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<p>近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：
一、 重心问题
三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.
例1 已知O是平面上一 定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC
的 （ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则 ，因为，
所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C.
点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.
二、 垂心问题
三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.
例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ ）.
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析:由.
即.
则，
所以P为的垂心. 故选D.
点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合.
三、 内心问题
三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.
例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足
，则动点P一定过△ABC的〔 〕.
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为， 又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.
点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了.
四、 外心问题
三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.
例4 已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔 〕.
A．重心 B.垂心 C.外心 D.内心
解析：，由向量模的定义知到的三顶点距离相等.故 是 的外心 ，选C.
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合
三角形的“四心”与平面向量
向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。
与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：
① 设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;
② 设，则向量必平分∠BAC的邻补角
③ 设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心
④ △ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心
⑤ 点是△ABC的外心
⑥ 点是△ABC的重心
⑦ 点是△ABC的垂心
⑧ 点是△ABC的内心 (其中a、b、c为△ABC三边)
⑨ △ABC的外心、重心、垂心共线，即∥
⑩ 设为△ABC所在平面内任意一点，G为△ABC的重心，，I为△ABC的内心，
则有
并且重心G（，） 内心I（，）
A F
E C
T
B
例1：（2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心
（C）重心 （D）垂心
事实上如图设都是单位向量
易知四边形AETF是菱形 故选答案B
例2：（2005年北京市东城区高三模拟题）为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上OB⊥CA 故选答案D
例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足
，则点O是三角形ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上由条件可推出 故选答案D
例4：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，
动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上 故选答案D
例5、已知向量满足条件，，求证：是正三角形．
分析 对于本题中的条件，容易想到，点是的外心，而另一个条件表明，点是的重心．
故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的．
显然，本题中的条件可改为．
高考原题
例6、O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）．
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析 已知等式即，设，显然都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故为的平分线，选．
例7、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m = ．
分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有，将已知代入，有，即，由是外心，得，由于是任意三角形，则不恒为０，故只有恒成立．
或者，过点作与，则是的中点，有；是垂心，则，故与共线，设，则，又，故可得，有，得．
根据已知式子中的部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为，是平面内任一点，均有，由题意，题目显然叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图１，由图上观察，很容易猜想到，至少有两个产生猜想的诱因，其一是，均与三角形的边垂直，则；其二，点是三角形的中线的三等分点．此时，会先猜想，但现在缺少一个关键的条件，即，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似．当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明．
本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O、G、H分别是△ABC的外心、重心和垂心，则O、G、H三点共线，且OG∶GH＝1∶2，利用向量表示就是．
例8、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（ ）．
A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
分析 移项后不难得出，，点O是的垂心，选．
3 推广应用题
例9 在内求一点，使最小．
分析 如图２，构造向量解决．取为基向量，设，有．
于是，．
当时，最小，此时，即，则点为的重心．
例10 已知为所在平面内一点，满足，则为的 心．
分析 将，也类似展开代入，已知等式与例４的条件一样．也可移项后，分解因式合并化简，为垂心．
例11 已知为的外心，求证：．
分析 构造坐标系证明．如图３，以为坐标原点，在轴的正半轴，在轴的上方．，直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且，因此有，得
．
直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且，因此有，得．
于是，容易验证，，又，
，，又，则所证成立．
总结：知识综述
（一）三角形各心的概念介绍
1、重心——三角形的三条中线的交点；
2、垂心——三角形的三条垂线的交点；
3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；
4、外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）
根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．
（二）三角形各心的向量表示
1、 O是的重心；
2、 O是的垂心；
3、 O是的外心(或)；
4、 O是的内心；
注意：向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)
3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X
Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√
A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)</p>
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