高一数学下册知识点练兵检测试题19.doc

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在括号内．
1．若＋(1＋i)2＝a＋bi(a，b∈R)，则a－b＝(　　)
A．2　　B．－2　　C．2＋2　　D．2－2
解析：＋(1＋i)2＝1－i－2＋2i＝－1＋(2－1)i＝a＋bi，则a＝－1，b＝2－1，故a－b＝－2.
答案：B
2．已知全集I＝R，若函数f(x)＝x2－3x＋2，集合M＝{x|f(x)≤0}，N＝{|f′(x)＜0}，则M∩∁IN＝(　　)
A．[，2] B．[，2)
C．(，2] D．(，2)
解析：由f(x)≤0，即x2－3x＋2≤0，解得1≤x≤2，故M＝[1,2]；由f′(x)＜0，即2x－3＜0，解得x＜，故N＝(－∞，)，∁IN＝[，＋∞)，故M∩∁IN＝[，2]．
答案：A
3．已知α∈(－，0)，cosα＝，则tan(α－)＝(　　)
A. B．7 C．－ D．－7
解析：由已知得sinα＝－，则tanα＝－，故tan(α－)＝＝＝7.
答案：B
4．已知一个空间几何体的三视图及其寸如图所示，则该空间几何体的体积是(　　)

A. B. C．14 D．7
解析：这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是2，上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，故其体积V＝×(12＋＋22)×2＝.
答案：A
5．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出200人作进一步调查，其中低于1 500元的称为低收入者，高于3 000元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中分别抽取的人数是(　　)

A．1 000,2 000 B．40,80
C．20,40 D．10,20
解析：由图可知，低收入者的频率是0.000 2×500＝0.1，故应在低收入者中抽取200×0.1＝20人；高收入者的频率是(0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2，故应在高收入者中抽取200×0.2＝40人．
答案：C
6．给出下列结论：
①命题“若p，则q或r”的否命题是“若p，则q且r”；
②命题“若p，则q”的逆否命题是“若p，则q”；
③命题“∃n∈N*，n2＋3n能被10整除”的否命题是“∀n∈N*，n2＋3n不能被10整除”；
④命题“∀x，x2－2x＋3＞0”的否命题是“∃x，x2－2x＋3＜0”．
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由于否命题是把原命题的否定了的条件作条件、否定了的结论作结论得到的命题，故①正确；由于逆否命题是把原命题的否命题的结论作条件、否定了的条件作结论得到的命题，故②不正确；特称命题的否命题是全称命题，故③正确；虽然全称命题的否命题是特称命题，但对结论的否定错误，故④不正确．
答案：B
7．在平面直角坐标系中，由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线y＝ex以及该曲线在x＝a(a≥1)处的切线所围成图形的面积是(　　)
A．ea B．ea－1 C.ea D.ea－1
解析：∵y＝ex，∴y′＝ex，故曲线y＝ex在x＝a处的斜率为ea，切线方程为y－ea＝ea(x－a)，令y＝0得x＝a－1≥0.如图所示，点A(a－1,0)，D(a,0)，，B(a，ea)，两坐标轴的正半轴，曲线y＝ex以及该曲线在x＝a(a≥1)处的切线所围成图形的面积等于曲边形ODBC的面积减去△ADB的面积，曲边形ODBC的面积为exdx＝ea－1，△ADB的面积为|AD|.
|DB|＝×[a－(a－1)]ea＝ea，故所求的面积为ea－1－ea＝ea－1.

答案：D
8．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝30°，若在该菱形内任取一点，则该点到菱形的顶点A，B的距离均不小于1的概率是(　　)
A. B．1－ C．1－ D．1－
解析：如图所示，只有空白区域内的点到A，B的距离均不小于1，菱形的面积为2×2sin30°＝2，两个阴影部分扇形的面积之和恰好是一个半径为1的半圆的面积，其面积为，故空白区域的面积为2－，所求的概率是＝＝1－.

答案：B
9．在直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)
B．(0，＋∞)
C．(0,2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)
解析：如图所示，直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，只有直线的斜率k∈(－∞，－1)时，才可构成三角形区域；当这条直线的斜率为正值时，y≤k(x－1)－1所表示的是直线y＝k(x－1)－1及其右下方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域，不能构成三角形．因此k的取值范围是(－∞，－1)．

答案：A
10．已知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，O为坐标原点，若·＝－，则k的值为(　　)
A．± B．±1 C．± D．－
解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立两个方程得x2＋(kx＋1)2＝1，即(1＋k2)x2＋2kx＝0，解得x1＝0，x2＝－，则y1＝1，y2＝k(－)＋1＝，故·＝x1x2＋y1y2＝0×(－)＋1×＝＝－，即k2＝3，故k＝±.
答案：A
11．若函数f(x)＝kax－a－x(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　)

解析：依题意得，对于任意的x∈R有，f(－x)＋f(x)＝0，即ka－x－ax＋kax－a－x＝0，(k－1)(a－x＋ax)＝0，
∵a－x＋ax≠0，∴k＝1，∴f(x)＝ax－a－x，g(x)＝loga(x＋1)，
∵f(x)＝ax－a－x在(－∞，＋∞)上为增函数，故a＞1，
∴g(x)＝loga(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数．
答案：C
12．现有20个零件，其中16个是一等品，4个是二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法的种数是(　　)
A．1 136 B．1 600 C．2 736 D．1 120
解法一：“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品的不同取法”，“恰有2个一等品的不同取法”，“恰有3个一等品的不同取法”，由分类计数原理有：CC＋CC＋C＝1 136种．
解法二：考虑其对立事件：“3个都是二等品”，用间接法：C－C＝1 136种．
答案：A
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中横线上．
13．一个算法的程序框图如图所示，如果输出的结果在区间[－1,1]内，则输入的x的取值范围是__________．

解析：当x＞0时，由y＝lgx∈[－1,1]得x∈[，10]，同理，x＜0时，得x∈[－10，－]，当x＝0时输出结果也在区间[－1,1]内．
答案：{0}∪[－10，－]∪[，10]
14．在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率是__________．
解析：设AB＝2c(c＞0)，则BC＝4c，根据余弦定理AC＝＝2c，根据双曲线定义2a＝AC－BC＝2c－4c，故该双曲线的离心率为＝＝＝＝.
答案：
15．已知直线y＝2x上一点P的横坐标为a，A(－1,1)，B(3,3)，则使向量与的夹角为钝角的充要条件是__________．
解析：由题意知P点的坐标为(a,2a)，＝(－1－a,1－2a)，＝(3－a,3－2a)．
由向量与的夹角为钝角，得：
·＝(－1－a,1－2a)·(3－a,3－2a)
＝(－1－a)(3－a)＋(1－2a)(3－2a)
＝5a2－10a＜0，∴0＜a＜2，但是当a＝1时，，反向共线，其夹角为π，故向量与的夹角为钝角的充要条件是0＜a＜2且a≠1.
答案：0＜a＜2且a≠1
16．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则＝__________.
解析：令y＝1得f(x＋1)＝f(x)+2x+2,即f(n+1)=f
(n)=f(n)+2n+2,
故f(2)-f(1)=21+2,f(3)-f(2)=22+2,
…,f(n)-f(n-1)=2(n-1)+2,各式相加得f(n)
-f(1)=2
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题12分)在一次代号为“东方雄师”的军事演习中，红军派出甲、乙两架轰炸机对蓝军的同一地面目标进行轰炸，已知甲轰炸机投弹1次命中目标的概率为，乙轰炸机投弹1次命中目标的概率为，两机投弹互不影响，每机各投弹2次，2次投弹之间互不影响．
(1)若至少2次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；
(2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
解析：设Ak表示甲轰炸机命中目标k次，k＝0,1,2，Bl表示乙轰炸机命中目标l次，l＝0,1,2，则Ak，Bl相互独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有
P(Ak)＝C()k()2－k，P(Bl)＝C()l()2－l.
据此算得P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝.P(B0)＝，P(B1)＝，P(B2)＝.
(1)所求概率为1－P(A0B0＋A0B1＋A1B0)＝1－(×＋×＋×)＝1－＝.
(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，则
P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝×＝，
P(ξ＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝×＋×＝，
P(ξ＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＋P(A2B0)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝×＋×＝，
P(ξ＝4)＝P(A2B2)＝×＝.
综上知，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P

从而，ξ的数学期望Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
18．(本小题12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AB＝a，E是PB的中点．
(1)求异面直线PD与AE所成角的正切值；
(2)在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC；
(3)在(2)的条件下，求二面角F－PC－E的正切值．

解析：(1)连接AC、BD交于点H，连接EH.
∵BH＝DH，PE＝EB，∴EH∥PD，
∴∠AEH为异面直线PD与AE所成的角，
∵EH＝PD＝，
AH＝AC＝a，
∴tan∠AEH＝＝，即异面直线PD与AE所成角的正切值为.
(2)设F为AD的中点，连接EF、HF.∵H、F分别为BD、AD的中点，∴HF∥AB，故HF⊥BC，又EH⊥BC，∴BC⊥平面EFH，因此BC⊥EF.

又PF2＝PD2＋DF2＝a2，BF2＝AB2＋AF2＝a2，
E为PB的中点，∴EF⊥PB.∴EF⊥平面PBC，即点F为AD的中点时满足题意．
(3)∵PD⊥平面ABCD，∴CD是PC在平面ABCD上的射影．
又CD⊥BC，∴PC⊥BC.取PC的中点G，连接EG，则EG∥BC，∴EG⊥PC，连接FG.
∵EF⊥平面PBC，∴EG是FG在平面PBC上的射影，且PC⊥EG，∴FG⊥PC.∴∠FGE为二面角F－PC－E的平面角，∵EG＝BC＝，
EF＝＝＝a，
∴tan∠FGE＝＝，
∴二面角F－PC－E的正切值为.
19．(本小题12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝Sn＋3n＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝，设数列{bn}的前n项和为Tn，求使不等式－Tn＜成立的最小正整数n的值．
解析：(1)∵a1＝1，an＋1＝Sn＋3n＋1(n∈N*)，①
∴当n≥2时，an＝ Sn-1+3(n-1)+1          ②
①－②得an+1-an=an+3，即n≥2时，an＋1＝2an＋3，
又a2＝S1＋4＝5＝2a1＋3，
故对一切正整数n，an＋1＝2an＋3，
则有an＋1＋3＝2(an＋3)，
所以数列{an＋3}是公比为2，首项为a1＋3＝4的等比数列，
故an＋3＝4·2n－1，an＝2n＋1－3(n∈N*)．
(2)bn＝＝·＝·＝(－)，
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝×(－)＝－，
故－Tn＝＜，即2n＋3＞2 016，故只要n＋3≥11，即n≥8，故所求的最小正整数n的值为8.
20．(本小题14分)已知函数f(x)＝x2＋(a∈R)．
(1)求函数f(x)的图象在x＝1处，且垂直于直线x－14y＋13＝0的切线方程，并求此时函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤a2－2a＋4对任意的x∈[1,2]恒成立．求实数a的取值范围．
解析：(1)∵f(x)＝x2＋，∴f′(x)＝2x－，根据题意有f′(1)＝2－2a＝－14，解得a＝8，此时切点坐标是(1,17)，故所求的切线方程是y－17＝－14(x－1)，即14x＋y－31＝0.
当a＝8时，f′(x)＝2x－＝.
令f′(x)＞0，解得x＞2，令f′(x)＜0，解得x＜2且x≠0，
故函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，0)和(0,2)．
(2)由(1)知f′(x)＝2x－＝.
①若a≤1，则f′(x)＞0在区间(1,2]上恒成立，f(x)在区间[1,2]上单调递增，函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(2)＝4＋a；
②若1＜a＜8，则在区间(1，)上，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，在区间(，2)上，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(1)，f(2)中的较大者，f(1)－f(2)＝1＋2a－4－a＝a－3，故当1＜a≤3时，函数f(x)的最大值为f(2)＝4＋a，当3＜a＜8时，函数f(x)的最大值为f(1)＝1＋2a；
③当a≥8时，f′(x)＜0在区间[1,2)上恒成立，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，函数f(x)的最大值为f(1)＝1＋2a.
综上可知，在区间[1,2]上，当a≤3时，f(x)max＝4＋a；当a＞3时，f(x)max＝1＋2a.
不等式f(x)≤a2－2a＋4对任意的x∈[1,2]恒成立等价于在区间[1,2]上，f(x)max≤a2－2a＋4，故当a≤3时，4＋a≤a2－2a＋4，即a2－3a≥0，解得a≤0或a＝3；当a＞3时，1＋2a≤a2－2a＋4，即a2－4a＋3≥0，解得a＞3.
故a的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．
21．(本小题14分)已知平面内动点P(x，y)到定点F(1,0)的距离与其到定直线l：x＝4的距离之比是，设动点P的轨迹为M，轨迹M与x轴的负半轴交于点A，过点F的直线交轨迹M于B、C两点．
(1)求轨迹M的方程；
(2)证明：当且仅当直线BC垂直于x轴时，△ABC是以BC为底边的等腰三角形；
(3)△ABC的面积是否存在最值？如果存在，求出最值；如果不存在，说明理由．
解析：(1)由题意得＝，则4[(x－1)2＋y2]＝(x－4)2，即3x2＋4y2＝12，∴＋＝1，即是轨迹M的方程．
(2)由(1)易知轨迹M与x轴的负半轴交于点A(－2,0)．
直线BC过点A时，A，B，C三点不能构成三角形，故直线BC的斜率不等于0，故可设直线BC的方程为x＝my＋1，由，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则
y1＋y2＝-
如果△ABC是以BC为底边的等腰三角形，必有|AB|＝|AC|，
∴(x1＋2)2＋y＝(x2＋2)2＋y，
∴(x1＋x2＋4)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴[m(y1＋y2)＋6][m(y1－y2)]＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∵y1≠y2，∴(m2＋1)(y1＋y2)＋6m＝0，
∴(m2＋1)(－)＋6m＝0，
∴m＝0或＝1(无解)，即如果△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则m＝0，此时直线BC垂直于x轴．
反之，当直线BC垂直于x轴时，直线BC的方程是x＝1，易知B(1，－)，C(1，)或B(1，)，C(1，－)，此时|BC|＝3，|AB|＝|AC|＝，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故直线BC垂直于x轴时，△ABC是以BC为底边的等腰三角形．
综上可得：当且仅当直线BC垂直于x轴时，△ABC是以BC为底边的等腰三角形．
(3)存在最大值，不存在最小值．
设△ABC的面积存在最值．由(2)知点A到直线BC的距离d＝；
|BC|＝
＝
＝
＝12 ＝.
故△ABC的面积S＝|BC|·d＝.
令t＝，则t≥1且m2＝t2－1，则＝＝，
令g(t)＝3t＋，则g′(t)＝3－，当t≥1时g′(t)恒大于0，
故函数g(t)＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，故函数g(t)的值域为[4，＋∞)，故∈(0，]，
所以△ABC的面积S∈(0，]，即△ABC的面积存在最大值，不存在最小值．
22．(本小题10分)选修4－1：几何证明选讲
如图所示，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.
(1)证明：OM·OP＝OA2；
(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.

证明：(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.
又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.
(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，
同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，
所以OP·OM＝ON·OK，即＝.
又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，
故∠OKM＝∠OPN＝90°.
23．(本小题10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sinθ，设直线l的参数方程是(t为参数)，试判断直线l和曲线C的位置关系．
解析：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程得x2＋y2－2y＝0，故知曲线C为圆，其圆心坐标为(0,1)，半径r＝1.
将直线l的参数方程化为普通方程得：4x＋3y－8＝0.
由于圆心到直线l的距离d＝＝1＝r，
故直线l与圆C相切．
24．(本小题10分)选修4－5：不等式选讲
设x，y，z∈(0，＋∞)，且x＋y＋z＝1，求＋＋的最小值．
解析：由x＋y＋z＝1可知＋＋＝(x＋y＋z)(＋＋)．
由柯西不等式得(x＋y＋z)(＋＋)≥(1＋2＋3)2＝36.
当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．
所以，＋＋的最小值为36.

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