误差理论试卷及答案.doc

《误差理论与数据处理》试卷一
一． 某待测量约为 80 mm,要求测量误差不超过　3％，现有　1、0 级 ０－３０0mm 与
2、0　级　0—100 mm 得两种测微仪,问选择哪一种测微仪符合测量要求?
（本题 1０　分）
二. 有三台不同得测角仪,其单次测量标准差分别为: ó 1＝0、8′， ó 2 ＝1、０′，
ó 3 =０、5′。若每一台测角仪分别对某一被测角度各重复测量 4 次,并根据
上述测得值求得被测角度得测量结果，问该测量结果得标准差为多少?
（本题 １０ 分）
三． 测某一温度值　1５ 次，测得值如下:(单位:℃)
20、5３， 2０、52, 20、50， 20、52，　20、53, 2０、５3， 20、５0, 20、4９，　20、49，
20、51， 20、53, ２０、52， 20、49， 20、40, 2０、50
已知温度计得系统误差为-0、05℃,除此以外不再含有其它得系统误差,试判
断该测量列就是否含有粗大误差。要求置信概率 P=99、73%,求温度得测量结
果.（本题　18 分）
四. 已知三个量块得尺寸及标准差分别为：
l１ ± ó １ =　（1０、000 ± 0、０004） mｍ；
ｌ　2 ± ó 2 =　（1、0１０ ± 0、0003)　mm；
l３ ± ó 3 =　（１、0０1 ± 0、０0０1） ｍm
求由这三个量块研合后得量块组得尺寸及其标准差（ ñ　ij = ０ )。（本题 10　分)
五. 某位移传感器得位移 x 与输出电压 y 得一组观测值如下:（单位略）
x
y
1
0、10５1
5
0、5２62
1０
1、０５2１
15
１、5775
ﻮ20
2、１０３1
25
２、6287
设　x　无误差，求 y 对 ｘ 得线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。
（附:F0。１0（1，4)=4、54,Ｆ０。05（１,4）＝7、7１，F０。01（1，4）=2１、2）（本题 15 分）
六.已知某高精度标准电池检定仪得主要不确定度分量有：
①仪器示值误差不超过 ±　0、15mv，按均匀分布，其相对标准差为　2５％;
②电流测量得重复性，经　9　次测量，其平均值得标准差为 0、05 m ｖ；
③仪器分辨率为　０、１０ mv,按均匀分布，其相对标准差为　１5% .
求该检定仪得不确定度分量,并估计其合成标准不确定度及其自由度。
（本题 10 分）
七。由下列误差方程，求 x 、 y 得最佳估计值及其精度（单位略）.(本题 1２　分）
v1 = 5、1 -　2x - y
v2 = 1、1- x + y
ｖ3 = 7、4 -4 x + y
v4 = 5、9- x- 4 y
八。简答题(3 小题共 １5 分）
1、在实际测量中如何减小三大类误差对测量结果得影响？
2、简述系统误差合成与随机误差合成得方法。
3、平稳随机过程得必要条件与各态历经随机过程得充分条件就是什么？其特征
量得估计方法有何不同？分别写出它们得特征量均值与方差得估计公式.
《误差理论与数据处理》试卷二
一
用电压表与电流表来测量某一纯电阻性电子器件得功耗时，已知用电压表
测得器件上得直流电压降就是 １２、00V,其测量极限误差就是 ± 0、04Ｖ　,用电流表测
得通过器件得电流就是 2、00A,其测量极限误差就是 ± 0、02　Ａ　.另外，电压表与电
流表分别存在　0、05Ｖ 与 -　０、0４ Ａ 得系统误差。测量时,电压与电流得测量结果
相互独立,试确定电器得功耗及其测量极限误差.（本题　１2　分)
二、
用一光功率计对某激光器得输出功率进行重复性测量，测得得结果如下：
(单位：mW）
20０、7
2０0、９
200、６
200、6
20０、６
200、7
２00、5
２01、9
２00、5
201、０
200、7
200、6
200、8
200、８
200、８
已知功率计得系统误差为 0、2mW，除此以外不再含有其它得系统误差。求当置信
概率为　9９、7３％时激光器得输出功率及其极限误差。（本题 20 分）
三、
对 x 与 ｙ 两个量进行组合测量，测量方程如下：
⎧x +　y = 50、04
⎪2　x + y = 70、０2
⎨
⎪⎩２ x + ２ y = １00、０5
上述四次测量得测量精度相同，确定 x、y 得最佳估计值及其精度。 本题 １8 分）
四、
对一温度测量仪进行标定,被测温度 x 由标准场提供，其误差可忽略不
计.通过试验得到得被测温度 x 与测温仪得输出电压 y 得数值如下:
确定　ｙ　对 ｘ 得线性回归方程表达式，并进行方差分析与回归方程得显著性检验；
(附:Ｆ0.10（1,4)=４、5４,Ｆ0.05（1，4）=7、71,F0.01（1，4）＝２1、2)(本题 ２0　分)
五、
在光学计上用量块组作为标准件，重复测量圆柱体直径 9 次,已知单次
测量得标准差为　０、3 微米,用算术平均值作为直径测量结果。量块组由三块
量块组成，各量块得标准不确定度分别为 0、15 微米、０、10 微米、0、0８ 微米，x /℃
0
20
40
60
80
100
y /V
0、25
1、94
4、22
5、82
8、20
9、75

⎪x + 2 y = 80、01
(

其相对标准差均为 ２５％,求直径测量结果得合成标准不确定度及其自由度。
（本题 10 分)
六、
简答题（4 小题共　20 分)
（1） 简述仪器得误差来源，并就您熟悉得仪器加以举例说明.(本题 ６ 分）
（2） 简述系统误差得判断方法及其适用对象。（本题 5 分)
（3)　简述误差分配得依据与基本步骤。（本题　４　分)
(4） 简述微小误差得判别方法及其应用？ （本题　5 分）
合肥工业大学仪器科学与光电工程学院
误差理论与数据处理
1
2
经测得 a = 20、3 ± 0、1cm, b = 10、５ ± ０、２cm， a =　４0、36＇±２4’ ，设 a,ｂ，　a得测
量相互独立,试求面积　Ｓ　得测量结果及极限误差。（本题 １０ 分)
二、 对某量进行了 １２ 次测量,测得值如下:(单位：mm）
２5、６4， ２5、6５， 25、６2， 25、40， 25、６7， 2５、６3，25、６6， 25、6４, ２5、63, ２５、６6,
25、64， 25、60。
若这些测得值存在不变得系统误差　0、02ｍm,试判断该测量列就是否含有粗大
误差,并求被测量得测量结果（要求置信概率　P=９9、73%)。（本题 １5　分)
三、 甲乙两人分别对某地得重力加速度进行了测量.甲共测量　16　次,平均值为
９、8０8m／ｓ2，单次测量标准差为　0、01５m/s2；乙共测量 25 次，平均值为
9、810ｍ/s2,其单次测量标准差为 ０、0２0ｍ/s2。若由甲乙两人得测量数据计算
测量结果，求该测量结果及其标准差。(本题　15　分）
四、　由下列误差方程，求 ｘ 、　y 得最佳估计值及其精度(单位略）。（本题　1５ 分)
v1 = 2、９ - 3x - y
v２ = ０、9 - x +　2 y
v3 =　1、9 - ２　x +　3 y
P1 = １
P2 = 2
P3 = 3
五、　通过试验测得某一铜棒在不同温度下得电阻值:
ｔ /　0 C
R　/ Ù
19、1
７6、30
25、０
7７、80
30、1
79、７5
36、0
80、80
40、0
82、3５
45、1
８3、9０
设 t 无误差,求 R 对 t 得线性关系式,并进行方差分析与显著性检验.
(附：F0、10（1，４)=４、５4,Ｆ0、０5(1，4）＝７、71，F0、01(1，4)=2１、2）（本题 15 分)
六、 已知某高精度标准电池检定仪得主要不确定度分量有:
①仪器示值误差不超过 ± 0、１5 ì　v，按均匀分布,其相对标准差为 2５%；一、 由式 S＝ ab sin a计算三角形得面积,式中 a, b 就是三角形 á 角得两邻边。

②输入电流得重复性，经 9 次测量，其平均值得标准差为　0、05 ì　ｖ；
求该检定仪得标准不确定度分量，并估计其合成标准不确定度及其自由度.
(本题 10 分)
七.简答题
（本题 ２0　分，任选 3 题）
1、 在实际测量中如何减小三大类误差对测量结果得影响？
２、　简述微小误差得判别方法及其应用？
3、 系统误差合成与随机误差合成得方法有何区别?
４、 简述动态测试数据得分类,分析各类数据得特点与性质。
5、　平稳随机过程得必要条件与各态历经随机过程得充分条件就是什么？其特
征量得估计方法有何不同？分别写出它们得特征量均值与方差得估计公
式。
《误差理论与数据处理》试卷一参考答案
一. 某待测量约为 80 ì m，要求测量误差不超过 ３％，现有 1、０　级 ０-300 ì ｍ 与
2、０　级 ０－100 ì　ｍ 得两种测微仪，问选择哪一种测微仪符合测量要求？
(本题 1０ 分）
解:　测量允许误差: 80 × 3% = 2、4ìm
1、0 级测微仪最大示值误差： 300 ×1％ = ３ìm
2、０ 级测微仪最大示值误差：10０ ×　2％ = 2ìm
答:
ﻮ2、0 级 0—100 ì m 得测微仪符合要求.
二. 有三台不同得测角仪,其单次测量标准差分别为： ó　1=0、8′， ó 2　=1、0′,
ó 3 ＝0、5′。若每一台测角仪分别对某一被测角度各重复测量　４　次,并根据
上述测得值求得被测角度得测量结果,问该测量结果得标准差为多少？
（本题 10 分）
解：
p1　： p 2　： p3 =
1
2
１
：
1
2
2
：
1
２
3
=
１　　1 1
： :
６4 100 25
= 25　： 16 ：　64
ó x = ó　i
pi
∑ pi
=
ó 2
4
p ２
ｐ1 +　p　2 + ｐ3
=
1
２
×
16
２5 + 16 + 64
=　0、２′
答：
ﻮ测量结果得标准差 ó　x = 0、2′ 。
三。 测某一温度值 15 次,测得值如下：(单位:℃）
20、5３， 20、5２， ２0、50，　20、5２, 20、5３,　20、５3, ２0、５0, 20、49， ２０、４9,
20、51， 20、53，　20、52， 20、4９,　20、4０， 20、５0
已知温度计得系统误差为—０、05℃,除此以外不再含有其它得系统误差,试判
断该测量列就是否含有粗大误差。要求置信概率　P＝９9、7３％，求温度得测量结
果。(本题　18　分)
解: （１）已定系统误差: Ä = −0、05 Ｃ
(2） ｘ =　20、５0４　， ó =
2
i
15 − 1
= 0、０3３
(3） 因为： v１4 = 2０、4０ − 20、504 = 0、1０4 >　3ó
所以：第 １４　测量值含有粗大误差，应剔除。
（４) 剔除粗大误差后， x ′ = 20、５11
, ó ′ =
2
i
14 − 1
= 0、016　,

∑ v
∑ v

vi
mａx
<　3ó ′ ,ó x ′ =
ó ′
1４
= 0、004
(5） p =　９9、73％
，ｔ=3
， ä lｉm ｘ = ±3ó x′ = ±０、01２
（６） 测量结果：
Ｔ = （ x ′ − Ä） + ä ｌｉｍ x′ =　（20、５1１ +　0、05) ±　０、0１2 = ２0、５61 ± 0、01２ （°C)
四。 已知三个量块得尺寸及标准差分别为：
l1 ± ó　1 = （10、0０0 ±　0、０0０４) mm；
l　2 ± ó　2 = (1、010 ±　０、0０03) mm；
ｌ3 ± ó　3 =　(1、001 ± 0、0001） ｍｍ
求由这三个量块研合后得量块组得尺寸及其标准差（ ñ ij = 0　)。（本题 １0　分）
解：量块组得尺寸：
量块组得标准差:
ﻮＬ = ∑ ｌi = 12、０11　mｍ
ó L = 0、４ 2 + 0、32 + 0、1２ = 0、５1ìm
五。　某位移传感器得位移 x 与输出电压 y　得一组观测值如下:(单位略)
x
y
1
0、10５1
5
０、526２
１0
1、05２１
ﻮ１5
1、5７75
ﻮ２0
２、１031
25
2、6287
设 ｘ 无误差，求 ｙ 对 x 得线性关系式,并进行方差分析与显著性检验。
(附:Ｆ0。1０（1，4)=4、54，F0。０5（1，4）=7、７1，F0。０１（1，4）=21、2)（本题　15 分)
解： ∑　x = 76 ,
∑　ｙ = 7、9９27
，　N = ６
∑ x
2
= 1376 ， ∑　y 2 =　1５、216446 ,
∑ xy = 144、6９9１
x =
7６
6
== 12、6７ , y =
ﻮ7、９9２7
6
== １、332１2
ｌ ｘｘ = ∑ x 2 −
ｌ xy = ∑　xy −
ｌ yy = ∑ y 2 −
1
N
1
Ｎ
1
Ｎ
ﻮ1
6
1
6
１
6
b =
l　xy
l ｘx
=
43、458
４１3、３３3
= ０、１０514
b0 = y − bｘ = 1、3３2 − 0、105 ×12、67 = 1、65 ×1０ −3(∑ x) 2 = 1376 − × (76) 2 = 413、333
(∑ x)(∑ y) = 144、6991 − × 76 × 7、9927 = 43、458
(∑ y) 2 = 15、216446 − × (7、9927) 2 = 4、569237

回归方程：
方差分析：
ｙˆ = b0 + bx = 1、6５ ×10 −３ +　0、105x
Ｕ = bl　xy = ０、10５14 × 43、４58 = ４、5６92
Q = l　yy − U = 4、５６9237 −　4、5６９2 = 0、0００04
显著度检验：
F =
Ｕ
Q / 6 −　2
= 4569２０ >>　F０、0１　(１,4） = 4、54
显著水平：
á = ０、0１ ，回归方程高度显著.
残余标准差：
ó =
Q
6 − ２
= 0、003
六。已知某高精度标准电池检定仪得主要不确定度分量有:
①仪器示值误差不超过 ±　0、１5 ì v，按均匀分布,其相对标准差为 2５％；
②电流测量得重复性，经 9 次测量，其平均值得标准差为　0、０５ ì v;
③仪器分辨率为 0、10 ì v,按均匀分布,其相对标准差为　1５％ 。
求该检定仪得不确定度分量，并估计其合成标准不确定度及其自由度.
（本题 １0　分)
解:(１）仪器示值误差引起得不确定度分量:
u１ =
0、15
3
= 0、087 ， í １ =
１
2 × （０、25) 2
= 8
（２）电流测量得重复性引起得不确定度分量:
u 2 = 0、05　, í 2 = 9 −　１ = 8
（３)仪器分辨率引起得不确定度分量:
u3 =
0、1／ ２
3
= 0、０２9 , í 3=
1
2 × (0、1５)　２
=　22
（4）合成标准不确定度: ｕ c = u1２ + u 2２ + u 3２ = 0、11
合成标准不确定度得自由度:í =
u14
í 1
+
u c4
u 24
í 2
+
u 34
í 3
= 18、３６
七.由下列误差方程，求 x 、 y 得最佳估计值及其精度（单位略)。(本题　１２ 分)
v１ = 5、1 − ２ｘ − y
ｖ２ = １、1 −　x + ｙ
v3 = 7、４ − 4 x +　y
ｖ4 =　5、9 − x − 4　y
解:
⎛ 2 1 ⎞
⎜ 1 − 1⎟
⎜ ⎟
⎝
ﻮ⎛ 5、1⎞
⎜　1、1 ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛　46、8 ⎞
⎝ 20、2 ⎠
T
⎛ 22
⎝ 1
1 ⎞
１9 ⎟⎠
ﻮ−１
=
1 ⎛19
417 ⎝ 1
1 ⎞
22 ⎟⎠
⎛ x ⎞ ⎛ 2、０8⎞
⎝ ｙ ⎠ ⎝ 0、9５ ⎠
ó =
2
i
4 − 2
=　3、４ ×1０ −２
ó　x =　d11ó =
ó y = d　２２ ó =
19
417
22
4１7
×　0、034 =　０、0７
×　0、034 = 0、０８
八。简答题（3 小题共 15 分）(略）⎜
⎟
A = ⎜
4 − 1⎟
⎜ 1
4 ⎟⎠
⎜
⎟
L = ⎜
7、4 ⎟
⎜ 5、9 ⎟
AT L = ⎜⎜
⎟⎟
(A A)
−1
= ⎜⎜
⎟
⎜⎜
⎟
Xˆ = ⎜⎜ ⎟⎟ =(AT A)−1 AT L = ⎜⎜
⎟⎟
∑ v

《误差理论与数据处理》试卷二参考答案
第一题　１2 分:
解:
名义功耗:
传递系数：
功耗得系统误差：
P＝V×I＝2４、００（Ｗ）
aV＝２ aＩ=１
ÄP= aV×Ｖ+ ａＩ×I=0、０5×2—0、0４×1２＝0、58(W)
ﻮ(２ 分)
(４　分）
（2 分)
功耗得随机误差：
äP= ±
(aＶ ⋅ äV )2 + (aI ⋅ ä　I )２　＝± (2 × 0、04)2 + (12 × 0、0２)2 ＝±０、2５ （Ｗ)
（2 分）
功耗及其极限误差：
ﻮ24、０0-0、5８±0、2５ =2３、42±0、２５ （Ｗ)
(2 分）
第二题　20 分:
解:由于测量温度计得系统误差为—0、2ｍW,除此以外不再含有其它得系统误差，故这里不考虑系统误
差得辨别.
1、 求算术平均值:
P =
n
i=1
n
i
=
301１、7
１5
= 2００、78 ｍW
（２　分）
２、　求残余误差:
3、 校核算术平均值及其残余误差:
4、　求测量列单次测量得标准差:
ﻮvi = Ｐｉ −　Ｐ
（略）
ﻮ（３ 分）
（1 分）
根据 Bessel 公式,单次测量标准差为:
ó =
n
2
ｉ
i=1
ｎ − 1
≈ 0、034
(3 分)
5、 判别粗大误差:
用 ３ó　准则判别粗大误差,判定第 ８ 个测量值,即　201、9 为粗大误差,剔除. (２　分）
６、 重新计算算术平均值与单次测量得标准差为: (2 分)
n 　 　　 　　　 　 　 　 　 n
28０9、8
n 　　　14 　 　 　　　 n −　1
7、 再判别粗大误差，根据 ３ó 准则,发现此时测量列中不含有粗大误差。
8、 求算术平均值得标准差： = = 0、０04 mW
n′　　 　19
９、　求算术平均值得极限误差：
由于给定置信概率为 99、7３％，按照正态分布，此时 á = ０、27 ， tá =　3 ，
（1 分）
(2 分）
算术平均值极限误差为：
ﻮä lim P　’ = ±ｔáó Ｐ ’ = ±3 × 0、０4 = ±０、12 mW
ﻮ(２　分)
10、 给出最后得测量结果(要减去已定系统误差）:
第三题 18　分:
P = P’+0、2 + ä ｌim　P ＇ = 200、９０ ± ０、12 mW
1
（2 分）∑ P
∑ v
∑ Pi
∑i=1 vi2

P' = i=1
=
= 200、70 mW;
= 0、147 mW

解：
解:建立误差方程:
⎧v1 = ５０、０4 − (ｘ + y)
⎪v2 = ７0、02 − (2x + y)
⎨
⎪⎩v4 =　10０、05 − (2x + 2　y)
,得 L =
⎡50、04 ⎤ ⎡1
⎢80、01 ⎥ ⎢1
⎢ ⎥ ⎢
⎣1００、05⎦ ⎣２
⎢
1⎤
1⎥⎥
２⎥
⎥
2⎦
⎡ x ⎤
⎣　y⎦
量块 x、y 得最佳估计值为：
ﻮ⎡　x ⎤ −1 ⎡20、０15⎤
⎥
(10 分）
由误差方程，求得: v1 = 0、02０，
v2 = −0、0１5,
ﻮｖ3 = −0、0１5,
ﻮv4 = 0、0１0
标准差： ó l =
4
2
ｉ
i=１
4 −　2
= 0、０22
（４ 分）
T
−１
=
ﻮ１ ⎡　１0 − 9⎤
19 ⎢⎣− 9 10 ⎥⎦
,得不定常数： ｄ11 = d 22 = ０、526
计算块 Ａ、B、Ｃ 最佳估计值得标准差为:
第四题 ２0 分:
解:设回归方程为: yˆ = ｂ0 + ｂｘ
ﻮ⎧⎪ó x = ó d１1 = 0、01６
⎨
（４ 分)
1)
计算参数及其结果如下:
ﻮ6　 　 　　 　 　 　　 　 6
t =1 　 　　　 　 ｔ =１
6
t =1
t
２
ﻮ= 220０0 ；
ﻮ6
t =１
ｔ
ﻮ2
= 217、８0９4 ；
6
t =1
t
ｔ
= 2187、80 ；
2
2
t =1 6 ⎝ ｔ =1 ⎠ 　　　 t =１ 　 6 ⎝ t =１ ⎠⎝ t =1 ⎠
２
t =1 ６ ⎝ t =1 ⎠
ﻮ２
（10 分）
回归方程系数：
l
l xx
ﻮ=　０、097 ;
ｂ０ =　ｙ − ｂｘ = 0、180
回归方程为：
方差平方与及其自由度:
U = ｂｌ　xy = 6５、8436 , í U = １；
Ｑ = S − U = 6４、58 ， í Q =　4 ；
ﻮyˆ = 0、18０ + ０、0９7　x
S = ｌ yy = 0、16１，
í Ｓ = 5 ;
(2 分)
显著性检验: F =
Ｕ
Q
í　Q
= 1635　>＞ F001（1，4)=21、2, 高度显著；
２⎪v3 = 80、01 − (x + 2 y)
⎢70、02 ⎥
⎢ ⎥ , A = ⎢2
, Xˆ = ⎢ ⎥
(
)
Xˆ = ⎢ ⎥ = AT A AT L = ⎢
⎣ y⎦
⎣30、005⎦
∑ v
(
由 A A
)
⎪⎩ó y = ó d 22 = 0、016
∑ xt = 300 ; x = 50 ; ∑ yt = 30、18 ; y = 5、03 ;
∑ x
∑ y
∑ x y
1 ⎛ 6
⎞⎛ 6
⎞
1 ⎛ 6
⎞
6
6
l xx = ∑ xt − ⎜ ∑ xt ⎟ = 7000 ; lxy = ∑ xt yt − ⎜ ∑ xt ⎟⎜ ∑ yt ⎟ = 678、80 ;
1 ⎛ 6
⎞
6
l yy = ∑ yt − ⎜ ∑ yt ⎟ = 66、004 ;
b = xy

方差：
ó =
Ｑ
í Ｑ
=　0、２
(8　分)
第五题 １0 分：
解:１、测量重复性引起得不确定度分量:
u1 =
0、３
9
= 0、1
í １ = 9 − 1 = ８
(2　分）
２、量块组引起得不确定度分量：　ｕ 21 = 0、15　,í 21 =
１
2 × （0、25) 2
= ８ ；
u 22 =　0、１０　,í 22
u　23 = ０、08 ，í 23
=
=
ﻮ1
2 × （0、２５)　２
１
２ × （0、25）　2
ﻮ= ８
= 8 ;
u 2 = u 212 + u ２22 + u　2３2 = 0、2０ ,í 2 =
0、15　4
8
+
ﻮ0、20 ４
０、1０ 4
８
+
0、０8 4
8
=　19、8
（４ 分）
3、直径测量结果得合成标准不确定度：
ｕ c = u12 +　u 22 =　0、１０ 2 + 0、20 ２ =　０、23　；í =
u14
í 1
ﻮｕ c4
+
u 24
í 2
ﻮ=
ﻮ0、23 ４
0、1４ ０、２ 4
8 19、8
= ３0、２ (４ 分)
第六题 20 分： 答案略。
３+

2０05-2006 学年第一学期《误差理论与数据处理》试卷标准答案
一、1、 S =
１
2
ab siｎ á = 6９　、　３6 cｍ
2
ａ1 =
2、 ａ 2 =
∂S
∂a
∂Ｓ
∂ｂ
=
=
１
２
1
2
b　sin á = 3、42
a　siｎ á = 6、61
a3 =
∂Ｓ
∂á
=
1
2
ａｂ cosá = 80、９2
3、 ä　lim á =
ﻮ2４
６0 × １80
ð = 0、0０7
4、 ä lim S = ±　（a1ä　lim a )　２ + （a2ä lim ｂ　) 2 + (a３ä lｉmá ) ２ = ±1、4８cｍ 2
二、１、 x =
12
i =１
12
= 25、６2mm， ó =
12
i =１
i − ｘ) 2
１2 −　1
= ０、072mm
2、判断有无粗大误差:根据莱以特准则，认为 25、4０　值存在粗大误差，应
予剔除。
3、重新计算：
x　' =
12
i =1，i ≠ ４
11
= 25、64mm， ó =
12
i −　x） ２
i =1，i ≠ 4
1１ −　1
= 0、02mm
４、判断有无系统误差:
由残差观察法得:残余误差大体上正负相间，且无明显变化规律，则无
根据怀疑测得值含有变化得系统误差；
又有题意知测得值中存在不变得系统误差△=0、02mm。
５、经再次判断，剩余数据内无粗大误差.
６、 ó　x　’ =
ó
11
= 0、006mm
７、设测得值服从正态分布,则取 P=99、７3％，得　t=3,所以
ä lim　ｘ　' = ±3ó x ＇ = ±0、0１8mm
8、测量结果为 x ’−Ä + ä lim x ' = 25、62 ± 0、018（mm) .
三、1、 ó　ｘ甲 =
0、01５
１6
= ０、0038m　/ s ２　, ó x乙 =
0、020
２5
= 0、004m /　s ２
２、求甲、乙两人测得值得权重： P甲：P乙＝
1　 　1
２
=1、1１：∑ xi
∑ ( x
∑ xi
∑ ( x
:

1

3、测量结果为
x =
ﻮP甲　x甲+Ｐ乙 x乙
P甲+P乙
=９、80９m /　ｓ　２
4、加权算术平均值标准差为
ó x =
P甲ó ｘ
P甲+Ｐ乙
=0、００2８m / s 2
四、依题意得
⎡3　１ ⎤ ⎡2、9⎤ ⎡1　0 0 ⎤
⎣ ⎦
T ⎡d１1 d12 ⎤
d
1 ⎡36 19⎤
４67 ⎢⎣1９ 23⎥⎦
⎡ x ⎤ −1 T ⎡0、964⎤
⎥
４、计算得v1= －0、0０６，ｖ２＝ -０、０36，v3= -0、０1４
则可得直接测量值得单位权标准差
ó =
2　 　 　2
3 −　2
２
=　0、0567
5、进而得 x,y 估计值得精度
ó xˆ = d１１ó = 0、0１57, ó yˆ = d 2２ ó =　０、０1２6
五、１、依题意计算得
６
i =1
6 　 6 　　 　 　 　 　6
ｉ =１ 　 　 　　 i =1 　 　　 　　i =1
2 　　　 2
6
i =1
i　ｉ
ﻮ= 1578９、495,
设 R=ｂ０ +　bt ,为得到b0,b得估计值,需先计算以下各式:
6
２
ｉ =1　 6 ｉ =1
6
2
ｉ =１ 　 6 i =1
6 　　　 　 　　 6
ｉ =１　 6 i=1　 i =1⎢1 − 2 ⎥, L＝⎢0、9⎥, X = ⎡ x ⎤, P = ⎢0 2 0⎥
1、 A＝⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣1、9 ⎥⎦
⎢⎣0 0 3⎥⎦
⎢⎣2 − 3⎥⎦
2、 C −1 = ( A PA) −1 = ⎢
⎥ =
⎣d 21 22 ⎦
3、 Xˆ = ⎢ ⎥ = C A PL = ⎢
⎣ yˆ ⎦
⎣0、014⎦
ˆ
v1 + 2 × v2 + 3 × v3
∑ t i = 195、3,
∑ Ri = 480、9, ∑ t i = 6825、83, ∑ Ri = 38583、965,
∑ t R
1 6
ltt = ∑ t i − (∑ t i ) 2 = 468、815
1 6
l RR = ∑ Ri − (∑ Ri ) 2 = 39、83
1 6
ltR = ∑ Ri it − (∑ Ri )(∑ t i ) = 136、2

Ｒ =
１ 6
6 ｉ =1
t =
ﻮ1 6
６ i =1
则 ｂˆ =
ｌｔR
ltt
= 0、29,
ｂ0 = R − bˆｔ = 70、68
因此,R 与　t 得线性关系式为 R＝７０、６8 +　０、29t.
2、方差分析：
3、显著性检验：
F =
U / ã U
Q / ã　Ｑ
= 792、６ >> F0、01 (1，4）
说明:回归方程在　0、01 水平上高度显著。
六、1、由仪器示值误差引起得不确定度分量为
ｕ1 =
0、15
３
= 0、０8７ìV ， ã 1 =
２（
１
ó ｕ
ｕ
) ２
=
1
1　２
4
= 8
2、由测量重复性引起得不确定度分量为
u1 = ０、05ìV , ã 2 = ｎ－1 = 8
3、合成标准不确定度为
2　 　 2
ｕ C
4
+
4
4
ã　2
= 1２、8
七、简答题
1、粗大误差得减小方法:
1）加强测量者得工作责任心;2)保证测量条件得稳定,避免在外界条件激误差源
平方与
自由度
方差
回归 U
bltR = 39、63
1

残差 Q
S-U=0、2
4
Q/4=0、05
总得离差 S
l RR = 39、83
5

(∑ Ri ) = 80、15
(∑ t i ) = 32、55
2 × ( )
u C = u1 + u 2 = 0、10ìV , ã uC =
u1

u 2

烈变化时进行测量；3)采用不等测量或互相校核得方法；4)采用判别准则，在
测量结果中发现并剔除。
系统误差得减小方法：１）从误差根源上消除；２）预先将测量器具得系统误
差检定出来，用修正得方法消除；３)对不变得系统误差,可以考虑代替法、抵
消法、交换法等测量方法；对线性变化得系统误差，可采用对称法;对周期性系
统误差,可考虑半周期法予以减小。
随机误差得减小方法:1）　从误差根源上减小；2)采用多次测量求平均值得
方法减小；3）采用不等精度、组合测量等方法消除.
2、对于随机误差核未定系统误差，微小误差判别准则为:若该标准差小于或等
于测量结果总标准差得 1／３　或 1/10,则可认为该误差就是微小误差,准予舍去。
在计算总误差或误差分配时，若发现有微小误差,可不考虑该项误差对总误
差得影响。选择高一级精度得标准器具时，其误差一般应为被检器具允许总
误差得 １/１0-3/１0.
3、系统误差分已定系统误差与未定系统误差,对已定系统误差,采用代数与法
合成即可：
r
Ä
ｉ =1
对于未定系统误差，采用方与根法合成：
2
⎝ i =１ ⎠ 　 1≤i<ｉ
对随机误差,也采用方与根法合成：
２
⎝ i =1 ⎠　 　1≤ｉ<i
由于未定系统误差不具有抵偿性，而随机误差具有抵偿性，因此在用多次重
复测量得平均值表示测量结果时，合成标准差中得各项随机误差标准差都必
须除以测量次数得平方根，未定系统误差则不必如此。
4、动态测试数据分类：∑Ä = i ir a
⎛ s
⎞
s
∑ ∑+⎟⎜= ij i j i ji i a a u uu a u 2 ñ
⎛ s
⎞
s
∑ ∑+⎟⎜= ij i j i ji i a aa 2 ñ ó óóó

⎧ ⎧ ⎧正弦周期数据
⎪ ⎪周期数据⎨
⎪ ⎪ ⎩复杂周期数据
⎪确定性数据⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧各态历经平稳随机过程
⎪ ⎩ ⎩
特点：
确定性数据可由确定得数学表达式表示出来，正弦周期含有单一频率,而复杂周
期数据就是由多种频率综合而成得数据，且频率比全为有理数。准周期数据得频率
比不全为有理数,瞬态数据得频谱一般就是连续得。
随机过程数据就是无法用确定得表达式表示出来，它得值无法预知，但具有统计规
律性。其中非平稳随机过程得均值、方差、自相关函数一般就是随时间变化得,而
平稳随机过程得均值、方差、自相关函数则不会随时间发生变化。
5、平稳随机过程得必要条件: m ｘ （t ） =　C且Rx （t，　t + ô ) = R(ô ） ，与 t 无关，
总体平均法估计
m x　（t k ） =
1
N
N
i =1
N
N −　１ i =１
各态历经随机过程得充分条件:ô → ∞时，R(ô　) → ０
时间平均法估计: m　ｘ =
1 n
n
x(t i ）, Dx =
1 n
n⎪非周期数据⎧准周期数据
⎨
⎪
⎩瞬态数据
动态测试数据⎨
⎩
⎧非平稳随机过程
⎪随机过程数据⎪⎨
⎪
⎪平稳随机过程⎨非各态历经平稳随机过程
⎩
∑ xi kt( ), D x kt( ) =
1
∑{xi kt( ) − m(t k )}2;
∑=i 1
∑=i 1 {xi x }2;
− m

２005—2006　学年第一学期《误差理论与数据处理》试卷评分标准
对照标准答案,各步骤得评分标准如下：
一、1)3 分;2）3 分；3）１ 分；4)3 分
二、1)3 分;2）２　分；3)　２　分；4） 1　分；５）１ 分；6)２　分;７）２ 分；８）２
分
三、1）4 分；2)4 分；3)３ 分；4)４　分
四、１）3 分；2)2 分；３)4 分；4）４ 分;5)2 分
五、1)