高中的常见函数图像及基本性质.doc

常见函数性质汇总及简单评议对称变换
x
y
b
O
f(x)=b

常数函数　 ｆ（x）=b (b∈Ｒ）
1)、y＝a 　　与 　x=ａ　得图像与走势
2）、图象及其性质：函数f(ｘ)得图象就是平行于ｘ轴或与ｘ轴重合(垂直于y轴）得直线
x
y
O
f(x)=kx+b
一次函数 　 f(ｘ）=ｋｘ+b (ｋ≠０，b∈Ｒ）
1）、两种常用得一次函数形式：斜截式——　 　 　 　　　 　
点斜式—— 　 　 　 　
2)、对斜截式而言，k、b得正负在直角坐标系中对应得图像走势：
3)、｜k|越大，图象越陡；｜k|越小,图象越平缓
4）、定 义　域：Ｒ　　 　 值域：R 　 　
单调性：当k>0时 　　 ；当k＜０时　　 　
奇 偶 性：当b＝０时,函数f（ｘ）为奇函数；当b≠0时，函数f（ｘ)没有奇偶性;
反　函 数:有反函数（特殊情况下:K=±1并且b=0得时候)。

补充：反函数定义：

R

例题：定义在r上得函数y=f(x)； y=g（x)都有反函数,且ｆ（x-1)与g—1（x)函数得图像关于y=x对称，若g(5)=201６,求f(4）= 　 　 　　
周 期 性:无
５）、一次函数与其它函数之间得练习
1、常用解题方法：
2)点关于直线(点)对称,求点得坐标

2、与曲线函数得联合运用
反比例函数 f(x）=　(k≠0,k值不相等永不相交;k越大,离坐标轴越远)
x
y
O
f(x)=
图象及其性质：永不相交,渐趋平行；当k〉0时，函数f(x）得图象分别在第一、第三象限;当k〈0时，函数f(x)得图象分别在第二、第四象限；
双曲线型曲线,x轴与ｙ轴分别就是曲线得两条渐近线；
既就是中心对成图形也就是轴对称图形
定 义 域: 　 值 　 域：
单 调 性:当k> 0时；当k＜ 0时 　 　 　周 期 性：无
奇　偶 性：奇函数 　
反 函 数：原函数本身
补充:1、反比例函数得性质

2、与曲线函数得联合运用（常考查有无交点、交点围城图行得面积）—-入手点常有两个-—⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数得取值；⑵利用斜率,数形结合判断未知数取值(计算面积基本方法也基于此）
3、反函数变形（如右图）
1)、y＝1/(x—2）与y＝１/ｘ—2得图像移动比较
2）、y=1/(—ｘ)与y=-（1／x）图像移动比较
3）、f(ｘ)=　 (c≠0且 d≠0)(补充一下分离常数)
(对比标准反比例函数，总结各项内容)
x
y
O
f(x)=

二次函数
一般式:
顶点式：
两根式：
图象及其性质:①图形为抛物线，对称轴为　 　,顶点坐标为　　 　
②当时,开口向上,有最低点　 　 当时。。。。。
③当 = 　　 〉0时,函数图象与轴有两个交点（ 　 )；当＜0时，函数图象与轴有一个交点（ )；当=0时，函数图象与轴没有交点。
④ 　 关系 　
定 义 域:R 　 　 值 域：当时，值域为（ 　);当时,值域为（ 　 ）
单 调　性：当时；当时、 　 　 奇 偶 性：b=／≠0
反 函 数:定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数 　　
周 期 性：无
补充:
　 　1、ａ得正／负；大/小与与函数图象得大致走向（所以,a决定二次函数得 　 　　　 　 　 )
２、
3、二次函数得对称问题：关于ｘ轴对称；关于y轴对称;关于原点对称；关于（m，n）对称
4、二次函数常见入题考法:⑴交点（交点之间得距离) ⑵值域、最值、极值、单调性 ⑶数形结合判断图形走势(选择题）
指数函数
x
y
O
f(x)=
f(x)=
，系数只能为1。
图象及其性质：
1、恒过,无限靠近轴;
2、与关于轴对称；但均不具有奇偶性。
　 3、在y轴右边“底大图高";在y轴左边“底大图低”——靠近关系 
定 义　域：R 值 域： 　
单 调 性：当时;当时。 　 奇 偶 性:无 　
反 函 数：对数函数 　周 期 性：无
补充:
　１、
　 2、图形变换
　 　 Log21/x与Loｇ２—　x 　ｌn(x—1）与lnx —　１
x
y
O
f(x)=
f(x)=

对数函数（与指数函数互为反函数)

图象及其性质：①恒过,无限靠近轴；
②与关于轴对称；
③ｘ〉1时“底大图低”；０〈x＜1时“底大图高"（理解记忆）
定 义　域:R　 值 域： 　　
单　调　性：当时；当时;　 　　　奇　偶 性:无
反 函　数：指数函数 周　期 性：无
补充：
　 1、
双钩函数
(变形式 　 　　 　　　　 　　 )
图象及其性质：①两条渐近线： 　 　 ②最值计算： 　　　 　　
定 义 域: 　 　 　 　　　　 　 　值 域: 　 　　　
单　　调 性： 　 　 　 　 　 　　　 　 奇　偶 性:奇函数
反 函 数：定义域内无反函数 　　 　 　　周 期 性：无
注意 :双沟函数在最值、数形结合、单调性得考察中用得较多，需特别注意最值得算法
幂函数（考察时，一般不会太难)
无论n取任何实数，幂函数图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。
不需要背记,只要能够快速画出n=±1，　±1/2，±3，，1/3,0，得图象就行
注意：
掌握y＝x3 得图像；
掌握y=ａｘ3+bx2+cx+d得图像（当ａ>0，当a＜0时）;
补充：
　　 利用数形结合，判断非常规方程得根得取值范围。
　 例：P393，例题１0
函数图象变换
一.平移变换
二.对称变换
①y＝f（－x）与ｙ＝f（ｘ)关于y轴对称；
②y=－ｆ(x)与ｙ=f（ｘ）关于x轴对称；
③y=－ｆ(－x）与y=f(x)关于原点对称;
④y＝f－1（x)与y＝f（x）关于直线y=x对称;
⑤y＝｜ｆ（x）｜得图象可将y=f(x）得图象在x轴下方得部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变。
⑥y=f(|x｜）得图象:可将ｙ＝f(x),ｘ≥0得部分作出，再利用偶函数关于y轴得对称性。
三、伸缩变换
①y=Aｆ（x)（A〉0)得图象，可将y＝f(x）图象上每一点得纵坐标伸(A>1）缩(0<Ａ＜１）到原来得Ａ倍,横坐标不变而得到．
②y＝f(ax)（a＞0）得图象，可将y＝f（x)得图象上每一点得横坐标伸(0＜ａ<１）缩(a＞1）到原来得,纵坐标不变而得到．
四、函数及图象(大致图象）
典型例题精讲
例1:已知y=f（ｘ）得图象如图2—7所示，则下列式子中能作为ｆ（x）得解析式就是(　A　）

Ａ． Ｂ．x2－2|x｜+1 　 　　C。｜ｘ2-１|　 D。
解析：当ｆ（ｘ)=时,

其图象恰好就是上图.
例2:画出函数y＝lg|ｘ＋1|得图象。
解析:ｙ=lg｜x＋１｜。
例３：要将函数y=得图象通过平移变换得到y＝得图象,需经过怎样得变换？
解析：y＝－1，先沿x轴方向向左平移1个单位，再沿y轴方向向上平移１个单位,即可得到y＝得图象.
例４：方程kx＝有两个不相等得实根,求实数ｋ得取值范围．
解析：设y1＝ｋｘﻩ ﻩ①
y2＝ ②
方程①表示过原点得直线，方程②表示半圆,其圆心（2，0），半径为1，如图2—9。易知当OA与半圆相切时, ,故当0≤k<时，直线与半圆有两个交点,即０≤k＜时,原方程有两个不相等得实根。

例5：作函数f(x)=x+得图象．
分析：f(x）＝x＋不能由已知函数图象变换得到，故需对函数f（x)得性质进行研究.
解析：函数得定义域就是(－∞，0)∪(０,＋∞)，
∵ｆ（－x）=-f(ｘ),
∴ｆ(ｘ）就是（－∞,０）∪（0，＋∞）上得奇函数,
又｜f（x）|＝｜x＋｜＝|x｜+≥２,当且仅当|x|=１时等号成立,
∴当ｘ＞０时y≥2；当x＜0时,ｙ≤－2;
当ｘ∈(0,1）时函数为减函数,且急剧递减；
当x∈［1，＋∞）时函数为增函数,且缓慢递增,又x≠0，y≠０,
∴图象与坐标轴无交点,且ｙ轴就是渐近线，作出第一象限得函数得图象，
再利用对称性可得函数在定义域上得图象，如图2—10所示.

评述:
(1）熟悉各种基本函数图得“原型”就是函数作图得一项基本功；先研究函数得性质,再利用性质作图则能减少作图得盲目性,提高图象得准确性。
（2）与图象有关得“辅助线”要用虚线作，以起到定形、定性、定位、定量得作用.
例6：f（x）就是定义在区间[—c，c]上得奇函数，其图象如图所示．
令g(ｘ)＝ａｆ(ｘ）+b，则下列关于函数ｇ（x)得叙述正确得就是(　B ）

A.若a〈0，则函数g(x)得图象关于原点对称
B.若a=－1,—２＜b<０，则方程g（x)=0有大于2得实根
C．若a≠0,b＝２，则方程g（x)=0有两个实根
D.若a≥１，b＜2，则方程ｇ（x)＝０有三个实根
解析:将f（x)图象上每点得纵坐标变为原来得ａ倍，横坐标不变,再将所得图象向上(ｂ＞0）或向下(b<0）平移|b｜个单位，得g(x）=ａf（x)＋b得图象。
例6：(全国Ⅱ)把函数y=ｅｘ得图象按向量=（2，３）平移，得到ｙ＝f(ｘ）得图象,则f（x）= 　 （ 　C　 　)
(A) ｅx-３+2　 （B)ex＋３－2 　（C)ex－２＋3 　 (D）eｘ＋２－3
例7：（菏泽模拟)如图为函数y＝m＋得图象，其中ｍ,n为常数,则下列结论正确得就是　 　 （ D ）
(A）m＜0，n〉１ 　 （B）ｍ>O，n〉l 　 (C）m＞O，０〈n<1 　 (Ｄ）ｍ<0，０〈n<１
例8:(安庆模拟）函数y=e —|x－1｜得图象大致就是(　D ）

例9:在直角坐标系ｘOy中,已知△AOＢ三边所在直线得方程分别为ｘ=0,ｙ=0，2x＋3y＝３０，则△ＡＯＢ内部与边上整点(即横、纵坐标均为整数得点)得总数就是（　B　)
A.95 　ﻩﻩ ﻩＢ.91 　　 ﻩ ﻩC。８８ 　 　ﻩﻩﻩD。7５
解析：画出图象,补形做出长方形AOBC,共有整点数11×16＝１76，而六点(0,10），(３,8）,（6,6),（９，4），（１２,2)，(15,０）在长方形得对角线上，所以符合题意得点数为（17６+6）×＝9１.

例1０:将函数y=ｌogx得图象沿x轴方向向右平移一个单位，得到图象C,图象C１与C关于原点对称，图象C２与C1关于直线ｙ=x对称，那么C2对应得函数解析式就是＿＿___。
解析:C:y＝loｇ（x-1）;由－ｙ=ｌog（－x-１)得Ｃ1：y＝log2（－x—１）;求Ｃ1得反函数得y=－1－2x。
例１1:若函数ｙ＝|－x2+４x－３|得图象C与直线ｙ=kx相交于点M（２，１），那么曲线Ｃ与该直线有 　 　 个交点.
解析:(数形结合法）作y＝｜－x2+4ｘ－3｜得图象,知其顶点在M(２,１）.过原点与点Ｍ（2，１）作直线y＝kx,如图.

∴曲线C与直线y＝kx有四个交点．
例１2:作函数ｙ=()｜x-1|得图象.
解析：(１）y=故它在区间［１,＋∞)上得图象,
可由ｙ=2-x（x≥0）得图象沿ｘ轴方向向右平移1个单位得到
在区间(—∞,１)上得图象,可由ｙ＝2x（x〈０）得图象沿x轴方向
向右平移1个单位得到。

例1３:已知函数y＝f（x)(x∈R）满足f(a+x)＝ｆ（a—ｘ），求证y＝f(ｘ）得图象关于直线x＝a对称。
证明:设ｐ（ｘ0，y０)就是ｙ＝f（ｘ)图象上得任一点，则有ｙ0=f（x0），
设点P关于直线x=a得对称点为p′(ｘ′,y′)，则有，
即 由y０＝f（x0)
y′=ｆ［ａ－（a－x′)］=f(x′）．
即点p′（x′,y′）也在y=f（x)得图象上.
∴ｙ=f（ｘ)得图象关于直线x=a对称．
例14：画出函数ｙ=得图象，并利用此图象判定方程＝x＋a有两个不同得实数解时，实数a所满足得条件.
解析：图象就是抛物线ｙ２＝２x+1在y≥０上得部分.把y=ｘ＋a代入ｙ2＝2x+1,得（ｘ＋a）２＝2ｘ＋1,即ｘ２＋２（a—1)x＋a２－1=0，由Δ=0得a＝１,
此时直线与抛物线相切。又因抛物线顶点就是(-，0),
可知当直线过点(－，0）时,即ａ=时直线与抛物线有两交点，
故当≤ａ<1时直线与此抛物线有两个交点,即原方程有两不同实数解。