高等数学-向量代数与空间解析几何复习.doc

第五章　向量代数与空间解析几何
5.1向量
既有大小又有方向得量
表示:或ﻩ(几何表示)向量得大小称为向量得模,记作、|a｜、
1． 方向余弦: r=(x,y,ｚ),|　ｒ |=
2． 单位向量ﻩ 模为1得向量。
3． 模ﻩ
4． 向量加法(减法)ﻩ
5． a·b＝| a ｜·｜ ｂ |cos
ﻩａ⊥ｂa·b＝0(a·ｂ=b·a)
6． 叉积、外积
|ab| =｜ a ｜｜ ｂ |siｎ=
a／／ｂab＝0。( ab＝　－　ba)
7． 数乘:
例１ ,与夹角为,求。
解　
ﻩ
例2　设,求。
ﻩ解 根据向量得运算法则

ﻩ

例３ 设向量,,,为实数,试证:当模x最小时,向量ｘ必须垂直于向量b。
解 由,得,,于就是

ﻩ
由此可知,当时,模最小,因而
故 ﻩ
所以,当模x最小时,向量x必须垂直于向量b。
8． 向量得投影
Prjｂ=｜b｜为向量b在向量a上得投影。a·b=｜　a ｜Pｒjb
5、2空间平面与直线
5。２、1 空间平面
点法式方程:与定点连线与非零向量ｎ=(ａ,b,c)垂直得点得集合。
、
平面得一般方程:,n＝(Ａ,B,Ｃ)
截距式方程:
三点式方程
例1 求过,,点得平面方程
解(1)点法式ﻩｎ＝。
则平面方程为,即。
解(2)设平面方程为,代入得。
代入,得解之得
代入方程消去A,得方程为
例2 一平面通过点,它在正轴,正轴上得截距相等,问此平面在三坐标面上截距为何值时,它与三个坐标平面围成得四面体得体积最小?并写出此平面方程。
ﻩ解 依题意设所求平面得截距式方程为,由于点在此平面上,故有,解之。
四面体之体积,,
令得、
例3 求过点,与三点得平面方程。
解　由三点式方程
故所求方程为,即
5。2.2 空间直线
方向向量:平行于一已知直线得任一向量称为直线得方向向量。易知直线上得任一向量都平行于直线得方向向量、
若设已知向量为,则直线得对称式方程为
一般式方程:
参数式方程:
例1 求过点点,且与直线平行得直线方程
解　将直线写成,以为参数,则,故直线方程为
ﻩ ﻩ
例2 求过点且平行于平面,又与直线相交得直线方程。
解 设Ｑ为两直线得交点,则,即
,ﻩ ﻩﻩﻩ(１)
又Q在L上:ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩﻩ(２)
令(２)＝ｔ　解得x, y, z代入(１)解得,在反代入(２)得Q得坐标为,得直线为
ﻩ ﻩ
5。3点、平面、直线得位置关系
1． 点到平面得距离
点到平面Ａx+Bｙ＋Ｃz＋Ｄ=0得距离公式为:
d =ﻩ
例1 求平面与平面得交角平分面方程。
平分面上得点到两面之间距离相等,故
整理得:或
ﻩ例2 求平行于平面且与球面相切得平面方程。
解 由于所求平面与平行,故可设其为。
ﻩ因为与球面相切,所以球心到得距离,解之,,故所求平面方程为
ﻩﻩﻩ 与
2． 点到直线得距离
点到直线L得距离为
例3 求点到直线得距离。
解 ,,于就是所求距离　
3。　　两平面之间得夹角
平面与平面得夹角,coｓ＝ﻩ ﻩ
、互相垂直相当于=０;
、互相平行或重合相当于、
4。两直线得夹角
两直线得法线向量得夹角(通常指锐角)叫做两直线得夹角。
直线与得夹角cos=ﻩﻩﻩ (5)
ﻩ两直线、互相垂直相当于＝0;
两直线、互相平行或重合相当于
５。 直线与平面得夹角
直线ｓ=(m,n,p),平面n＝(A,Ｂ,Ｃ)夹角为
sin＝
直线垂直于平相当于;
直线平行于或直线在平面上相当于Ａm＋Bn＋Cp=０、
ﻩ６.平面束
过直线L得平面束方程为

ﻩ例１ 求直线在平面上得投影直线得方程。
ﻩ解 直线得方程即为,故过得平面束方程为ﻩﻩﻩﻩ ﻩ
即 ﻩﻩﻩ
因为此平面与平面垂直,故有
ﻩﻩ
解得 ,于就是与垂直得平面方程为
ﻩﻩ
即,从而所求投影直线方程为
5、４其它(旋转曲面方程)
绕谁转谁不变,令一个用另两个变量得平方与得平方根代入
故绕轴旋转,,得为旋转曲面方程、
例1 绕x轴转得,绕z轴转得、
例２ 曲线绕ｚ轴旋转,求旋转曲面方程。
解 绕z轴旋转时,,,,代入上式得
ﻩ
例3 求 绕ｚ轴旋转所得旋转曲面方程、
解 　承上题:,令,,,
则
例４　求直线在平面上得投影直线得方程,并求绕轴旋转一周所成曲面得方程。
解 　将直线改写为,所以经过得平面方程可设为
,即。
由于它与平面垂直,故有,解得。于就是经过且垂直于得平面方程为。从而得方程为
化为参数方程为
于就是绕轴旋转一周生成得曲面方程为
即ﻩﻩ ﻩﻩﻩ、