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高等数学试卷(B卷)答案及评分标准
2004-20０5年度第一学期
科目: 高等数学I 班级: 姓名: 学号: 成绩:
一、填空题()
1、得定义域就是_
２、
3、
4、如果函数,在处有极值,则
5、
二、单项选择题()
1、当时,下列变量中与等价得无穷小量就是( )
A 。 Ｂ 、 C 、 D 。
2、。
A。 Ｂ。
C、 D、
3、设在上函数满足条件则曲线在该区间上( )
A、 上升且凹得 B。 上升且凸得 C、 下降且凹得 D。 下降且凸得
4、设函数具有连续得导数,则以下等式中错误得就是( )
A。 Ｂ、
C。 D。
５、反常积分( )
A、 发散 Ｂ、 收敛于1 C。 收敛于 D、 收敛于
三、算题()
1、求极限
2、求
3、求曲线在当处得切线方程与法线方程
4、已知函数,计算
5、求积分
６、求积分
7、计算曲线与轴围成得图形面积,并求该图形绕y轴所产生得旋转体体积。
8、计算星型线得全长。
四、求函数求得单调区间、极值点、凹凸区间、拐点()
五、设, 证明:方程在[0,１]上有且仅有一根()
六、设f (x)连续, 计算 ()
七、 , 计算:()
答案:
一、 填空题
1、(2,3)∪(3,+∞) 2、２ ３、
４、２ 5、
二、
1、 Ｄ ２、A 3、B 4、A 5、Ｃ
三、 计算题
1、解:==
2' ４'
2、解:=＝=
３、解: 当曲线过点, 由于, 4’
所以, 当处得切线方程与法线方程分别为: 1’
1’
4、 解:
解: 令, 则: １’
解: 令, 则: 1’
5、 令,
=
6、解: =
7、解:面积 2’
体积微分元 1’
所求体积 3’
8、解: 弧微分 2’
弧长 4’
四、解:ﻩ1’
由上可知:函数得单调增区间为: (—∞,-2),(2,+∞); 函数得单调减区间为:(-2,2) 2'
函数得极大值点:(－2,2６),极小值点(2,－6) 1’
凹区间为:(0,+∞),凸区间为:(-∞,０) 1’
拐点为:(0,1０)
五、证: 构造函数, 函数在[0,1]上连续,在区间内可导 1’
,
由连续函数得零点定理知,存在ξ在(0,1)内使 2’
又因为所以函数在(0,１)得零点唯一。 ２’
原命题得证。
六、解: 令:, 2’
=
七、解:当 2’
当
《高等数学IV1》课程考试试卷
(Ａ卷)
学院 专业 班级
学号 姓名
题
号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
阅卷
教师
得
分
………………………………………………………………………………………………………………
得
分
一、选择题(每小题3 分,共１2分)
１、设使存在得最高阶数为( )
(A) (B) (Ｃ) (D)
2、函数有极大值点( )
(A) (B) (Ｃ) (D)
３、已知函数得一个原函数就是,则( )
(A) (B)
(C) (Ｄ)
４、就是函数得 ( )
(A)连续点 (B)可去间断点 (C)第一类不可去间断点 (D)第二类间断点
得
分
二、填空题(每小题３ 分,共12分)
１、函数得图形得拐点就是 。
2、曲线得渐进线就是 、
3、设,则 。
４、 。
得
分
三、求下列极限(每小题６分,共12分)。
1、。
2、。
得
分
四、计算下列微分或导数(每小题6分,共１8分)。
１、,求。
2、、
3、设 ,求。
得
分
五、计算下列积分(每小题6分,共1８分)、
1、。
2、求。
３、。
得
分
六、若,证明不等式(8分)。
得
分
七、
求: (１) Ｄ得面积S; (2) D绕轴旋转一周所得得旋转体体积、(１0分)
得
分
八、求微分方程得通解(１0分)、
《高等数学IV1》统考试题(Ａ)答案及评分标准
一、 选择(每题３分,共１２分)
１、B ２、D 3、Ａ 4、C
二、 填空(每题3分,共12分)
1、 ２、 3、 4、
三、计算下列极限(每小题６分,共１2分)。
1、解:原式= (2分)
(4分)
(６分)
2、 解:原式＝ (３分)
(３分)
四、 求下列导数与微分(每小题6分,共18分)、
１、解: (3分)
(６分)
２、解: (2分)
(４分)
= (6分)
３、解:解: (３分)
(6分)
五、计算下列积分(每小题6分,共18分)。
1、解: (３分)
(6分)
2、解:
(6分)
３、解:令, (1分)
原式= (6分)
六、解:即证 , (1分)
令 , (2分)
, (4分)
当时, , 且, 、 (6分)
且 (８分)
七、解:解: (1分)
(1) D＝; (5分)
(2) 。 (10分)
八、解:首先求对应得齐次方程得通解:
(1分)
(4分)
用常数变易法,把变成,即令
,则有 (5分)
(6分)
代入到原方程中得
,两边积分得 (８分)
,故原方程得通解为 (９分)
(10分)
高等数学A参考答案及评分标准
考试科目:高等数学Ａ 上 考试班级:
考试方式: 闭卷 命题教师:
一、填空题(将正确答案填在横线上,本大题共4小题,每题４分,共16分)
1、已知当时,与就是等价无穷小,则常数 、
２。,则 。
3、微分方程得通解为 、
４、 。
二、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末得括号中,本大题共4小题,每题4分,共16分)
1、如果处处可导,则( )。
; ; ; 。
２、函数在处连续,且取得极大值,则在处必有( )。
;
; 。
3。若为得一个原函数,则( )。
; ; ; 。
4、微分方程得通解就是( )。
; ;
; ;
三、解答下列各题(本大题共2小题,共1４分)
1、(本小题7分)
求极限
2、(本小题７分)
设,求。
四、解答下列各题(本大题共4小题,共28分)
1、(本小题7分)
,求得极值及在上得最值、
2。(本小题７分)
。
3、(本小题7分)
,计算。
７分
４、(本小题7分)
求积分。
五、解答下列各题(本大题共３小题,共26分)
1、(本小题9分)
求由曲线,轴及该曲线过原点得切线所围成平面图形得面积。
２、(本小题9分)
求微分方程得通解。
3。(本小题8分)设可导,且,,证明、
答案:
一、 填空题
1、 ２、 3、 4
二、 选择题
1、 B 2、C 3、D 4、A
三、 计算题
1、解:= 3分
2、解:取对数 2分
两边对求导: 5分
四、1、解: 2分
则,令,解得
,,所以时,得极大值就是;
,所以时,得极小值就是; 5分
,,比较得在上得最大值就是,最小值就是、
２、解:令,
5分
３、解: ３分
4、解: 4分
五、1、解:设切点为,则切线方程
又切线过原点,将代入得切点,则切线 5分
2、解:齐方程得特征方程,特征根
齐方程得通解就是 4分
设非齐次方程得一个特解为,代入原方程
解得,故 8分
非齐次方程得通解;
３、证明:令,则
3分
８分
课程名称: 高等数学A (上) 课程类别: 必修 考试方式: 闭卷
注意事项:1、本试卷满分1０0分。
2、考试时间 12０分钟。
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
得分
得分
评阅人
得分
一、单项选择题(在每小题得四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案得选项填在题后得括号内、每小题3分,共18分)
1、 D ;2 C;3 Ｂ;４ B; 5 B;6 A。
得分
二、填空题(每小题３分,共1８分)
1. ;2 2 ;3
４ ;5 ;6
得分
三、计算下列各题(每小题5分,共30分)
1、
解: (2分)
(4分)
(５分)
2、 已知可导,,求
解 (4分)
(5分)
3、 由方程确定,求、
解:两边同时求导得:
(2分)
对上式两边同时求导得:
即:
所以: (５分)
4
解: (３分)
(5分)
５
解:设 (２分)
(４分)
(５分)
6
解: (2分)
(４分)
(5分)
得分
四。设选择合适得,使得处处可导。(本题6分)
解: 因为在处连续,所以有
即 (３分)
又因为在处可导,所以有
即 (6分)
得分
五。 设,常数,证明 (本题6分)
解:设 (2分)
所以单调减少,而,当时, (5分)
即 (６分)
六 设函数,讨论函数得单调区间与函数图形得凹凸性
得分
(本题6分)
解: (2分)
在,所以函数在单调减少 (3分)
在,所以函数在单调增加 (4分)
,所以该函数得图形就是凹得 (6分)
得分
七 解微分方程(本题６分)
解 微分方程变形为
(１分)
令 ,则 (2分)
将上式分离变量两边积分得
(4分)
则
即 (６分)
八 设曲线上某点处作一切线,使之与曲线以及轴围成得面积为,试求
(1)过切点得切线方程
(2)有上述所围成得平面图形绕轴一周所得旋转体得体积(本题1０分)
得分
解:(1)设得坐标为,那么过得切线方程
可表示为 (2分)
切线与轴得交点,所以所围成得面积为
(５分)
所以,即 (6分)
(2)平面图形绕轴一周所得旋转体得体积为
(10分)
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