平面向量题型归纳.docx

平面向量题型归纳
一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：或。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
例：已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：或。
3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；
4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若是单位向量，则。(与共线的单位向量是)；
5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有)；
④三点共线共线；
B
D
C
A
如图，在平行四边形中，下列结论中正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－、。例：下列命题：（1）若，则。（2）若，则。（6）若，则。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。其中正确的是_______

题型1、基本概念
1：给出下列命题：
①若||＝||，则=；②向量可以比较大小；③方向不相同的两个向量一定不平行；
④若=，=，则=；⑤若//，//，则//；⑥；⑦；
其中正确的序号是 。
2、基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是。
（5）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若与共线， 与共线，则与共线。
（8）若，则。 （9）若，则。
（10）若与不共线，则与都不是零向量。
（11）若，则。 （12）若，则。

二、向量加减运算
8.三角形法则：
；；（指向被减数）
9.平行四边形法则：
以为临边的平行四边形的两条对角线分别为，。
题型2.向量的加减运算
1、化简 。
2、已知,,则的最大值和最小值分别为 、 。
3、在平行四边形中，若，则必有 ( )
A. B. C. 是矩形 D. 是正方形
题型3.向量的数乘运算
1、计算：（1） （2）

题型4.作图法求向量的和
1、已知向量，如下图，请做出向量和。

题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1、 已知在中，是的中点，请用向量表示。

2、 在平行四边形中，已知，求。

题型6.向量的坐标运算

1、已知，则 。
练习：若物体受三个力,,,则合力的坐标为 。
2、已知，，则点的坐标是 。
3、.已知，，求，，。

2、 已知,向量与相等，求的值。

5、已知是坐标原点，，且，求的坐标。

三． 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。
基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
题型7.判断两个向量能否作为一组基底
1、已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
A. B. C. D.
练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
2、.已知，能与构成基底的是（ ）
A. B. C. D.
3、知向量e1、e2不共线，实数(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则x－y的值等于
4、设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值.

5、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x, y)满足=α+β，其中α,β∈R且α+β=1，则x, y所满足的关系式为 （ ）
A．3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C．2x-y=0 D．x+2y-5=0
四．平面向量的数量积：
1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作，
称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。
实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。
例1、已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____
例2、已知中，点在边上，且，，则的值是
2． 平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
3．向量的运算律：
1．交换律：，，；
2．结合律：，；
3．分配律：，。
题型8：有关向量数量积的判断
1：判断下列各命题正确与否：
（1）；（2）若，则当且仅当时成立；
（3）；（4）对任意向量都成立；
（5）若，则；（6）对任意向量，有。
(7)m（）=m+m 其中正确的序号是 。

2、下列命题中：① ；② ；③
；④ 若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的是______
题型9、求单位向量 【与平行的单位向量：】
1.与平行的单位向量是 。2.与平行的单位向量是
题型10、数量积与夹角公式：；
向量的模：若，则，，
1、△ABC中，，，，则_________
2、已知，与的夹角为，则等于____
3、已知，且与的夹角为，求（1），（2），
（3），（4）。

4、已知是两个非零向量，且，则的夹角为____

5、已知，求与的夹角。

6、已知，，，求。

7、已知非零向量满足，则的夹角为
8：已知中,,则与的夹角为
9：已知向量与向量的夹角为120°，若向量=+，且⊥，则的值为
10：★已知||＝1||＝2，|＋|＝2，则与2-的夹角余弦值为 ．

11：已知向量｜｜=，｜｜=2，和的夹角为，当向量+与+的夹角为锐角时，求的取值范围。

题型11、求向量的模的问题 如向量的模：若，则，，
1、已知零向量
2、已知向量满足
3、已知向量，
4、已知向量的最大值为
5、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，

(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1
6、 设向量，满足及，求的值

练习：已知向量满足求
7、 设向量，满足
8、已知向量、满足，，则|－|的最大值是 最小值是 。
题型12、结合三角函数求向量坐标
1. 已知是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐标。

2.已知是原点，点在第一象限，，，求的坐标。

五、平行与垂直知识点：；

题型13：向量共线问题
1、已知平面向量，平面向量若∥，则实数
2、设向量若向量与向量共线，则
3、已知向量若平行，则实数的值是（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2

练习：设，则k＝_____时，A,B,C共线
5、已知不共线，，如果∥，那么k= ,与的方向关系是
练习：已知，，，且，则x＝______
6、已知向量∥，则
题型14、 向量的垂直问题
1、已知向量，则实数的值为
2、已知向量
练习：已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-4垂直，求实数k的值
3、已知单位向量

4、
练习： ∥，
5、以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________
题型15、在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。
1、已知，，且，则向量在向量上的投影为______
2、已知，是单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影为 。
练习：已知，的夹角，则向量在向量上的投影为

题型16、三点共线问题
1.已知，，，求证：三点共线。

2.设，求证：三点共线。

练习：已知，则一定共线的三点是 。
3.已知，，若点在直线上，求的值。

4.已知四个点的坐标，，，，是否存在常数，使成立？

5：是平面内不共线两向量，已知，若
三点共线，则=

6：★设O是直线外一定点，A、B、C在直线上，且,则=

7：设，是两个不共线向量，若与起点相同，t∈R，t= 时，，t，
(＋)三向量的终点在一条直线上。
8：如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同
的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为__________________．

9:在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使||∶||＝1∶3，||∶||＝1∶4，设线段AN与BM交于点P，记＝a，＝b，用a，b表示向量.

练习：如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b.(1)用a、b表示；
(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.

六、线段的定比分点：
1．定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；
2．的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时>0；当P点在线段 PP的延长线上时<－1；当P点在线段PP的延长线上时；
例1、若点分所成的比为，则分所成的比为_______
3．线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当＝1时，就得到线段PP的中点公式。
题型17、定比分点
2、若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_______
3、已知，直线与线段交于，且，则等于

七、平移公式：如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，
题型18、平移
1、按向量把平移到，则按向量把点平移到点______
2、函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝________
八、向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
（2），特别地，当同向或有
；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).
（3）在中，①若，则其重心的坐标为。如
1、若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______
②为的重心，特别地为的重心；
③为的垂心；
④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
⑤的内心；
（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；
（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如
2、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______
题型19、判断多边形的形状
1.若，，且,则四边形的形状是 。
2.已知，，，，证明四边形是梯形。

3.已知，，，求证：是直角三角形。

4、在△ABC中，若 ，则△的形状为 （ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
5、在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形。

6、平面四边形中，，，，，且
，判断四边形的形状．

题型20：三角形四心
1、已知的三个顶点A、B、C及所在平面内的一点P，若 则点P是DABC的 （ ）
A． 重心 B．垂心 C．内心 D．外心
2. 已知点是三角形所在平面上一点，若,则是三角形的（ ）
（A） 内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
3、已知点是三角形所在平面上一点，若，则是三角形的（ ）
（A） 内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
练习、已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（ ）
（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心
（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心

4、★在平面内有DABC和点O，若，则点O是DABC的
A． 重心 B．垂心 C．内心 D．外心

5、已知点是平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心

6、已知点是平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心

7、已知点是平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
8、已知平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满足,，则动点一定通过的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心

题型21.平面向量与三角函数结合题
1、已知向量，，设函数
⑴求函数的解析式
（2）求的最小正周期；
（3）若，求的最大值和最小值．

练习：已知向 且
（1）求函数的解析式；
（2）当时，的最小值是，求此时函数的最大值，并求出相应的的值

练习2、.已知向量 , ，且
⑴求的值
（2）求函数的值域

2、 已知，A、B、C在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为
、、。
(I)若，求角的值；
(II)当时，求的值。

5、已知向量，，设函数
的图象关于直线对称，其中，为常数，且.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.

6.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足=+.
(1)求证:A,B,C三点共线;
(2)求的值;
(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈,f(x)=·-||的最小值为-,求实数m的值.