费马点最值问题.doc

费马点
破解策略
费马点就是指平面内到三角形三个顶点距离之与最小得点,这个最小得距离叫做费马距离.
　 　 　若三角形得内角均小于１20°，那么三角形得费马点与各顶点得连线三等分费马点所在得周角;若三角形内有一个内角大于等于１20°，则此钝角得顶点就就是到三个顶点距离之与最小得点。
1. 若三角形有一个内角大于等于1２0°，则此钝角得顶点即为该三角形得费马点

　　 　 　 如图在△ＡBC中,∠BAC≥120°,求证：点A为△ＡBC得费马点
证明：

如图,在△ＡBC内有一点P延长BＡ至C，使得AC＝AC,作∠CＡＰ＝ ∠CＡP，并且使得AP=AP,连结PP
则△ＡPC≌△APC,PC＝PＣ
因为∠ＢＡC≥1２0°
所以∠PＡＰ＝∠ＣAＣ≤６0
所以在等腰△PＡＰ中，AP≥PP
所以PA＋PB+PC≥PP＋PB＋ＰＣ>ＢC=AB＋ＡＣ
所以点A为△ABＣ得费马点
2. 若三角形得内角均小于120°,则以三角形得任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内得交点即为该三角形得费马点。

如图，在△ABＣ中三个内角均小于120°,分别以AB、AC为边向外作等边三角形,两个等边三角形得外接圆在△ABC内得交点为O，求证：点O为△AＢC得费马点
证明:在△ABC内部任意取一点O，;连接OA、ＯB、ＯC

将△ＡOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′Ｄ连接OO′则O′Ｄ＝OC
所以△ＡOO′为等边三角形,ＯＯ′＝ＡO
所以OA＋OＣ＋OB=OＯ′＋OB+O′D
则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小
此时ＡＢAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形得外接圆在△AＢＣ内得交点即为点O
如图，在△ABC中,若∠BAＣ、∠ABC、∠ＡCB均小于１20°,O为费马点,则有∠ＡＯB＝∠BＯC＝∠ＣOＡ=１２０°,所以三角形得费马点也叫三角形得等角中心

例1 如图,在平面直角坐标系中,点A得坐标为（-6,0），点B得坐标为(6,0),点C得坐标为（６,),延长AＣ至点D使得ＣD=AC,过点ＤＥ作ＤE／／ＡB,交BC得延长线于点E，设G为y轴上得一点，点P从直线ｙ=x+与y轴得交点M出发,先沿y轴到达点G,再沿GA到达点A,若点Ｐ在ｙ轴上运动得速度就是它在直线GA上运动速度得２倍，试确定点G得位置,使点P按照上述要求到达A所用得时间最短

解:∵t=
∴当2ＧA＋GM最小时，时间最短
如图,假设在OＭ上存在一点G，则BG=AG
∴MＧ+2AG＝MG＋AG＋BG
把△MGB绕点B顺时针旋转60°，得到△M′G′B，连结GG′,MＭ′
∴△ＧG′B、△MM′Ｂ都为等边三角形
则ＧG′=Ｇ′B＝GＢ
又∵M′G′＝MG
∴MG+AG+BG＝M′Ｇ′＋GG′＋AＧ
∵点A、M′为定点
∴AM′与OM得交点为Ｇ,此时MＧ＋AG+BG最小
∴点G得坐标为(0,）
例2 A、B、Ｃ、D四个城市恰好为一个正方形得四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通,并就是整个公路系统得总长度为最小,则应当如何修建？

解:如图，将△AＢP绕点N逆时针旋转6０°，得到△EBＭ;同样,将△DCQ绕点Ｃ顺时针旋转60°,得到△FCN,连结AE、ＤF,则△AＢＥ、△ＤＣF均为等边三角形，连结ＰM、QN，则△BPＭ，△ＣQＮ均为等边三角形

所以当点E，M,Ｐ,Q，N,F共线时,整个公路系统得总长取到最小值,为线段EF得长，如图，此时点P，Q在EF上，Ð1＝Ð2=Ð3＝Ð4=３０°．

进阶训练
1。如图,在DAＢC中,ÐAＢC=6０°，AＢ＝５,BＣ=３,P就是DABC内一点,求PA+ＰB+PC得最小值，并确定当PＡ＋PB+PC取得最小值时，ÐAPC得度数.

答案:PA＋PB＋PC得最小值为7，此时ÐAPC=120°.

【提示】如图，将DＡPB绕点B逆时针旋转60°，得到DＡ'BP’,连结PP’,A'Ｃ。过点A’作A’E^BC，交ＣB得延长线于点E.解ＲtDA'EＣ求Ａ'C得长，所得即为PA+PＢ+ＰC得最小值.
2。 如图，四边形ABCD就是正方形,DABＥ就是等边三角形,M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连结AM,ＣＭ,EN.
(1）当Ｍ在何处时，ＡM＋CＭ得值最小？
（2)当Ｍ在何处时，AM+BM+CM得值最小？请说明理由;
(3）当AM＋BＭ＋CM得最小值为时,求正方形得边长．

答案:（1)当点Ｍ落在ＢD得中点时，ＡM+CM得值最小,最小值为AＣ得长;
（2)连结CE，当点Ｍ位于BD与CE得交点处时．AＭ＋BＭ+CM得值最小,最小值为ＣE得长。
（3）正方形得边长为。
【提示】(３）过点E作ＥF^BC,交CB得延长线于点F,解ＲtDＥFC即可.