资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )
A． B． C． D．
2．将一副三角尺（在中，，，在中，，）如图摆放，点为的中点，交于点，经过点，将绕点顺时针方向旋转（），交于点，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．三角形内角和小于180° B．两实数之和为正
C．买体育彩票中奖 D．抛一枚硬币2次都正面朝上
4．sin45°的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若与相似且对应中线之比为，则周长之比和面积比分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．点在反比例函数y＝的图象上，则k的值是（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
7．方程组的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（ ）
A．3 B．2 C． D．
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；④点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1＜y2 .正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．小明家的客厅有一张直径为1.1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是_________．
12．比较大小：________．（填“，或”）
13．若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径为______．
14．如图△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长为_____．
15．如图，是锐角的外接圆，是的切线，切点为，，连结交于，的平分线交于，连结．下列结论：①平分；②连接，点为的外心；③；④若点，分别是和上的动点，则的最小值是．其中一定正确的是__________(把你认为正确结论的序号都填上)．
16．150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是______cm．
17．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为_____．
18．如图，在菱形c中，分别是边，对角线与边上的动点，连接，若，则的最小值是___．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1000万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1250万元．
（1）从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2018年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于400万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
20．（6分）如图，是半径为1的的内接正十边形，平分
（1）求证：；
（2）求证：
21．（6分）如图，点是二次函数图像上的任意一点，点在轴上.
（1）以点为圆心，长为半径作.
①直线经过点且与轴平行，判断与直线的位置关系，并说明理由.
②若与轴相切，求出点坐标；
（2）、、是这条抛物线上的三点，若线段、、的长满足，则称是、的和谐点，记做.已知、的横坐标分别是，，直接写出的坐标_______.
22．（8分）如图，∠MON=60°，OF平分∠MON，点A在射线OM上， P，Q是射线ON上的两动点，点P在点Q的左侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM，OF，ON于点D，B，C，连接AB，PB．
（1）依题意补全图形；
（2）判断线段 AB，PB之间的数量关系，并证明；
（3）连接AP，设，当P和Q两点都在射线ON上移动时，是否存在最小值？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由．
23．（8分）已知关于的方程。
（1）若该方程的一个根是，求的值及该方程的另一个根；
（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
24．（8分）如图，点，在反比例函数的图象上，作轴于点．
⑴求反比例函数的表达式；
⑵若的面积为，求点的坐标.
25．（10分）如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AE·AB＝AD·AC，连接DE，BD.
（1）求证：ADE~ABC.
（2）若点E为AB为中点，AD：AE＝6：5，ABC的面积为50，求BCD面积.
26．（10分）如图所示，阳光透过长方形玻璃投射到地面上，地面上出现一个明亮的平行四边形，杨阳用量角器量出了一条对角线与一边垂直，用直尺量出平行四边形的一组邻边的长分别是30 cm,50 cm，请你帮助杨阳计算出该平行四边形的面积．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【详解】解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，因此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为
故选C
2、C
【解析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB，则∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α，于是可判断△PDM∽△CDN，得到=，然后在Rt△PCD中利用正切的定义得到tan∠PCD=tan30°=，于是可得=．
【详解】∵点D为斜边AB的中点，
∴CD=AD=DB，
∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CPD=60°，
∴∠MPD=∠NCD，
∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），
∴∠PDM=∠CDN=α，
∴△PDM∽△CDN，
∴=，
在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=，
∴=tan30°=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．
3、A
【解析】根据三角形的内角和定理，可知：“三角形内角和等于180°”，故是不可能事件；
根据实数的加法，可知两实数之和可能为正，可能是0，可能为负，故是可能事件；
根据买彩票可能中奖，故可知是可能事件；
根据硬币的特点，抛一枚硬币2次有可能两次都正面朝上，故是可能事件.
故选A.
4、B
【解析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】解：sin45°=．
故选：B.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
5、B
【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．
【详解】解：与相似，且对应中线之比为，
其相似比为，
与周长之比为，
与面积比为，
故选：B.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，相似三角形面积比是相似比的平方是解答此题的关键．
6、B
【解析】把P（﹣1，k）代入函数解析式即可求k的值．
【详解】把点P（﹣1，k）代入y＝得到：k＝＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．
7、A
【分析】分类讨论x与y的正负，利用绝对值的代数意义化简，求出方程组的解，即可做出判断．
【详解】解：根据x、y的正负分4种情况讨论：
①当x＞0，y＞0时，方程组变形得：，无解；
②当x＞0，y＜0时，方程组变形得：，
解得x＝3，y＝2＞0，
则方程组无解；
③当x＜0，y＞0时，方程组变形得：，
此时方程组的解为；
④当x＜0，y＜0时，方程组变形得：，无解，
综上所述，方程组的解个数是1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8、B
【分析】根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再求出∠AOB=60°即可求出的半径．
【详解】解：如图，连结OA,OB,
∵ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB=360°×=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵正六边形的周长是12，
∴AB=12×=2,
∴AO=BO=AB=2，
故选B．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，以及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线求出∠AOB=60°是解答此题的关键.
9、C
【分析】根据二次函数图像与b2－4ac的关系、对称轴公式、点的坐标及增减性逐一判断即可.
【详解】解：①由图可知，将抛物线补全，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点
∴b2－4ac＞0
∴4ac－b2＜0，故①正确；
②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1
∴
解得：
∴2a－b＝0，故②正确；
③∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，
∴此抛物线与x轴的另一个交点在(0，0)和(1，0)之间
∵在对称轴的右侧，函数y随x增大而减小
∴当x=1时，y＜0，
∴将x=1代入解析式中，得：y＝a＋b＋c＜0
故③正确；
④若点(x1，y1)，(x2，y2)在对称轴右侧时，
函数y随x增大而减小
即若x1＜x2，则y1＞y2
故④错误；
故选C.
【点睛】
此题考查的是二次函数图像及性质，掌握二次函数图像及性质和各系数之间的关系是解决此题的关键.
10、A
【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】∵，
∴二次函数图像顶点坐标为：.
故答案为A.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（3.76，0）
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∵BC=1.1，
∴DE=3.76，
∴E（3.76，0）．
故答案为：（3.76，0）．
【点睛】
本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
12、<
【分析】比较与的值即可.
【详解】∵， ， ，
∴，
故答案为：.
【点睛】
此题考查三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键.
13、1．
【解析】∵，
由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形，
∴它的内切圆半径，
14、4
【解析】试题解析：∵ 可
∴设DC=3x，BD=5x，
又∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB=5x，
又∵AC=8cm，
∴3x+5x=8，
解得，x=1，
在Rt△BDC中，CD=3cm，DB=5cm，
故答案为:4cm.
15、
【分析】如图１，连接，通过切线的性质证，进而由 ，即可由垂径定理得到Ｆ是的中点，根据圆周角定理可得，可得平分；由三角形的外角性质和同弧所对的圆周角相等可得，可得，可得点为得外心；如图，过点Ｃ作 交的延长线与点通过证明，可得；如图，作点关于的对称点 ，当点在线段上，且时，．
【详解】如图，连接，
∵是的切线，
∴ ，∵
∴，且为半径
∴垂直平分
∴
∴
∴平分，故正确
点的外心，故正确；
如图，过点Ｃ作 交的延长线与点
，故正确；
如图，作点关于的对称点 ，
点与点关于对称，
当点在线段上，且时，，
且
∴的最小值为；故正确．
故答案为：．
【点睛】
本题是相似综合题，考查了圆的相关知识，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
16、1；
【解析】解：设圆的半径为x，由题意得：
=5π，解得：x=1，故答案为1．
点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
17、1
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】解：由题意可得，×100%＝20%，
解得，a＝1，
经检验a=1是方程的根，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查的是频率和概率问题，此类问题是中考常考的知识点，所以掌握频率和概率是解题的关键.
18、
【分析】作点Q关于BD对称的对称点Q’，连接PQ，根据两平行线之间垂线段最短，即有当E、P、Q’在同一直线上且 时，的值最小，再利用菱形的面积公式，求出的最小值．
【详解】作点Q关于BD对称的对称点Q’，连接PQ．
∵四边形ABCD为菱形
∴ ，
∴
当E、P、Q’在同一直线上时，的值最小
∵ 两平行线之间垂线段最短
∴当 时，的值最小
∵
∴ ，
∴
∵
∴
解得
∴的最小值是 ．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的综合应用题，掌握菱形的面积公式以及两平行线之间垂线段最短是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）今年该地至少有1400户享受到优先搬迁租房奖励．
【分析】（1）根据”2016年投入资金年投入资金”列方程求解即可;
（2）根据题意，享受奖励的搬迁户分为前1000户和1000户之后的部分，可以设搬迁户总数为，则有前1000户享受奖励总额+1000户之后享受奖励综合≥400万元，据此可解.
【详解】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得：1000（1+x）2＝1250+1000，
解得：x＝0.5或x＝﹣2.5（舍），
答：从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥4000000，
解得：a≥1400，
答：今年该地至少有1400户享受到优先搬迁租房奖励．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，认真审题，找准数量关系列出方程是解答关键.
20、（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）根据题意得出角相等得出△A1A2P∽△A1OA2，再根据相似三角形的性质即可得出答案；
（2）设A1A2＝x，得出OP＝PA2＝A1A2＝x，A1 P＝1－x，再代入中即可求出答案．
【详解】证明：（1）∵A1A2A3…A10是半径为1的⊙O的内接正十边形，A2P平分∠OA2A1
∴∠A1OA2＝36°，∠A1＝∠OA2A1＝72°，∠A1A2P＝∠O＝36°
∴∠A1 P A2＝72°，OP＝PA2，
∴△A1A2P∽△A1OA2，
∴A1A22＝A1P•O A1
（2）设A1A2＝x，
则OP＝PA2＝A1A2＝x，
∴A1 P＝1－x，
由（1）得A1A22＝A1P•O A1
∴，
∴，
解得，（负值舍去）
∴，
即
【点睛】
本题考查了正十边形的性质及相似三角形的判定及性质定理，能够根据正十边形的性质得出角的度数是解题的关键．
21、（1）①与直线相切.理由见解析；②或；（2）或.
【分析】（1）①作直线的垂线，利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征证明线段相等即可；
②利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征构建方程即可求得答案.
（2）利用两点之间的距离公式分别求得各线段的长，根据“和谐点”的定义及二次函数图象上点的特征构建方程即可求得答案.
【详解】（1）①与直线相切.
如图，过作直线，垂足为，设.
则，
，即：
与直线相切.
②当与轴相切时
∴ ，
，即：
代入
化简得：或.
解得：，.
或.
（2）已知、的横坐标分别是，，代入二次函数的解析式得：
，，
设，
∵点B的坐标为，
∴，
，
，
依题意得：，即，
，即：，
∴(不合题意，舍去)或，
把，代入得：
直接开平方解得：，，
∴的坐标为：或
【点睛】
本题主要考查了两点之间的距离公式二次函数的性质，利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征构建方程是解题的关键.
22、（1）补全图形见解析； （2）AB=PB．证明见解析；（3）存在，．
【分析】（1）根据题意补全图形如图1，
（2）结论：AB=PB．连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题；
（3）连接BQ．只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出 ，由∠AOB=30°，推出当BA⊥OM时， 的值最小，最小值为 ，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1，
（2）AB=PB．
证明：如图，连接BQ．
∵BC的垂直平分OQ，
∴ OB =BQ，
∴∠BOP=∠BQP．
又∵ OF平分∠MON，
∴∠AOB = ∠BOP．
∴∠AOB = ∠BQP．
又∵PQ=OA，
∴ △AOB≌△PQB，
∴AB=PB．
（3））∵△AOB≌△PQB，
∴∠OAB=∠BPQ，
∵∠OPB+∠BPQ=180°，
∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，
∵∠MON=60°，
∴∠ABP=120°，
∵BA=BP，
∴∠BAP=∠BPA=30°，
∵BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO=30°，
∴△ABP∽△OBQ，
∴，
∵∠AOB=30°，
∴当BA⊥OM时，的值最小，最小值为，
∴k=．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23、 (1) 、；（2）见解析
【分析】（1）将代入方程，求得a的值，再将a的值代入即可；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
【详解】（1）将代入方程，得：，
解得：，
将代入原方程，整理可得：，
解得：或，
∴该方程的另一个根1.
（2）∵，
∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【点睛】
此题考查根的判别式，解题关键在于掌握计算公式运算法则.
24、（1）；（2）
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用三角形的面积公式构建方程求出n，再利用待定系数法求出m的值即可；
【详解】解：（1）∵点在反比例函数图象上，
，
∴反比例函数的解析式为：．
（2）由题意：，
，
.
【点睛】
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
25、 (1)详见解析； (2)14
【分析】（1）根据可得，又因，由相似三角形的判定定理即可证；
（2）设，根据得，由点E是AB的中点得，可求出的值，根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方可得的面积，因等底等高得，的面积等于的面积，从而可得答案.
【详解】（1）
在和中，
（两边对应成比例且夹角相等的三角形相似）
（2）设
又点E是AB的中点
由题（1）知
又
又和的边，且边上对应的高是同一条高
答：的面积为14.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理和性质，熟记判定定理和性质是解题关键.
26、1200cm2
【解析】先利用勾股定理计算AC，然后根据平行四边形的面积求解.
【详解】解 如图，AB＝30 cm，BC＝50 cm，AB⊥AC，
在Rt△ABC中，AC＝＝40 cm，
所以该平行四边形的面积＝30×40＝1 200(cm2)．
【点睛】
本题主要考查了利用勾股定理求直角三角形边长和求平行四边形面积，熟练掌握方法即可求解.
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