高等代数试题2(附答案).doc

科目名称:《高等代数》
姓名:　　　　　　　班级:　　　　　　　考试时间:120分钟 考试形式:闭卷
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一、填空题(每小题5分,共25分)
1、 在中,向量关于基得坐标为 。
2、 向量组得秩
为 ,一个最大无关组为 、。
3、 (维数公式)如果就是线性空间得两个子空间,那么 。
4、 假设得特征根就是 ,特征向量分别为 。
5、实二次型 得秩为
二、就是非题(每小题2分,共20分)
1、如果线性无关,那么其中每一个向量都不就是其余向量得线性组合。( )
2、在中,定义变换,其中,就是一固定得数,那么变换就是线性变换。( )
3、设就是向量空间得两个子空间,那么它们得并也就是得一个子空间。( )
4、两个欧氏空间同构得充分且必要条件就是它们有相同得维数。( )
5、 令就是得任意向量,那么就是到自身得线性变换。其中。( )
6、 矩阵得特征向量得线性组合仍就是得特征向量。( )
7、 若矩阵与相似,那么与等价。( )
8、 阶实对称矩阵有个线性无关得特征向量。( )
9、 在中,若由所有满足迹等于零得矩阵组成,那么就是得
子空间。( )
10、齐次线性方程组得非零解向量就是得属于得特征向量。( )
三、明证题(每小题××分,共31分)
1、设就是线性空间得一组基,就是上得线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关。(10)
2、设就是维欧氏空间得一个线性变幻,证明:如果就是对称变幻,=就是单位变幻,那么就是正交变换。(11)
3、设就是一个维欧氏空间,证明:如果都就是得子空间,那么。(10)
四、计算题(每小题8分,共24分)
1、 求矩阵得特征根与特征向量,并求满秩矩阵使得为对角形矩阵。
2、 求一个正交矩阵,使得使对角形式,其中。
3、 化二次型 为平方与,并求所用得满秩线性变换。
科目名称:《高等代数》
姓名:　　　　　　　班级:　　　　　　　考试时间:120分钟 考试形式:闭卷
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一、填空题(每小题5分,共25分)
1、 (3,4,1)
2、 秩为2,一个最大无关组为
3、 维()+维()=维()+维()
4、 特征根就是1,1,2,特征向量分别为
5、秩为 3
二、就是非题(每小题2分,共20分)
1、(就是 )
2、(就是 )
3、(就是 )
4、(否 )
5、 (否 )
6、 (否 )
7、 (就是 )
8、 (就是 )
9、 (就是 )
10、(就是 )
三、明证题(每小题××分,共31分)
1、证明 设可逆,则存在,且也就是得线性变换,(1)
若线性相关,则,(2)
即也线性相关,这与假设就是基矛盾,故线性无关。(5)反之,若线性无关,因就是维线性空间,故它也就是得一组基,(7)
故对中任意向量有,即存在,使,故为到上得变换。(8)
若又有,使,即,因为就是基,,即,从而又就是一一得变换,故为可逆变换。(10)
2、证:,(4)
= ,(8)
=, (10)
=0 ,(11)
3、证:(1),(5)
同理, (8)
则。 (10)
四、计算题(每小题8分,共24分)
1、解:=,则得特征根为,, (3)
,它们对应得特征向量分别为, (6)
易知线性无关,取,那么就得。(8)
2、解:,则特征根为, (3)
对应它们得线性无关得特征向量分别为, (6)
她们单位化后分别为
,取正交矩阵, (7)
则,。 (8)
3、解 , ,得 (2)
整理得 (4)
在令,, (6)
,, (8)