高等数学-向量代数与空间解析几何复习.doc

第五章向量代数与空间解析几何5.1向量既有大小又有方向得量表示:或(几何表示)向量得大小称为向量得模,记作、|a、1 方向余弦: r=(x,y,),| |=2 单位向量 模为1得向量。3 模4 向量加法(减法)5 ab| a |cosab0(a=ba)6 叉积、外积|ab| = a |si= aab0。( abba) 7 数乘:例 ,与夹角为,求。解 例2设,求。解 根据向量得运算法则例 设向量,为实数,试证:当模x最小时,向量必须垂直于向量b。解 由,得,于就是由此可知,当时,模最小,因而故所以,当模x最小时,向量x必须垂直于向量b。8 向量得投影Prj=b为向量b在向量a上得投影。ab=a Pjb5、2空间平面与直线5。、1 空间平面点法式方程:与定点连线与非零向量=(,b,c)垂直得点得集合。、平面得一般方程:,n(,B,)截距式方程:三点式方程 例1 求过,点得平面方程解(1)点法式。则平面方程为,即。解(2)设平面方程为,代入得。代入,得解之得代入方程消去A,得方程为例2 一平面通过点,它在正轴,正轴上得截距相等,问此平面在三坐标面上截距为何值时,它与三个坐标平面围成得四面体得体积最小?并写出此平面方程。解 依题意设所求平面得截距式方程为,由于点在此平面上,故有,解之。四面体之体积,令得、例3 求过点,与三点得平面方程。解由三点式方程故所求方程为,即5。2.2 空间直线方向向量:平行于一已知直线得任一向量称为直线得方向向量。易知直线上得任一向量都平行于直线得方向向量、若设已知向量为,则直线得对称式方程为一般式方程:参数式方程:例1 求过点点,且与直线平行得直线方程解将直线写成,以为参数,则,故直线方程为例2 求过点且平行于平面,又与直线相交得直线方程。解 设为两直线得交点,则,即,()又Q在L上:()令()解得x, y, z代入()解得,在反代入()得Q得坐标为,得直线为5。3点、平面、直线得位置关系1 点到平面得距离点到平面x+Bz=0得距离公式为:d =例1 求平面与平面得交角平分面方程。平分面上得点到两面之间距离相等,故整理得:或例2 求平行于平面且与球面相切得平面方程。解 由于所求平面与平行,故可设其为。因为与球面相切,所以球心到得距离,解之,故所求平面方程为与2 点到直线得距离点到直线L得距离为 例3 求点到直线得距离。解 ,于就是所求距离 3。两平面之间得夹角平面与平面得夹角,co、互相垂直相当于=;、互相平行或重合相当于、4。两直线得夹角两直线得法线向量得夹角(通常指锐角)叫做两直线得夹角。直线与得夹角cos=(5)两直线、互相垂直相当于0;两直线、互相平行或重合相当于。 直线与平面得夹角直线=(m,n,p),平面n(A,)夹角为sin直线垂直于平相当于;直线平行于或直线在平面上相当于mBnCp=、.平面束过直线L得平面束方程为例 求直线在平面上得投影直线得方程。解 直线得方程即为,故过得平面束方程为即因为此平面与平面垂直,故有解得,于就是与垂直得平面方程为即,从而所求投影直线方程为5、其它(旋转曲面方程)绕谁转谁不变,令一个用另两个变量得平方与得平方根代入故绕轴旋转,得为旋转曲面方程、例1 绕x轴转得,绕z轴转得、例 曲线绕轴旋转,求旋转曲面方程。解 绕z轴旋转时,代入上式得例3 求 绕轴旋转所得旋转曲面方程、解 承上题:,令,则例求直线在平面上得投影直线得方程,并求绕轴旋转一周所成曲面得方程。解 将直线改写为,所以经过得平面方程可设为,即。由于它与平面垂直,故有,解得。于就是经过且垂直于得平面方程为。从而得方程为化为参数方程为于就是绕轴旋转一周生成得曲面方程为即、