高中的常见函数图像及基本性质.doc

常见函数性质汇总及简单评议对称变换xybOf(x)=b常数函数 （x）=b (b） 1)、ya 与 x=得图像与走势2）、图象及其性质：函数f()得图象就是平行于轴或与轴重合(垂直于y轴）得直线xyOf(x)=kx+b一次函数 f(）=+b (，b）1）、两种常用得一次函数形式：斜截式 点斜式 2)、对斜截式而言，k、b得正负在直角坐标系中对应得图像走势：3)、k|越大，图象越陡；k|越小,图象越平缓4）、定 义域： 值域：R 单调性：当k0时 ；当k时 奇 偶 性：当b时,函数f（）为奇函数；当b0时，函数f（)没有奇偶性;反函 数:有反函数（特殊情况下:K=1并且b=0得时候)。补充：反函数定义：R例题：定义在r上得函数y=f(x)； y=g（x)都有反函数,且（x-1)与g1（x)函数得图像关于y=x对称，若g(5)=201,求f(4）= 周 期 性:无）、一次函数与其它函数之间得练习 1、常用解题方法：2)点关于直线(点)对称,求点得坐标2、与曲线函数得联合运用反比例函数 f(x）=(k0,k值不相等永不相交;k越大,离坐标轴越远)xyOf(x)=图象及其性质：永不相交,渐趋平行；当k0时，函数f(x）得图象分别在第一、第三象限;当k0时，函数f(x)得图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线,x轴与轴分别就是曲线得两条渐近线；既就是中心对成图形也就是轴对称图形定 义 域: 值 域：单 调 性:当k 0时；当k 0时 周 期 性：无奇偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充:1、反比例函数得性质2、与曲线函数得联合运用（常考查有无交点、交点围城图行得面积）-入手点常有两个-直接带入，利用二次函数判别式计算未知数得取值；利用斜率,数形结合判断未知数取值(计算面积基本方法也基于此）3、反函数变形（如右图） 1)、y1/(x2）与y/2得图像移动比较2）、y=1/()与y=-（1x）图像移动比较3）、f()= (c0且 d0)(补充一下分离常数)(对比标准反比例函数，总结各项内容)xyOf(x)=二次函数一般式:顶点式：两根式：图象及其性质:图形为抛物线，对称轴为 ,顶点坐标为 当时,开口向上,有最低点 当时。当 = 0时,函数图象与轴有两个交点（ )；当0时，函数图象与轴有一个交点（ )；当=0时，函数图象与轴没有交点。 关系 定 义 域:R 值 域：当时，值域为（ );当时,值域为（ ）单 调性：当时；当时、 奇 偶 性：b=0反 函 数:定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数 周 期 性：无补充: 1、得正负；大/小与与函数图象得大致走向（所以,a决定二次函数得 ) 、3、二次函数得对称问题：关于轴对称；关于y轴对称;关于原点对称；关于（m，n）对称4、二次函数常见入题考法:交点（交点之间得距离) 值域、最值、极值、单调性 数形结合判断图形走势(选择题）指数函数xyOf(x)=f(x)= ，系数只能为1。图象及其性质：1、恒过,无限靠近轴;2、与关于轴对称；但均不具有奇偶性。 3、在y轴右边“底大图高;在y轴左边“底大图低”靠近关系定 义域：R 值 域： 单 调 性：当时;当时。 奇 偶 性:无 反 函 数：对数函数 周 期 性：无补充: 、 2、图形变换 Log21/x与Lox n(x1）与lnx xyOf(x)=f(x)=对数函数（与指数函数互为反函数)图象及其性质：恒过,无限靠近轴；与关于轴对称；1时“底大图低”；x1时“底大图高（理解记忆）定 义域:R 值 域： 单调性：当时；当时; 奇偶 性:无反 函数：指数函数 周期 性：无补充： 1、双钩函数(变形式 )图象及其性质：两条渐近线： 最值计算： 定 义 域: 值 域: 单调 性： 奇偶 性:奇函数反 函 数：定义域内无反函数 周 期 性：无注意 :双沟函数在最值、数形结合、单调性得考察中用得较多，需特别注意最值得算法幂函数（考察时，一般不会太难)无论n取任何实数，幂函数图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。不需要背记,只要能够快速画出n=1，1/2，3，1/3,0，得图象就行注意：掌握yx3 得图像；掌握y=3+bx2+cx+d得图像（当0，当a0时）;补充： 利用数形结合，判断非常规方程得根得取值范围。 例：P393，例题0函数图象变换一.平移变换 二.对称变换yf（x）与f（)关于y轴对称；y=(x)与=f（）关于x轴对称；y=(x）与y=f(x)关于原点对称;yf1（x)与yf（x）关于直线y=x对称;y（x）得图象可将y=f(x）得图象在x轴下方得部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变。y=f(|x）得图象:可将f(x),0得部分作出，再利用偶函数关于y轴得对称性。三、伸缩变换y=A（x)（A0)得图象，可将yf(x）图象上每一点得纵坐标伸(A1）缩(0）到原来得倍,横坐标不变而得到yf(ax)（a0）得图象，可将yf（x)得图象上每一点得横坐标伸(0）缩(a1）到原来得,纵坐标不变而得到四、函数及图象(大致图象）典型例题精讲例1:已知y=f（）得图象如图27所示，则下列式子中能作为（x）得解析式就是(A） x22|x+1 C。2-| D。解析：当（)=时, 其图象恰好就是上图.例2:画出函数ylg|1|得图象。解析:=lgx。例：要将函数y=得图象通过平移变换得到y得图象,需经过怎样得变换？解析：y1，先沿x轴方向向左平移1个单位，再沿y轴方向向上平移个单位,即可得到y得图象.例：方程kx有两个不相等得实根,求实数得取值范围解析：设y1y2方程表示过原点得直线，方程表示半圆,其圆心（2，0），半径为1，如图29。易知当OA与半圆相切时, ,故当0k时，直线与半圆有两个交点,即k时,原方程有两个不相等得实根。例5：作函数f(x)=x+得图象分析：f(x）x不能由已知函数图象变换得到，故需对函数f（x)得性质进行研究.解析：函数得定义域就是(，0)(,)，（x）=-f(),(）就是（,）（0，）上得奇函数,又f（x）|x|x+,当且仅当|x|=时等号成立,当时y2；当x0时,2;当(0,1）时函数为减函数,且急剧递减；当x1，）时函数为增函数,且缓慢递增,又x0，y,图象与坐标轴无交点,且轴就是渐近线，作出第一象限得函数得图象，再利用对称性可得函数在定义域上得图象，如图210所示.评述:(1）熟悉各种基本函数图得“原型”就是函数作图得一项基本功；先研究函数得性质,再利用性质作图则能减少作图得盲目性,提高图象得准确性。（2）与图象有关得“辅助线”要用虚线作，以起到定形、定性、定位、定量得作用.例6：f（x）就是定义在区间c，c上得奇函数，其图象如图所示令g()(）+b，则下列关于函数（x)得叙述正确得就是(B ）A.若a0，则函数g(x)得图象关于原点对称B.若a=1,b，则方程g（x)=0有大于2得实根C若a0,b，则方程g（x)=0有两个实根D.若a，b2，则方程（x)有三个实根解析:将f（x)图象上每点得纵坐标变为原来得倍，横坐标不变,再将所得图象向上(0）或向下(bO，nl (C）mO，n1 (）0，n例8:(安庆模拟）函数y=e |x1得图象大致就是(D ）例9:在直角坐标系Oy中,已知AO三边所在直线得方程分别为=0,=0，2x3y，则内部与边上整点(即横、纵坐标均为整数得点)得总数就是（B)A.95 .91 C。 D。7解析：画出图象,补形做出长方形AOBC,共有整点数111676，而六点(0,10），(,8）,（6,6),（，4），（,2)，(15,）在长方形得对角线上，所以符合题意得点数为（17+6）9.例1:将函数y=ogx得图象沿x轴方向向右平移一个单位，得到图象C,图象C与C关于原点对称，图象C与C1关于直线=x对称，那么C2对应得函数解析式就是_。解析:C:ylo（x-1）;由=og（x-)得1：ylog2（x）;求1得反函数得y=12x。例1:若函数|x2+x|得图象C与直线=kx相交于点M（，），那么曲线与该直线有 个交点.解析:(数形结合法）作yx2+43得图象,知其顶点在M(,）.过原点与点（2，）作直线ykx,如图.曲线C与直线ykx有四个交点例2:作函数=()x-1|得图象.解析：(）y=故它在区间,)上得图象,可由=2-x（x0）得图象沿轴方向向右平移1个单位得到在区间(,)上得图象,可由2x（x）得图象沿x轴方向向右平移1个单位得到。例1:已知函数yf（x)(xR）满足f(a+x)（a），求证yf(）得图象关于直线xa对称。证明:设（0，y)就是f（)图象上得任一点，则有0=f（x0），设点P关于直线x=a得对称点为p(,y)，则有，即 由yf（x0)y=（ax)=f(x）即点p（x,y）也在y=f（x)得图象上.=f（)得图象关于直线x=a对称例14：画出函数=得图象，并利用此图象判定方程xa有两个不同得实数解时，实数a所满足得条件.解析：图象就是抛物线x+1在y上得部分.把y=a代入22x+1,得（a）21,即（a1)xa1=0，由=0得a,此时直线与抛物线相切。又因抛物线顶点就是(-，0),可知当直线过点(，0）时,即=时直线与抛物线有两交点，故当1时直线与此抛物线有两个交点,即原方程有两不同实数解。