平稳过程的谱密度.ppt

主要内容主要内容l一、平一、平稳过稳过程的（自）程的（自）谱谱密度及性密度及性质质l二、平二、平稳过稳过程的互程的互谱谱密度及性密度及性质质l三、三、谱谱密度与相关函数的关系密度与相关函数的关系l四、傅立叶四、傅立叶变换变换的性的性质质2024/5/8 周三1.谱密度的概念密度的概念l l在物理学中，信号通常是波的形式，例如在物理学中，信号通常是波的形式，例如在物理学中，信号通常是波的形式，例如在物理学中，信号通常是波的形式，例如电电磁磁磁磁波、随机振波、随机振波、随机振波、随机振动动或者声波。当波的或者声波。当波的或者声波。当波的或者声波。当波的频谱频谱密度乘以密度乘以密度乘以密度乘以一个适当的系数后将得到每一个适当的系数后将得到每一个适当的系数后将得到每一个适当的系数后将得到每单单位位位位频频率波携率波携率波携率波携带带的的的的功率，功率，功率，功率，这这被称被称被称被称为为信号的功率信号的功率信号的功率信号的功率谱谱密度（密度（密度（密度（power power spectral density,PSDspectral density,PSD）或者）或者）或者）或者谱谱功率分布功率分布功率分布功率分布（spectral power distribution,SPDspectral power distribution,SPD）。功）。功）。功）。功率率率率谱谱密度的密度的密度的密度的单单位通常用每赫位通常用每赫位通常用每赫位通常用每赫兹兹的瓦特数的瓦特数的瓦特数的瓦特数（W/HzW/Hz）表示，或者使用波）表示，或者使用波）表示，或者使用波）表示，或者使用波长长而不是而不是而不是而不是频频率，即率，即率，即率，即每每每每纳纳米的瓦特数（米的瓦特数（米的瓦特数（米的瓦特数（W/nmW/nm）来表示。）来表示。）来表示。）来表示。2024/5/8 周三2.一、平一、平稳过程的（自）程的（自）谱密度密度定定义3.5 设 是一个平是一个平稳过程，如果含参程，如果含参变量的广量的广义积分分 存在，那么，称存在，那么，称 为平平稳过程程 的的（自）（自）谱密度密度2024/5/8 周三3.维纳-辛辛钦公式公式证明了如下明了如下结果：当相关函数果：当相关函数 绝对可可积，即，即 时，存在，且相关函数存在，且相关函数 这表明表明谱函数函数 是相关函数是相关函数 的的傅立叶傅立叶变换，而，而 是是 的的傅傅立叶逆立叶逆变换.2024/5/8 周三4.通常通常记作作对于平稳序列，（自）谱密度定义为容易看出上式右端是一个傅立叶级数。2024/5/8 周三5.赫赫赫赫尔尔格洛茨格洛茨格洛茨格洛茨证证明了如下明了如下明了如下明了如下结结果：当相关函数果：当相关函数果：当相关函数果：当相关函数 满满足足足足 时时，存在（即上述傅立叶存在（即上述傅立叶存在（即上述傅立叶存在（即上述傅立叶级级数收数收数收数收敛敛），且相关函数，且相关函数，且相关函数，且相关函数2024/5/8 周三6.例例例例3.11 3.11 设设是一个离散白噪声是一个离散白噪声是一个离散白噪声是一个离散白噪声时间时间序列。例序列。例序列。例序列。例3.53.5中已中已中已中已经证经证明了明了明了明了 是一个平是一个平是一个平是一个平稳稳序列，且相关函数序列，且相关函数序列，且相关函数序列，且相关函数于是，于是，于是，于是，谱谱密度密度密度密度这这个个个个谱谱密度密度密度密度 是常数，即平是常数，即平是常数，即平是常数，即平稳稳序列序列序列序列 的的的的谱谱密度在各个密度在各个密度在各个密度在各个频频率率率率 上具有相同的分量，由于物理上具有相同的分量，由于物理上具有相同的分量，由于物理上具有相同的分量，由于物理上白光的上白光的上白光的上白光的谱为谱为常数，因此，称常数，因此，称常数，因此，称常数，因此，称 为为白噪声白噪声白噪声白噪声（序列）。（序列）。（序列）。（序列）。2024/5/8 周三7.例例例例3.12 3.12 设设 是一个离散白噪声的滑是一个离散白噪声的滑是一个离散白噪声的滑是一个离散白噪声的滑动动和。例和。例和。例和。例3.63.6中已中已中已中已经证经证明了明了明了明了 是一个平是一个平是一个平是一个平稳稳序列。序列。序列。序列。为为了方便，我了方便，我了方便，我了方便，我们记们记求求求求 的的的的谱谱密度。密度。密度。密度。2024/5/8 周三8.定理定理3.5（谱密度的性密度的性质）设 是是平平稳过程程 的的谱密度，密度，（i）是取非是取非负实数数值的偶函数，的偶函数，即即 （ii）（iii）巴塞伐等式巴塞伐等式2024/5/8 周三9.谱密度的引入使得密度的引入使得对平平稳过程相关理程相关理论的研究不再局限于的研究不再局限于时间域域内，它内，它可以同可以同时也在也在频率域率域内内进行，傅立行，傅立叶叶变换提供了两者之提供了两者之间转换的数学的数学工具。下面通工具。下面通过例例题来来说明两者之明两者之间的相互的相互换算。算。2024/5/8 周三10.例例例例3.13 3.13 设设平平平平稳过稳过程程程程 的相关函数的相关函数的相关函数的相关函数其中，常数其中，常数其中，常数其中，常数a0.a0.由定理由定理由定理由定理3.53.5（ii ii）得到）得到）得到）得到 的的的的谱谱密度密度密度密度2024/5/8 周三11.例例例例3.14 3.14 设设平平平平稳过稳过程程程程 的相关函数的相关函数的相关函数的相关函数其中，常数其中，常数其中，常数其中，常数a0.a0.易易易易见见当常数当常数当常数当常数 时时，即是例即是例即是例即是例3.133.13。由定理。由定理。由定理。由定理3.53.5（ii ii）得到）得到）得到）得到 的的的的谱谱密度密度密度密度2024/5/8 周三12.在在电电子技子技术术中，常常遇到脉冲中，常常遇到脉冲现现象。象。这类现这类现象不象不能用普通函数来描述，需要引能用普通函数来描述，需要引进进广广广广义义函数函数函数函数。定定义3.6 如果函数如果函数 满足足那么称函数那么称函数 为狄拉克函数狄拉克函数，简称称为函数函数。2024/5/8 周三13.14引入引入 函数函数借助借助 函数，将任意直流分量和周期分量在函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上无率点上无限限值用用 函数表示。函数表示。其傅立叶其傅立叶变换2024/5/8 周三14.函数不是通常意函数不是通常意函数不是通常意函数不是通常意义义下的函数，但可以把它看成是下的函数，但可以把它看成是下的函数，但可以把它看成是下的函数，但可以把它看成是下列矩形波的极限，下列矩形波的极限，下列矩形波的极限，下列矩形波的极限，记记 其中其中其中其中a0a0。不妨。不妨。不妨。不妨认为认为通常把通常把通常把通常把 用用用用长长度度度度为为1 1的有向的有向的有向的有向线线段来表示段来表示段来表示段来表示（见见表表表表3.13.1）。）。）。）。函数的一般形式是函数的一般形式是函数的一般形式是函数的一般形式是，它是，它是，它是，它是 的复合函数。的复合函数。的复合函数。的复合函数。对对任意一个任意一个任意一个任意一个连续连续函函函函数数数数 ，必定必定必定必定满满足足足足2024/5/8 周三15.下面下面下面下面对这对这个公式作一个直个公式作一个直个公式作一个直个公式作一个直观观解解解解释释：设设 由由由由积积分中分中分中分中值值定理推得：定理推得：定理推得：定理推得：2024/5/8 周三16.今后，我今后，我们允允许平平稳过程的相关函数与程的相关函数与谱密度（包括傅立叶密度（包括傅立叶变换及其逆及其逆变换）可以）可以取作取作 函数。必要函数。必要时，还可以有形如可以有形如 的相关函数与的相关函数与谱密度，容易看出，它是密度，容易看出，它是m个个 函数的函数的线性性组合。合。2024/5/8 周三17.例例例例3.15 3.15 设设平平平平稳过稳过程程程程 的相关函数的相关函数的相关函数的相关函数 ，其中常数，其中常数，其中常数，其中常数 的的的的谱谱密度密度密度密度 这个个谱密度密度为常数。常数。谱密度密度为常数且具有零常数且具有零均均值的平的平稳过程称程称为白噪声白噪声过程程。这是一个是一个连续白噪声白噪声，不同于，不同于3.5中中给出的离散白噪声。出的离散白噪声。白噪声白噪声过程是一种理想化的数学模型。程是一种理想化的数学模型。2024/5/8 周三18.例例例例3.16 3.16 设设平平平平稳过稳过程程程程 的的的的谱谱密度密度密度密度 的相关函数的相关函数的相关函数的相关函数2024/5/8 周三19.2024/5/8 周三20.引理引理3.1 傅立叶傅立叶变换及其逆及其逆变换具有下列具有下列性性质：（i i）线线性性性性性性性性质质 当当当当 是常数是常数是常数是常数时时，（ii ii）位移性）位移性）位移性）位移性质质 当当当当 是常数是常数是常数是常数时时，2024/5/8 周三21.例例3.17 设平平稳过程程 的相关函数的相关函数求求 的的谱密度密度例例3.18 设平平稳过程程 的的谱密度密度求求 的相关函数的相关函数2024/5/8 周三22.有理有理谱密度密度的一般形式：的一般形式：分子分母无实根，无公共根。对于有理谱密度，求相关系数可用待定系数法把谱密度分解成若干部分分式之和。2024/5/8 周三23.例例例例3.19 3.19 设设平平平平稳过稳过程程程程 的的的的谱谱密度密度密度密度求其相关函数求其相关函数求其相关函数求其相关函数2024/5/8 周三24.由于由于实际频率不取率不取负值，因此，因此给出出单边谱密度密度的定的定义：利用只有正利用只有正频率部分的率部分的单边功率功率谱，定理，定理3.5（ii）可）可以写成：以写成：2024/5/8 周三25.2024/5/8 周三26.定定义3.7 设 是两个平是两个平稳相关的平相关的平稳过程，互相关函数程，互相关函数为 称称为为平平平平稳过稳过程程程程 的的的的互互互互谱谱密度密度密度密度。与（自）与（自）与（自）与（自）谱谱密度相似，密度相似，密度相似，密度相似，2024/5/8 周三27.用傅立叶变换及其逆变换来表示：由于互相关函数与自相关函数的性质不同，因此，互谱密度与自谱密度也有很大差异。一般情况下，互谱密度取复数值，也不再是偶函数。这里 都可以取 函数2024/5/8 周三28.定定义3.6（互（互谱密度的性密度的性质）设设 是两个平是两个平是两个平是两个平稳稳相关的平相关的平相关的平相关的平稳过稳过程程程程的互的互的互的互谱谱密度，密度，密度，密度，（i）（ii）（iii）2024/5/8 周三29.l从定从定义l和施瓦茨不等式和施瓦茨不等式2024/5/8 周三30.例3.20 设 是两个平稳过程，记求：（1）的谱密度（2）的互谱密度2024/5/8 周三31.