APB′＝12t﹣180°，∠CQC'＝3t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，
即12t﹣180＝45+3t，
解得，t＝25；

③当30＜t≤45时，如图，则∠BPB′＝12t﹣360°，∠CQC′＝3t+45°，

∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，
即12t﹣360＝45+3t，
解得，t＝45；
综上，当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
7．（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线
解析：（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线的性质即可证明；
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，想办法构建方程即可解决问题；
【详解】
（1）如图1中，

∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB//CD．
（2）结论：如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
理由：作EH//AB．

∵AB//CD，EH//AB，
∴EH//CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4，
∴∠PEQ＝∠1+∠4，
同法可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，
∵∠BPE＝2∠BPF，∠EQD＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°，
∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE＝2×180°，
即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°，
∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，

∵EQ//PH，
∴∠EQC＝∠PHQ＝x，
∴x+10y＝180°，
∵AB//CD，
∴∠BPH＝∠PHQ＝x，
∵PF平分∠BPE，
∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH，
∴∠FPH＝y+z﹣x，
∵PQ平分∠EPH，
∴Z＝y+y+z﹣x，
∴x＝2y，
∴12y＝180°，
∴y＝15°，
∴x＝30°，
∴∠PHQ＝30°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识．（2）中能正确作出辅助线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键．
8．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．
【分析】
（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；
（2）
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．
【分析】
（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；
（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；
（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．
【详解】
解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，

∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，∵CD∥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵∠ECM+∠ECN＝180°，
∵∠ECN＝∠CAB
∴∠ECM＝∠ACD，
即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠MCA＝∠DCE；
（3）∵AF∥CG，
∴∠GCA+∠FAC＝180°，
∵∠CAB＝60°
即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，
∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，
由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，
∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，
∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，
又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，
∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，
∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，
∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA
＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF
＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF
＝120°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．
9．（1）①35°；（2）55°；（2）存在，或
【分析】
（1）①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；
②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=20°
解析：（1）①35°；（2）55°；（2）存在，或
【分析】
（1）①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；
②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=20°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=60°；
（2）设∠EGC=3x，∠EFC=2x，则∠GCF=3x-2x=x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．
【详解】
解：（1）①∵AB∥CD，
∴∠CEB+∠ECQ=180°，
∵∠CEB=110°，
∴∠ECQ=70°，
∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，
∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝∠QCF+∠FCE＝∠ECQ＝35°；
②∵AB∥CD，
∴∠QCG=∠EGC，
∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=70°，
∴∠EGC+∠ECG=70°，
又∵∠EGC-∠ECG=30°，
∴∠EGC=50°，∠ECG=20°，
∴∠ECG=∠GCF=20°，∠PCF＝∠PCQ＝(70°−40°)＝15°，
∵PQ∥CE，
∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=70°-15°=55°．
（2）52.5°或7.5°，
设∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，

①当点G、F在点E的右侧时，
∵AB∥CD，
∴∠QCG=∠EGC=3x°，∠QCF=∠EFC=2x°，
则∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°，
∴∠PCF＝∠PCQ＝∠FCQ＝∠EFC＝x°，
则∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°，
∵∠ECD=70°，
∴4x=70°，解得x=17.5°，
∴∠CPQ=3x=52.5°；
②当点G、F在点E的左侧时，反向延长CD到H，
∵∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，
∴∠GCH=∠EGC=3x°，∠FCH=∠EFC=2x°，
∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°，
∵∠CGF=180°-3x°，∠GCQ=70°+x°，
∴180-3x=70+x，
解得x=27.5，
∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=27.5°×2+70°=125°，
∴∠PCQ＝∠FCQ＝62.5°，
∴∠CPQ=∠ECP=62.5°-55°=7.5°，
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
10．（1）120，90；（2）①∠1=120°-n°，∠2=90°+n°；②见解析
【分析】
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）①根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相
解析：（1）120，90；（2）①∠1=120°-n°，∠2=90°+n°；②见解析
【分析】
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）①根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠ABE，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2；
②结合图形，分AB、BC、AC三条边与直尺垂直讨论求解．
【详解】
解：（1）∠1=180°-60°=120°，
∠2=90°；
故答案为：120，90；
（2）①如图2，

∵∠ABC=60°，
∴∠ABE=180°-60°-n°=120°-n°，
∵DG∥EF，
∴∠1=∠ABE=120°-n°，
∠BCG=180°-∠CBF=180°-n°，
∵∠ACB+∠BCG+∠2=360°，
∴∠2=360°-∠ACB-∠BCG
=360°-90°-（180°-n°）
=90°+n°；
②当n=30°时，∵∠ABC=60°，
∴∠ABF=30°+60°=90°，
AB⊥DG（EF）；

当n=90°时，
∠C=∠CBF=90°，
∴BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；

当n=120°时，
∴AB⊥DE（GF）．

【点睛】
本题考查了平行线角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．
三、解答题
11．（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析
【分析】
（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．
（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠N
解析：（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析
【分析】
（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．
（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．
（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．
【详解】
解：（1）如图，作CP//a，

∵a//b，CP//a，
∴CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，
∴∠BCP=180°-∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，
∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．
（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：
如图，作CP//a，则CP//a//b，

∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，
∵∠NEF+∠CEF=180°，
∴∠BCP=∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+∠NEF=90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，

∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,
∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，
∴∠GOP=135°-∠POQ，
∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．
如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，

∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，
∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．
【点睛】
本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．
12．（1）72°；（2）30秒或110秒；（3）不变，∠BAC=2∠BCD
【分析】
（1）根据∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=3：2，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，
解析：（1）72°；（2）30秒或110秒；（3）不变，∠BAC=2∠BCD
【分析】
（1）根据∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=3：2，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t=1•（30+t），可得 t=30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t-180）=180，可得t=110；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=2t-108°，∠BCD=126°-∠BCA=t-54°，即可得出∠BAC：∠BCD=2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【详解】
解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=3：2，
∴∠BAN=180°×=72°，
故答案为：72；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，

∵PQ∥MN，
∴∠PBD=∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM=∠BDA，
∴∠CAM=∠PBD
∴2t=1•（30+t），
解得 t=30；
②当90＜t＜150时，如图2，

∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA=180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN=∠BDA
∴∠PBD+∠CAN=180°
∴1•（30+t）+（2t-180）=180，
解得 t=110，
综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，

∵∠CAN=180°-2t，
∴∠BAC=72°-（180°-2t）=2t-108°，
又∵∠ABC=108°-t，
∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t，而∠ACD=126°，
∴∠BCD=126°-∠BCA=126°-（180°-t）=t-54°，
∴∠BAC：∠BCD=2：1，
即∠BAC=2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
13．（1）80；（2）①；②
【分析】
（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠BPC的度数；
（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
解析：（1）80；（2）①；②
【分析】
（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠BPC的度数；
（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②过P作PQ∥DF，依据平行线的性质可得∠β=∠QPA，∠α=∠QPE，即可得到∠APE=∠APQ-∠EPQ=∠β-∠α．
【详解】
解：（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG=180°，∠C+∠CPG=180°，
又∵∠PBA=125°，∠PCD=155°，
∴∠BPC=360°-125°-155°=80°，
故答案为：80；
（2）①如图2，
过点P作FD的平行线PQ，
则DF∥PQ∥AC，
∴∠α=∠EPQ，∠β=∠APQ，
∴∠APE=∠EPQ+∠APQ=∠α+∠β，
∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE=∠α+∠β；

②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE=∠β-∠α；理由：
过P作PQ∥DF，

∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β=∠QPA，∠α=∠QPE，
∴∠APE=∠APQ-∠EPQ=∠β-∠α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．
14．（1）①，证明见解析，②，（2）或．
【分析】
(1) ①根据和镜像证出，即可判断直线与直线的位置关系，②过点Q作QF∥CD，根据平行线的性质证即可；
(2)过点Q作QF∥CD，根据点P的位置不同，
解析：（1）①，证明见解析，②，（2）或．
【分析】
(1) ①根据和镜像证出，即可判断直线与直线的位置关系，②过点Q作QF∥CD，根据平行线的性质证即可；
(2)过点Q作QF∥CD，根据点P的位置不同，分类讨论，依据平行线的性质求解即可．
【详解】
（1）①，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点Q作QF∥CD，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；

（2）如图，当点P在N右侧时，过点Q作QF∥CD，
同（1）得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，

如图，当点P在N左侧时，过点Q作QF∥CD，同（1）得，，
同理可得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或．

【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当的作辅助线，熟练利用平行线的性质推导角之间的关系．
15．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠E
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°．
证明：过点M作MP∥AB．
∵AB∥CD，
∴MP∥CD．
∴∠4=∠3．
∵MP∥AB，
∴∠1=∠2．
∵∠EMF=∠2+∠3，
∴∠EMF=∠1+∠4．
∴∠EMF=∠AEM+∠MFC；

证明：过点M作MQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD．
∴∠CFM+∠1=180°；
∵MQ∥AB，
∴∠AEM+∠2=180°．
∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．
∵∠EMF=∠1+∠2，
∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；
（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，
∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC
=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4
=∠2+∠3
=180°；
如图2第二个图：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°．
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2=∠3，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4，
∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC
=∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4
=180°．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
四、解答题
16．（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化，
【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠
解析：（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化，
【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，则可得∠E= （∠D+∠B），继而求得答案；
（2）首先延长BC交AD于点F，由三角形外角的性质，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D，又由角平分线的性质，即可求得答案．
（3）由三角形内角和定理，可得，利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案．
【详解】
解：（1）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E，
∴∠E=（∠D+∠B），
∵∠ADC=50°，∠ABC=40°，
∴∠AEC= ×（50°+40°）=45°；

（2