资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．必然事件发生的概率是0
B．“任意画一个等边三角形，其内角和是180°”是随机事件
C．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得
D．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在下雨
2．下列命题正确的是( )
A．有意义的取值范围是.
B．一组数据的方差越大，这组数据波动性越大.
C．若，则的补角为.
D．布袋中有除颜色以外完全相同的个黄球和个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为
3．如图，是的直径，弦于，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于x的函数y＝x2＋2mx＋1，若x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥－1 D．m≤－1
5．用长分别为3cm，4cm，5cm的三条线段可以围成直角三角形的事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不是
6．将二次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新的图象的函数表达式为( )
A． B．
C． D．
7．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
8．在校田径运动会上，小明和其他三名选手参加100米预赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道．若小明首先抽签，则小明抽到1号跑道的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，若干个半径为1的单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动(如图)，点P在直线上运动的速度为每1个单位长度．点P在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2019秒时，点P的坐标是( )
A． B．
C． D．
10．关于x的一元二次方程x2﹣mx+（m﹣2）=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
11．有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；
③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．
其中，错误的说法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
12．如图：已知，且，则（ ）
A．5 B．3 C．3. 2 D．4
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是_____．
14．铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝﹣x2+x+，铅球推出后最大高度是_____m，铅球落地时的水平距离是______m.
15．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式，则火箭升空的最大高度是___m
16．小亮测得一圆锥模型的底面直径为10cm，母线长为7cm，那么它的侧面展开图的面积是_____cm1．
17．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD．若AC＝2，则cosD＝________.
18．如图，在中，A，B，C是上三点，如果，那么的度数为________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）某学校打算用篱笆围成矩形的生物园饲养小兔
（1）若篱笆的长为16m，怎样围可使小兔的活动范围最大；
（2）求证：当矩形的周长确定时，则一边长为周长的 时，矩形的面积最大.
20．（8分）如图，在中，点、、分别在边、、上，，，.
（1）当时，求的长；
（2）设，，那么__________，__________（用向量，表示）
21．（8分）如图，在四边形中，将绕点顺时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合，得到．
（1）求证：；
（2）若，试求四边形的对角线的长．
22．（10分）如图，要设计一幅宽为20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条宽度相等，如果要使余下的图案面积为504cm2，彩条的宽应是多少cm．
23．（10分）已知：关于x的方程，
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，两个边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
24．（10分）（如图 1，若抛物线 l1 的顶点 A 在抛物线 l2 上，抛物线 l2 的顶点 B 也在抛物线 l1 上（点 A 与点 B 不重合）．我们称抛物线 l1，l2 互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友 好”抛物线可以有多条．
（1）如图2，抛物线 l3： 与y 轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，则点 D 的坐标为 ；
（2）求以点 D 为顶点的 l3 的“友好”抛物线 l4 的表达式，并指出 l3 与 l4 中y 同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物线 y＝a1(x－m)2＋n 的任意一条“友好”抛物线的表达式为 y＝a2(x－h)2＋k， 写出 a1 与a2的关系式，并说明理由．
25．（12分）如图1，在中，∠B=90°，，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为．
问题发现：
当时，_____；当时，_____．
拓展探究：
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
问题解决：
当旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．
26．先化简，再求值：，其中.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据必然事件、随机事件的概念以及概率的求解方法依次判断即可．
【详解】解：A、必然事件发生的概率为1，故选项错误；
B、“任意画一个等边三角形，其内角和是180°”是必然事件，故选项错误；
C、投一枚图钉，“钉尖朝上”和“钉尖朝下”不是等可能事件，因此概率不能用列举法求得，选项正确；
D、如果明天降水的概率是50%，是表示降水的可能性，与下雨时长没关系，故选项错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查了必然事件、随机事件和概率的理解，掌握概率的有关知识是解题的关键.
2、B
【分析】分别分析各选项的题设是否能推出结论，即可得到答案.
【详解】解：A. 有意义的取值范围是，故选项A命题错误；
B. 一组数据的方差越大，这组数据波动性越大，故选项B命题正确；
C. 若，则的补角为，故选项C命题错误；
D. 布袋中有除颜色以外完全相同的个黄球和个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为，故选项D命题错误；
故答案为B.
【点睛】
本题考查了命题真假的判断，掌握分析各选项的题设能否退出结论的知识点是解答本题的关键.
3、C
【分析】根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，
∴AE=BE，，故A、B正确；
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，故D正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
4、C
【解析】根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．
【详解】解：∵函数的对称轴为x=，
又∵二次函数开口向上，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵x＞1时，y随x的增大而增大，
∴-m≤1，即m≥-1
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5、A
【解析】试题解析：用长为3cm，4cm，5cm的三条线段一定能围成一个三角形，则该事件是必然事件．
故选A．
6、B
【分析】根据题意直接利用二次函数平移规律进而判断得出选项．
【详解】解：的图象向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7、C
【解析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】由题意得，sinA-=0，-cosB=0，
即sinA=，=cosB，
解得，∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°，
故选C．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
8、B
【详解】解：小明选择跑道有4种结果，抽到跑道1只有一种结果，小明抽到1号跑道的概率是
故选B．
【点睛】
本题考查概率．
9、B
【分析】设第n秒运动到Pn(n为自然数)点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P4n+1( ，)，P4n+2(n+1，0)，P4n+3(，﹣)，P4n+4(2n+2，0)”，依此规律即可得出结论．
【详解】解：设第n秒运动到Pn(n为自然数)点，
观察，发现规律：P1(，)，P2(1，0)，P3(，﹣)，P4(2，0)，P5(，)，…，
∴P4n+1(，)，P4n+2(n+1，0)，P4n+3(，﹣)，P4n+4(2n+2，0)．
∵2019＝4×504+3，
∴P2019为(，﹣)，
故答案为B．
【点睛】
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律并根据规律找出点的坐标．
10、A
【解析】试题解析：△=b2-4ac=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
点睛：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
11、B
【分析】根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．
【详解】解：圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；
弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．
其中错误说法的是①③两个．
故选B．
【点睛】
本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混淆．
12、C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可.
【详解】解：∵AD∥BE∥CF
∴
∵AB=4，BC=5，EF=4
∴
∴DE=3.2
故选C
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、2
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（1，1），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=×4=1．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=（1+1）×1=2，从而得出S△AOB=2．
【详解】解：∵A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是1和4，
∴当x=1时，y=1，即A（1，1），
当x=4时，y=1，即B（4，1）．
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则S△AOC=S△BOD=×4=1．
∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB=S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=（1+1）×1=2，
∴S△AOB=2．
故答案是：2．
【点睛】
主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
14、3 10
【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求得铅球行进的最大高度；铅球推出后落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求得x的值就是铅球落地时的水平距离．
【详解】∵y＝﹣x2+x+，
∴y＝﹣(x﹣4)2+3
因为﹣＜0
所以当x＝4时，y有最大值为3.
所以铅球推出后最大高度是3m.
令y＝0，即
0＝﹣(x﹣4)2+3
解得x1＝10，x2＝﹣2(舍去)
所以铅球落地时的水平距离是10m.
故答案为3、10.
【点睛】
此题考查了函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解．正确解答本题的关键是掌握二次函数的性质.
15、1
【分析】将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【详解】解：∵
=
=，
∵，
∴抛物线开口向下，
当x=6时，h取得最大值，火箭能达到最大高度为1m．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握配方法及二次函数的性质，是解题的关键．
16、35π．
【解析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=lr即可求解．
【详解】底面周长是：10π，
则侧面展开图的面积是：×10π×7＝35πcm1．
故答案是：35π．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
17、
【解析】试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．
18、37°
【分析】根据圆周角定理直接得到∠ACB=35°．
【详解】解：根据圆周角定理有∠ACB= ∠AOB= ×74°=37°；
故答案为37°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
三、解答题（共78分）
19、 (1)4;(2)证明见详解.
【分析】（1）设长为x，面积为y，利用矩形的面积求法得出y与x之间的函数关系式进行分析即可；
（2）设周长为4m，一边长为x，面积为y，列出关系式进行验证求证即可.
【详解】解：（1）长为x，宽为8-x，列关系式为，配方可得，可得当x=4时，面积y取最大值；
（2）设周长为4m，一边长为x，列出函数关系式即可知当x=m时，即一边长为周长的 时，矩形的面积最大 ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
20、（1）；（2），
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可．
（2）利用三角形法则求解即可．
【详解】（1）∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE=BF=5，
∵AD：AB=DE：BC=1：3，
∴BC=15，
∴CF=BC-BF=15-5=1．
（2）∵AD：AB=1：3，
∴ ，
∵EF=BD，EF∥BD，
∴ ，
∵CF=2DE，
∴ ，
∴ .
【点睛】
此题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21、（1）见解析；（2）．
【分析】证明：由绕点顺时针旋转到，利用旋转性质得BC=AC，，由∠ABC =45º，可知∠ACB=90º，由，可证 即可，
解:连，由绕点顺时针旋转到，得，CD=CE=2，BD=AE，利用等式性质得，∠CDE=45º，利用勾股定理DE=2，由∠ADC=45º可得∠ADE=90º，由勾股定理可求AE即可．
【详解】证明：绕点顺时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合，得到，
，
又
即，
解:连，
绕点顺时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合，
得到
，
即，
又
，
．
【点睛】
本题考查旋转的性质和勾股定理问题，关键是掌握三角形旋转的性质与勾股定理知识，会利用三角形旋转性质结合∠ABC=45º证∠ACB=90º，利用余角证AE⊥BD，利用等式性质证∠DCE=90º，利用勾股定理求DE，结合∠ADC=45º证Rt△ADE,会用勾股定理求AE使问题得以解决．
22、1cm．
【分析】设每个彩条的宽度为xcm，根据剩余面积为504cm2，建立方程求出其解即可．
【详解】设每个彩条的宽度为xcm，由题意，得
（30﹣2x）（20﹣2x）＝504，
解得：x1＝24（舍去），x2＝1．
答：每个彩条的宽度为1cm．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据剩余面积=总面积-彩条面积列出方程.
23、（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为1．
【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；
（2）分a为底边和a为腰两种情况，当a为底边时，b=c，可得方程的判别式△=0，可求出k值，解方程可求出b、c的值；当a为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k值，解方程可求出b、c的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．
【详解】（1）∵判别式△=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k-2)²≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．
（2）当a=1为底边时，则b=c，
∴△=(k-2)²=0，
解得：k=2，
∴方程为x2-4x+4=0，
解得：x1=x2=2，即b=c=2，
∵1、2、2可以构成三角形，
∴△ABC的周长为：1+2+2=1．
当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，
∴1-（k+2）+2k=0，
解得：k=1，
∴方程为x2-3x+2=0，
解得：x1=1，x2=2，
∵1+1=2，
∴1、1、2不能构成三角形，
综上所述：△ABC的周长为1．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键．
24、（1）；（2）的函数表达式为，；（3），理由详见解析
【分析】（1）设x=1，求出y的值，即可得到C的坐标，根据抛物线L3：得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；
（2）由（1）可知点D的坐标为（4，1），再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）根据：抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得（a1+a2）（h-m）2=1．可得．
【详解】解：（1）∵抛物线l3：，
∴顶点为（2，-1），对称轴为x=2，
设x=1，则y=1，
∴C（1，1），
∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，1）；
（2）解：设的函数表达式为
由“友好”抛物线的定义，过点
的函数表达式为
与中同时随增大而增大的自变量的取值范围是
（3）
理由如下：
∵ 抛物线与抛物线互为“友好”抛物线，
①+②得：
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．
25、（1）①；②；（2）的大小没有变化；（3）BD的长为：．
【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
（3）分两种情况分析，A、D、E三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案．
【详解】解：（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴AE=AC=5，BD=BC=4，
∴．
②如图1，当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴．
故答案为：①；②.
（2）如图2，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
（3）①如图3，连接BD，
∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=AB=3，
∴AE=AD+DE=，
由（2），可得：，
∴BD=；
②如图4，连接BD，
∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=AB=3，
∴AE=AD-DE=，
由（2），可得：，
∴BD=AE=．
综上所述，BD的长为：．
【点睛】
此题属于旋转的综合题．考查了、旋转的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
26、；.
【分析】根据分式的运算法则即可化简，再代入a即可求解.
【详解】解:原式
把代入上式，得:原式
【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式运算法则.
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