张量分析第二章.ppt

第二章第二章 应应力分析力分析重点内容重点内容:1.1.应应力力张张量量,应应力力张张量与量与应应力矢量之力矢量之间间的关系的关系;2.2.应应力力张张量量对对称性及其称性及其变换规变换规律律;3.3.主方向主方向,主主应应力和力和应应力不力不变变量量;1-2.1 连续连续介介质质假假设设 介介质质的的质质点点连续连续地充地充满满介介质质所占据的空所占据的空间间，没有一点，没有一点空隙，即把介空隙，即把介质质看作由看作由连续连续不断的不断的质质点所构成的体系，点所构成的体系，质质点的存在以其所占据的空点的存在以其所占据的空间间位置来体位置来体现现。质质点点:”宏宏观观小微小微观观大大”分子分子团团的尺度与所研究的尺度与所研究问题问题的特征尺度相比足的特征尺度相比足够够小小,平均物理量可以看作均匀不平均物理量可以看作均匀不变变.质团质团的特征尺度的特征尺度远远远远大于分子运大于分子运动动的尺度的尺度,该质团该质团中包含有大量分子中包含有大量分子,对这对这些分子集些分子集团进团进行平均行平均统计统计后能得到后能得到稳稳定数定数值值.宏宏观观小小微微观观大大2-上述数学上的上述数学上的 连续连续介介质质定定义义，在，在现实现实世界中是不存在的。世界中是不存在的。用气体介用气体介质质作作为为例子，当取定很小体例子，当取定很小体积时积时，密度，密度变变化很大，化很大，甚至到极端，可能只有一个分子的情况。甚至到极端，可能只有一个分子的情况。DensityVolume of element 连续连续介介质质假假设设在一般情况下是完全合理的，是在一般情况下是完全合理的，是连续连续介介质质力学第一个且力学第一个且带带有根本性有根本性质质的假的假设设。但是在某些特殊条件。但是在某些特殊条件下下这这种假种假设设亦可能有亦可能有 问题问题。例如，。例如，导弹导弹在高空在高空飞飞行行时时，周，周围围空气很稀薄，分子空气很稀薄，分子间间的距离的距离 很大，它能和物体的特征尺很大，它能和物体的特征尺寸相比寸相比拟拟，不能把分子，不能把分子团团作作为为一个一个质质点点.3-强强调调几点：几点：（1 1）引）引进连续进连续介介质质假假设设后，不再考后，不再考虑虑介介质质的分子的分子结结构，将构，将介介质质近似看成由介近似看成由介质质质质点点连续连续无空隙的无空隙的组组成。成。（2 2）在）在连续连续介介质质力学中所力学中所说说的的质质点位移，不是指个点位移，不是指个别别分子分子的位移，而是指含有大量分子的的位移，而是指含有大量分子的质团质团位移。位移。（3 3）当我）当我们们在在连续连续介介质质内某一点内某一点A A处处取极限取极限时时，不管离，不管离A A多多么近的地方均有么近的地方均有质质点存在，并有确定的物理量。点存在，并有确定的物理量。4-2.2 基本概念基本概念 2.2.1 均匀性与各向同性均匀性与各向同性 均匀性，是指在所有的均匀性，是指在所有的质质点上都具有同点上都具有同样样性性质质。具有。具有这样这样性性质质的物的物质质称做均匀物称做均匀物质质。各向同性，是指在一个各向同性，是指在一个质质点上在其所有的方向上物点上在其所有的方向上物质质均具有同均具有同样样的性的性质质。这样这样的物的物质质称称为为各向同性物各向同性物质质。各向异性，是指在一点上在不同方向具有不同性各向异性，是指在一点上在不同方向具有不同性质质。这样这样的物的物质质称做各向异性物称做各向异性物质质。5-小体元小体元 ,质质量用量用 表示表示,小体元中包含点小体元中包含点P.2.2.2 质质量密度量密度P则则在在 中介中介质质的平均密度的平均密度为为内某一点内某一点P的密度定的密度定义为义为(1)6-2.2.3 体力和面力体力和面力 体力体力:作用在作用在连续连续介介质质体各个部分，即各个体各个部分，即各个质质点上的有点上的有距离力。如重力、磁力等，体力也称作距离力。如重力、磁力等，体力也称作质质量力。量力。面力面力:作用在作用在连续连续介介质质面元上的力面元上的力,面元可以是介面元可以是介质质的的外表面，也可以是介外表面，也可以是介质质内部面，面力的大小方向都与作内部面，面力的大小方向都与作用面的方向有关。用面的方向有关。压压力和摩擦力都属于面力力和摩擦力都属于面力.图图中中 面力面力,为为体力体力.7-2.2.4 柯西柯西应应力法力法则则和和应应力矢量力矢量 应应力矢量力矢量:作用在物体内部作用在物体内部单单位截面上的力。特点位截面上的力。特点:矢量矢量,有方向有方向 柯西柯西应应力法力法则则：当：当 在在 P点点趋趋于零于零时时，趋趋于一定的于一定的极限极限 .取极限的取极限的过过程中程中绕绕 P点的力矩点的力矩 同同时趋时趋于零。于零。数学表达数学表达:应应力矢量力矢量:P(2)8-2.3 应应力力张张量量 一点的一点的应应力状力状态态由由P点所有的点所有的应应力矢量力矢量 同其相同其相应应的的单单位法位法线线 一起确定一起确定.2.3.1 应应力力张张量量PPP9-上面三上面三图图合合在一起在一起10-或表达成或表达成:应应力力张张量量正正应应力力:垂直于坐垂直于坐标标平面的平面的应应力分量力分量(两下两下标标相同相同)剪剪应应力或切力或切应应力力:与坐与坐标标平面相切的平面相切的应应力分量力分量(两下两下标标相异相异)表示作用在其外法表示作用在其外法线线平行于第平行于第i坐坐标轴标轴的平面上的平面上,并并指向第指向第j坐坐标轴标轴向的分量向的分量.11-设设四面体底面四面体底面ABC的面的面积积 为为 ，则则其他三个面的面其他三个面的面积为积为 的投影，即：的投影，即：惯惯性力性力:体力体力:面力面力:2.3.2 应应力力张张量与量与应应力矢量力矢量间间的关系的关系PABC12-动动平衡有平衡有(合外力合外力为为零零):当体元收当体元收缩缩到到P点点时时,即即P点任一面上的点任一面上的应应力矢量与三个坐力矢量与三个坐标标平面上的平面上的应应力矢量力矢量的关系式：的关系式：体体积积有有:(3)(4)(5)13-用指用指标标形式表示形式表示:矩矩阵阵表示形式表示形式:分量表示形式分量表示形式:应应力矢量与力矢量与应应力力张张量的关系量的关系或或(6)14-2.4 应应力力张张量的量的对对称性及其坐称性及其坐标变换规标变换规律律 研究研究处处于于动动平衡的平衡的连续连续介介质质体体V.V.根据达朗伯原理根据达朗伯原理,作用作用于于连续连续介介质质体体V上的合力上的合力为为零零,合力矩合力矩亦亦为为零零.体力体力为为面力面力为为2.4.1 应应力力张张量的量的对对称性称性P惯惯性力性力15-合力合力为为零，即有零，即有若若 得到静平衡方程得到静平衡方程,或写成或写成(7)(8)(9)16-动动量矩之和量矩之和为为零零,有有:式中式中:式式(11)取第取第i个分量个分量,得得式式(10)可写成可写成(10)(11)(12)17-因此有因此有:应应力力张张量有量有对对称性称性.向量的奥高公式有向量的奥高公式有:(13)利用利用(13)式式,(12)式可得到式可得到:(15)式代入运式代入运动动方程方程(8)式式,得得进进一步整理得一步整理得:(14)(15)(16)由于由于V的任意性的任意性,可得可得18-2.4.2 应应力力张张量的量的变换规变换规律律 两个坐两个坐标标系系19-应应力力张张量在两个坐量在两个坐标标系下的分量由下式系下的分量由下式给给出出:按矩按矩阵阵表示的表示的应应力力张张量的量的变换规变换规律可表示成：律可表示成：分量形式表示分量形式表示为为为为新旧坐新旧坐标变换标变换的方向余旋的方向余旋,构成构成变换张变换张量量 .或或(17)20-2.5 主主应应力和力和应应力不力不变变量量 2.5.1 2.5.1 主主应应力和主方向力和主方向 过过P P点某个方向的面上的点某个方向的面上的应应力分量与力分量与该该面的法面的法线线 共共线线,这样这样的法的法线线方向称方向称主主应应力方向力方向，简简称主方向。称主方向。对对于主方向有于主方向有或写成或写成称称作主作主应应力力.利用恒等式利用恒等式上式可以写成上式可以写成:(18)(19)21-若上式有非零解，即若上式有非零解，即 ，则则有有上式展开上式展开为为 的三次多的三次多项项式：式：其中其中主主应应力力值为值为主主应应力力值为实值为实数数.为应为应力力张张量的不量的不变变量量(20)(21)22-2.5.2 应应力不力不变变量量 特点特点:坐坐标标系系发发生旋生旋转时值转时值不不变变.新旧坐新旧坐标标系下系下应应力力张张量和主方向分量和主方向分别别可写可写为为:新坐新坐标标系下系下上两式代入上两式代入,有有上式两上式两边边点乘点乘 整理后可得整理后可得:证证法一法一:且且满满足足23-则则上式可以写成上式可以写成:根与系数之根与系数之间间保持如下的关系保持如下的关系:主主应应力描述一点力描述一点应应力的物理状力的物理状态态，所以与任何，所以与任何参考坐参考坐标标无关无关.坐坐标标旋旋转时转时,所以系数所以系数不不变变.同同样证样证明了明了是坐是坐标标旋旋转转的不的不变变量量.证证法二法二:的根的根设为设为方程方程24-2.6应应力力张张量的主方向量的主方向求解主方向求解主方向展开式展开式:(1)主方向坐主方向坐标标系中系中,应应力力张张量量 变变为为 ,形式形式为为:三个主方向互相垂直三个主方向互相垂直P25-根据主根据主应应力和主方向的定力和主方向的定义义,有有上两式相减上两式相减:(22)式右点乘式右点乘 ,(23)式左点乘式左点乘 ,可得可得由于由于有有,即即同同样样可可证证明明即即 三个主方向互相垂直三个主方向互相垂直.(22)(23)26-(2)主方向坐主方向坐标标系中系中,应应力力张张量量(3)主方向坐主方向坐标标系中系中,应应力力张张量量若若则则若若则则(24)(25)27-将将应应力力张张量的主方向量的主方向选为选为坐坐标轴标轴，主，主应应力力记为记为在在该该坐坐标标系中任一矢量系中任一矢量 的三个分量可表示的三个分量可表示为为由于有由于有由由应应力向量分量关系同上式力向量分量关系同上式结结合，得合，得该该方程方程为椭为椭球方程，主球方程，主应应力力为椭为椭球的球的轴轴;描述了一点附近面元描述了一点附近面元上上应应力向量力向量终终点的点的轨轨迹。迹。(26)28-2.7 最大最小剪最大最小剪应应力力主主轴轴坐坐标标系中系中假假设设主主应应力力在在该该坐坐标标系中系中,应应力力张张量表示量表示为为P29-法向法向应应力力则则写成写成切向切向应应力力可得可得任一任一应应力矢量的分量力矢量的分量(27)(28)30-利用拉格朗日乘子法，可从上式求得利用拉格朗日乘子法，可从上式求得 的最大的最大值值和最小和最小值值.设设函数函数函数的极函数的极值值由由 给给出出.(29)(30)31-(1)(2)(3)第一第一组组解解单单位矢量位矢量 平行平行为为主方向主方向单单位矢量位矢量 平行平行为为主方向主方向单单位矢量位矢量 平行平行为为主方向主方向32-在垂直在垂直 轴轴的平面上：的平面上：在垂直在垂直 轴轴的平面上：的平面上：在垂直在垂直 轴轴的平面上：的平面上：结论结论:在主平面上在主平面上(与主方向垂直的平与主方向垂直的平面面)剪剪应应力力值为值为零，只有法向零，只有法向应应力。力。33-第二第二组组解解:最大剪最大剪应应力力最大剪最大剪应应力平面力平面:过过 轴轴且平分且平分 和和 的的夹夹角角 的平面上的平面上.该该平面上平面上34-1.已知已知求求平面上的平面上的应应力矢量力矢量及其法向及其法向应应力分量和剪切力分量和剪切应应力分量力分量.1)主主应应力和主方向力和主方向.2)35-2.8 应应力莫力莫尔尔圆圆 主主轴轴坐坐标标系中系中,:由此方程由此方程组组可解出方向余弦可解出方向余弦 为为P设设主主应应力力(31)36-由于由于 可得可得:或写成或写成37-应应力莫力莫尔尔圆圆1)1)有两个相同有两个相同,则则MohrMohr圆圆退化退化为为C C2 22)2)MohrMohr圆圆退退化化为为点点,任任一一方方向向上上的的法法应应力力都都相相同同,剪剪切切应应力力为为零零.应应力力张张量量是是各各向向同性同性张张量量.过过一点的所有一点的所有应应力矢量都落在力矢量都落在图图中阴影区内中阴影区内.38-2.9 2.9 分界面上的分界面上的应应力力边边界条件界条件介介质质1 1介介质质2 2P P分界面分界面S S介介质质1 1的的应应力力介介质质2 2的的应应力力介介质质1 1在在P P点点处处作用于介作用于介质质2 2的的应应力矢量力矢量.介介质质2 2在在P P点点处处作用于介作用于介质质1 1的的应应力矢量力矢量.因此有因此有:即即39-自由面自由面:分界面的一方分界面的一方为为大气大气(压压力力为为常数常数P P0 0):):40-2.10 平面平面应应力力如果有一个且唯一的一个主如果有一个且唯一的一个主应应力力为为零零,该该状状态为态为平面平面应应力状力状态态.2h41-如果主如果主应应力不按次序排列力不按次序排列,并将零主并将零主应应力方向力方向选选作作 轴轴向，向，这样这样的的应应力状力状态态叫作平行叫作平行 平面的平面平面的平面应应力力.任任选选正交正交 坐坐标标系中系中,应应力力张张量的矩量的矩阵阵形式形式为为:42-由于由于该该面的面的单单位法位法线线 以及以及应应力矢量力矢量 写成写成(32)43-BAECD最大最小主最大最小主应应力分力分别为别为：圆圆心心半径半径44-1.写出写出图图中的平面中的平面应应力状力状态态,并确定其最大剪并确定其最大剪应应力力45-